高三数学选修（II） 数学归纳法人教版知识精讲

高三数学选修（高三数学选修（II） 数学归纳法数学归纳法人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高三数学选修（II） 数学归纳法 学习指导： 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种重要方法。 证明原理与步骤： 1 0 证明当（命题中最小的正整数）时命题成立nn 2 0 假设当时命题成立nk knkN(*) 由此证明当时命题也成立nk1 则由、知对所有的正整数，原命题均成立。12 0 nn 【例题分析例题分析】 例 1. 用数学归纳法证明： 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 1 1 1 2 1 2 nnnnn nN* 证明：111 1 2 1 2 1 2 当时，左边右边n 左边右边，即等式成立 21假设当时nk kkN(*) 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 1 1 1 2 1 2 kkkkk 当时nk1 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 1 21 1 22 1 1 1 2 1 2 1 21 1 22 1 2 1 3 1 21 1 22 kkkk kkkkk kkkk 等式成立 由、知，等式成立12 例 2. 已知中，*aaSa a nN nnnn n 02 1 用数学归纳法证明：annnN n 1 (*) 证明：11 2 1 0 1 1 11 1 11 1 当时，由na Sa a Sa a nn11111成立 21假设当时，nkakk k 当时nk1 aSS kkk 11 1 2 11 1 1 a a a a k k k k a a kk kk k k 1 1 1 1 1 1 0 aka kk 1 2 1 210 a kk kk a kk11 244 2 10() 即时成立nk1 由、知成立121annnN n (*) 例 3. 设，用数学归纳法证明且pppnp nnN n 10112()(*) 证明：12112120 22 当时，成立npppp p()() 211假设时，nkpkp k () 当时nk1 ()() ()()()11111 1 pppkpp kk 11110 22 ()()()kpkpkpkp 所以成立 由、知，原不等式成立12 例 4. 用数学归纳法证明能被 整除nn nN 3 56(*) 证明：1151516 3 当，成立nnn 256 3 假设时，能被 整除nkkk 当时nk1 ()()()kkkkkkkkk k 151331555316 3323 31661k kk k()()能被 整除为偶数 由假设知，能被 整除成立kkk k 3 53166() 由、知，命题成立12 例 5. 证明能被 整除358 4121nn 证明：1135368468 53 当时，原式成立n 2358 4121 假设时，能被 整除nk kk 当时nk1 353355 4523414212kkkk 33355535 335553 335565 414421212421 441212124 4412121 kkkk kkk kkk ()() () 由假设知，能被 8 整除 由、知命题成立12 例 6. 证明凸 边形的对角线条数为nf nn nn( )() 1 2 34 证明：1442 1 2 4 432当时，左边，右边nf( )() 所以成立 24 1 2 3假设时，nk kf kk k()( )() 当时nk1 f kf kk k kkkk ()( )() ()()() 121 1 2 31 1 2 12 成立 由、知命题成立2 【模拟试题模拟试题】 1. 用数学归纳法证明： 1 24 1 46 1 68 1 22241 nn n n()() 2. 用数学归纳法证明： 12132121 1 6 12 nnnnnn nn()()()()() 3. 用数学归纳法证明对于的整数能被 133 整除。n 0An nn 1112 221 4. 平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证： 这 n 个圆把平面分成部分。nn 2 2 参考答案参考答案 http/ 1. 证明： 当时，左边，右边1n 1 1 2 22 1 8() 1 42 1 8 所以成立 假设当时成立，即2nk 1 24 1 22241 kk k k()() 当时，nk1 1 24 1 222 1 21 24 41 1 412 1 421 1 42 2 kkkk k kkk k kk k k ()()() ()()() () ()()() 成立 由、知等式成立2 2. 证明： 当时，左，右1n 1 1 1 6 231 所以成立 假设时成立，即2nk 121121 1 6 12 kkkkk kk()()()() 当时nk1 112111 1 12111231 1 6 12 21 2 1 6 123 ()()() ()() ()() ()() ()()() kkk kkkk k kk kk kkk 成立 由、知等式成立2 3. 证明： 当时，成立1n 0A0 2 1112133 假设时，能被 133 整除2nk k()0Ak kk 1112 221 当时，nk1 Ak kkkk 1 3232212 111211111212 111111 12121211 12 11 1112121211 11 1112133 12 22121221 221212 22121 kkkk kkk kkk ()() () 能被 133 整除 由、知命题成立