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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（184）（无答案）第一试1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 已知定义在复数集上的函数（为复数）.若与均为实数，则的最小值为.2. 已知函数，且满足.则的最大值为.3. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且.则三棱锥外接球表面积为.4. 记.则的最小值为.5. 设任意实数.要使恒成立，则的最小值为.6. 设是定义在上的函数，对任意的，均有.设.若则.7. 若非负整数在求和时恰进位一次（十进制下），则称有序数对为“好的”.那么，所有和为2020的好的有序数对的个数为.8. 已知非负实数满足.则的取值范围是.二、解答题（共56分）9.（16分）设数列满足.试求通项的表达式.10.（20分）如图1，已知，分别为的外心、重心，.（1）求点的轨迹的方程.（2）设（1）中的轨迹与轴的两个交点为（位于下方），动点均在轨迹上，且满足，试问直线与的交点是否恒在某条定直线上？若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由.11.（20分）设均取正实数，且.求三元函数的最小值，并给出证明.加 试一、（40分）如图2，在中，为的垂心，为边的中点，点在边上且满足，点在直线上的投影为.证明：的外接圆与的外接圆相切.二、（40分）设，定义：.证明：当时，为整数，且为奇数当且仅当或.三、（50分）已知.证明：，并指出等号成立的条件.四、(50分)证明：存在由2020个正
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