立方体在解高考题中的应用 新课标 人教版

立方体在解高考题中的应用518109深圳龙华中英文实验学校高三数学组申祺晶孙怀炳立方体是高中课本里空间图形中的最基本、最常用、最重要的几何体. 首先：其本身中的点、线、面的位置关系包涵了空间图形中的所有的位置关系. 其次：它与代数(如：不等式、函数与数列、排列组合等)、三角、解析几何有着密切联系. 因而它是高考命题的热点. 下面从数学思想方法方面探究其重要性.一. 体现方程函数思想例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知正方体的棱长,M、N分别在其对角线AD1与DB上,若AM=BN=x. 求MN的最小值,并求此时x的值. 分析：运用函数求解.利用函数求最值.作MHAD,连结NH.MHAA1DD1,HNAB.又AA1AB,MHHN.在RtMHN中,MAH=45MH=AM=x.同理HN=DN=(2-x).在RtMHN中,MN=MN=(0x2).y=(0x2).当x=1时,MN有最小值1,即MN的最小值为1.【点评】：对空间图形中含有一些“动态”因素(象距离、角度等)的问题,可考虑能否把这一动源作为自变量,构造目标函数,用函数的思想来处理.立几中的问题是近年来才露脸的题型,要求熟练掌握立体几何和几何所有知识内容,更要有跳跃的思维,较强的转换能力.二.体现数形结合思想例2. 2020年天津卷(6)如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点.那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于.(A) (B) (C) (D)XYZ分析：可建立空间直角坐标系(如图),转化为空间向量的数量关系运用数量积来求解,可得=(1,1,1), =(1,0,2)=, =,有 =(1,1,1) (1,0,2)=3又 = cos cos=3即cos=.故选(B)【点评】：立方体具有的直观性特点从垂直联想到运用向量法求解(将形和数很好地结合起来)是个好方法.三体现分类讨论思想例3. 2000年全国卷（16）如图，E、F分别为正方体的面、 面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_。（要求：把可能的图的序号都填上）分析：因正方体是由三对平行面所组成,所以只要将四边形在三个方向上作投影即可,因而可分为三类情况讨论.在面ABCD上作投影可得(平行四边形).在面上作投影可得(线段).在面上作投影可得(平行四边形).故可填为：【点评】：截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型,象本题一样的定性分析题一定要抓住图形的特性(平行、垂直等)进行分析. 四体现转化与化归思想例4. 如图,在空间六边形(即六个顶点没有任何五点共面)ABCC1D1A1中,每相邻的两边互相垂直,边长均等于a,并且AA1CC1.求证:平面A1BC1平面ACD1. 分析:由本题的条件不难联想到正方体,从而补形化归为正方体内的有关问题.证明:将图形补成正方形,如图所示,则在正方形ABCD-A1B1C1D1中,即证平面A1BC1平面ACD1.正方形固有的性质A1BD1CA1C1AC 又ACD1C=C,A1BA1C1=A1面A1BC1面ACD1.【点评】：“补形割体”构造模型,进行适当的变形为熟悉的模型从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决,是处理空间图形中惯用的手段.结语：加强对立方体的研究,对空间图形的研究以培养学生的空间想象能力,数形转换能力与逻辑思维能力； 立方体的内切球,外接球,球与立方体的棱相切等；立方体与正四面体的联系；以立方体为载体的方法有：平移求角法,割体补形法,空间向量法等.构造立方体以解决有关问题.这样有助于对正方体的深刻认识与实际应用.通过对立方体及空间图形的研究挖究高考解答题的模式. 解题的主要步骤可归纳为：“画证算”三步.“画”是画图,添加必要的辅助线,或画出所要求的几何量,或进行必要的转换,“证”是证明