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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（174）（无答案）第一试1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 如图1，已知正方体的边长为，分别是棱上的点，.则四面体的体积为.2. 从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有种.3. 已知集合，其中，.若正整数，且则符合条件的正整数数对有个.4. 如图2，设分别是两个同心圆（半径分别为6、4）上的动点.当分别在圆上运动时，线段的中点所形成的区域面积为.5. 函数的最小值为.6. 计算：.7. 在三棱锥中，已知，且.以为球心、1为半径作一个球.则三棱锥不在球内部的部分体积为.8. 抛一颗色子三次，所得点数分别为.则函数上为增函数的概率为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知椭圆.试求实数数对，满足对任意斜率为的直线与椭圆的交点及直线与椭圆上半部分的交点可组成，均有的内心在直线上.10.（20分）黑板上写有这个正整数.现进行如下操作：第一步划去最前面的两个数，并在后面写上这两数的和3；第二步划去最前面的三个数，并在最后面写上这三数的和12；如此继续下去.当第步时，黑板上的数不够个，停止操作.求在黑板上出现过的不同数的个数及这些不同数的和（若一个数多次出现，只计算一次）.11.（20分）擎天柱为了防止魔方落入霸天虎手中，打算用激光刀将其销毁.擎天柱使用的方法是：每次切割可将魔方分成两个体积之比为的六面体，每个六面体恰包含魔方的一个面，且任两次操作得到的截面在魔方中均有交点.而魔方的属性决定每次切割只能暂时将它割开，而无法分离，且只要它有的小正方体区域始终未被割到，就无法被销毁.证明：无论擎天柱切割多少次，均无法销毁魔方.加 试1、 （40分）如图3，为的一条切线，满足，与的半径交于点，为线段上一点，作与交于点.证明：当且仅当与相切时，.2、 （40分）已知，令.求能取到的不同的整数值的个数.3、 （50分）已知正整数满足.令.对任意的，记，其中，表示不超过实数的最大整数，表示集合中元素的个数.证明：（1） ；（2） .四、（50分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2020个站台（编号依次为）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第1站（对应2020年）.为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠.出于技术原因
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