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江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（179）（无答案）第一试1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 若函数的反函数为，且，则满足的最小正整数.2. 已知数列满足.则（填“”“”“”）.3. 设非负实数满足.则的最小值为.4. 用一块边长为2的正方形纸片（顶点为，中心为）折成一个正四棱锥.当该四棱锥体积最大时，二面角的平面角的大小为.5. 甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人.一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为.6. 给定非零实数.若函数满足：对任意实数均有，则方程有个实根.7. 给定整数.若关于的方程的根在复平面上对应四个点为正方形四个顶很快空，则正方形的面积的最小值为.8.集合的个不同子集满足：对任意的均有.则的最大值为.二、解答题（共56分）9.（16分）设.求最小的正实数，使得对任意的，均有.10.（20分）已知为椭圆的长轴，为椭圆的一条弦，过点的切线交于点，的延长线与的延长线交于点，的延长线与的延长线交于点.若三点共线，求.11.（20分）自然数使得与均为11的倍数，且.求的最小值.加 试1、 （40分）如图1，已知交于两点，分别在上，且与相切，与相切，的延长线与的外接圆交于点.证明：（1） ；（2） .二、（40分）设为非负实数，且.证明：.三、（50分）已知为正整数，集合的个三元子集满足：对任何的其他三元子集，均存在整数和子集使得.求的最小值.4、 （50分）甲、乙两人轮流吹同一只气球，当且仅当气球的气体体积（单位：毫升）大于2020时，气球会被吹破.先由甲开始吹入1毫升气体，约定以后每次吹入的气体体积为上一次体积的2倍或，且吹入的气体体积为整数.（1） 若谁先吹破气球谁输，问谁有必胜策略？证明你的结论.（2） 若在不吹破气球的前提下，约定单次吹入的气体体积最大者为赢家（如
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