高中数学教学论文 把握特殊情形堵住丢分漏洞提高复习质量（通用）

数学解题中忽视特殊情形致错的破解方略在高考数学阅卷中，我们发现，许多同学在答题时的思路是基本正确的，结果也大致出来了，但过程却时常丢三落四，出现漏洞，丢掉了本应得到的分数。其实，这种“会而不对，对而不全”的现象也一直是平时教学中师生挥之不去之痛，而解题中忽视问题的特殊情形致错则更为令人困惑，如何解决这一问题直接关系到高考数学复习的质量，现就相关问题作如下例析：一、忽视空集情况致错例1. 已知集合A=x | x2 + 4x = 0 ，B=x | x2 + 2(a+1)x + a21，若AB= B，则实数a 错解：A=x | x2 + 4x = 0 =4，0，由AB= B知BA若B=0，则 解得a=1若B=4，则 无解若B=4，0，则解得a=1所以a1，1剖析：在应用AB=BAB时，需进行分类讨论，但在上述解答中忽视了“空集是任何集合的子集”这一基本事实，导致结果错误。事实上，当B=时，有=4(a+1)24(a21)0，即a0，b0，a+b=1，求(a +)2 + ( b+)2的最小值。错解：(a +)2 + ( b+)2 =a2+ b2 + 4 2ab + + 44+ 4 = 8故得(a +)2 + ( b+)2的最小值为8剖析：上述解答中，两次运用基本不等式，第一次取等条件是a=b=，第二次取等条件是ab=即ab=1，显然两条件不可能同时成立，因此所求结果是错误的。事实上，原式= a2 + b2 + 4 = (a2 + b2) + (+) + 4 = (a+b)22ab+(+ )2 + 4 = (12ab) + () + 4 = (12ab) (1+)+ 4.由ab()2 = ,得12ab1=, 1+1+42 = 17.故原式17+ 4 = （当且仅当a=b=时取“=”）.(a +)2 + ( b+)2的最小值是.评注：应用基本不等式的前提是“一正、二定、三相等”，解题中不能忽视对取等时变量的值是否在其定义域内的验证工作。四、求数列通项时，忽视n=1的情况致错例4. 已知数列an满足a1=1，an = a1 + 2a2 + 3a3 + (n1)an1(n2)，则数列an的通项为 .错解：an = a1 + 2a2 + 3a3 + +(n1)an1 an+1 = a1 + 2a2 + 3a3 + + (n1)an1 + nan 得an+1an = nan， 故= n+1an = =n(n1)32=n！ 即an=n！剖析：上述解答中，忽视了a1=1这一特殊情况，事实上，由条件知当n2时，才有= n+1，又由a2=a1=1知=1. 所以an =评注：对于数列an与Sn之间有如下的关系：an=， 求an时，若a1适合an = SnSn1(n2)时才可以合并，否则要将an写成分段函数的形式。五、等比数列求和时忽视公比q=1的情况致错例5. 数列an中，a1=1，a2=2，数列anan+1是公比为q(q0)的等比数列且anan+1 + an+1an+2 an+2an+3，求数列an的前2n项的和S2n 错解：由anan+1+an+1an+2 an+2an+3即anan+1 + anan+1q anan+1q2 得1+qq2即q2q10），解得0q0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/x轴，求证：直线AC经过原点O。ABCxyO错解：设直线AB的方程为y = k(x) （如图）.A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（，y2） 即y2p2=0y1y2 =p2， kOC = 又y12 = 2px1，kOC = kOA = = kOC，故直线AC经过原点O.剖析：以上只证明了当直线AB的斜率k存在时的情况。事实上，当k不存在，即当ABx轴时，有A（，p），B（，p），C（，p），易知点A与点C关于原点O对称，于是得AC经过原点O.评注：凡涉及求直线方程或关于直线与曲线位置关系问题，一般都要考虑斜率存在和不存在的两种情况，否则容易出现思维漏洞.七、三角换元时，忽视换元前后变量的等价性致错例7. 已知sinx + siny =，求M=sinycos2x的最大值.错解：由已知得siny =sinxM=sinycos2x = sinxcos2x = sin2xsinx令t = sinx1，1于是M=t2t= (t)2当t=1时，Mmax = (1)2 = 剖析：上述解答中，新元t的范围有误，因而结果是不对的。事实上，由siny =sinx1，1，结合sin x1，1，可得sinx ，1，亦即t，1，于是当t=时，得Mmax = 。评注：换元的实质是转化，即变换研究对象，将问题置于新的情况和背景中，达到显露隐含和化繁为简的目的，换元时要保持新旧元取值范围的等价性。八、忽视向量的共线情况致错例8. 已知=（m2，m+3），=（2m+1，m2），若与的夹角为钝角，求实数m的范围。错解：设与的夹角为，且，则cos=0，故0。即(m2)(2m+1) + (m+3) (m2)0，解得m2，此即所求的实数m的范围。剖析：0是与夹角为钝角的必要不充分条件，因为当=1时，=就不是钝角。以上所求范围中包括了=时对应的m的值。事实上，由与不共线，可得(m2)2(m+3)(2m+1)0，m，因此