第四章根轨迹分析法

1,4-1根轨迹的基本概念4-2绘制根轨迹的一般步骤和基本法则4-3零度根轨迹4-4参量（参数）根轨迹4-5系统性能分析,第四章根轨迹分析法,2,一、根轨迹闭环极点随开环根轨迹增益变化的轨迹例4-1已知系统如图，试分析Kc对系统特征根分布的影响。,开环极点：,开环根轨迹增益：,闭环特征方程：,闭环特征根,解：开环传递函数,4-1根轨迹的基本概念,3,研究K*从0变化时，闭环特征根的变化K*与闭环特征根的关系,K*=0，,s1,=0，s2=-2,K*=0.5，,s1,2=-10.707=-0.293,-1.707,K*=1，,s1,=s2=-1,K*=2，,s1,2=-1j,K*=5，,s1,2=-1j2,K*=10，,s1,2=-1j3,K*，,s1,2=-1j,K*：0，闭环极点随之变化的轨线,根轨迹,开环极点,4,(1)稳定性K*：0，系统闭环根在s上变化,左半平面：稳定右半平面：不稳定,(2)动态过程（时间响应信息）：,(3)性能指标,0m时，有n-m条根轨迹分支沿渐近线趋于无穷远。渐近线与实轴的交点a，与实轴的交角a：,证明：,1）设根轨迹上一动点s逐渐向无穷远处移动，从开环零极点到动点s所构成的角度不断变化。当s时，其各个角度接近相等。当s到达无穷远，则各角度相等。即有：,2）由根轨迹的对称性,渐近线也对称于实轴,交点必然在实轴上。,交点相当于各零极点的重心，按重心计算方法：,法则4(根轨迹的渐近线),16,例4-3绘制渐近线,p1,（2）,（1）,17,（3）,4）,18,5）,思考：渐近线与复平面有什么关系？,渐近线把复平面等分为n-m份。,19,解：,m=0,n=3:,p1=0,p2=-1,p3=-2,把开环零点和开环极点标在s平面上，零点用“o”;极点用“”。,Re,Im,绘制实轴上的根轨迹：,求渐近线：,显然，n-m=3,问题：根轨迹如何离开实轴趋向于渐近线？,20,设分离点的坐标为(d,0)，则：,l相遇的根轨迹分支数,分离角d=,会合角d=,会合角d=,分离角d=,或：,法则5：分离点(会合点)及分离角、会合角,21,证明：由根轨迹方程，有,闭环特征方程,分离点即有重根的点，,即,上两式相除,又,重根存在的条件,22,求重根点,p1=0,p2=-1,p3=-2,-0.42,23,求分离点也可直接用来求,即：,根轨迹与虚轴的交点？,.-0.42,.?,.?,24,方法1可按劳斯判据求得（0,j）,方法2可将s=j代入特征方程，令Im=0，Re=0，求得K*及c。,接上例，方法1用劳斯判据,K*=6时，第一列为零,法则6（根轨迹与虚轴的交点）,25,方法2令s=j,26,解：,把开环零点和开环极点标在s平面上，零点用“o”;极点用“”。,渐近线为负实轴,绘出实轴上的根轨迹：,求重根点：,由,得,在d1处，会合角为00、1800，分离角为900,在d2处，会合角为900，分离角为00、1800,由于nm=1,可以证明：其复数部分是以（-4,0）为圆心，以为半径的一个圆。,解得,27,试绘制闭环系统的概略根轨迹。,例4-6已知某闭环系统的开环传函为,1）实轴上的根轨迹,解：在s上标出开环零、极点,3）出射角、入射角,2）渐近线n-m=4-3=11800,28,起始角,根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴的正向夹角。,根轨迹进入开环复数零点的切线方向与实轴的正向夹角。,终止角,(出射角),(入射角),证明：设开环有m个有限零点和n个有限极点,幅角条件：,设p1附近存在一点十分靠近p1的点s1是根轨迹上的点，则点s1必满足幅角条件。因为s1点无限靠近p1，所以除了p1点外，有：,法则7(根轨迹的起始角与终止角),29,显然，是对称的，,上式可推广至第i个开环复数极点。同理可证明终止角的公式。,30,31,4)与虚轴交点：无交点,5)会合点：无会合点,32,例4-7设系统开环传递函数，试绘制概略根轨迹。,解：在s上标出开环零、极点,1）实轴上的根轨迹:(0-3),2）渐近线n-m=4-0=4，45o，135o渐进线与实轴交点:,a,3）分离点：由闭环特征方程得：,解得：,（舍）,33,4）出射角:,5）与虚轴交点:闭环特征方程,问题：分离点处的K*?,利用幅值条件：,34,解：,绘出实轴上的根轨迹并标出方向,求渐近线：,求重根点：,可解出,d1是重根点，用相角条件验证d2，3,d2是重根点；由对称性知d3也是重根点。,同理，由P3至P4直线上任意一点都是根轨迹上的点。,35,p3,=,由对称性，知p4=+900,求根轨迹与虚轴交点可得：,当K*=260时，,求起始角(出射角)：对P3,考虑到由P3至P4直线上任一点都是根轨迹上的点。绘出这段根轨迹，并标上方向：,绘出完整的根轨迹。,确定重根点处的K*：,36,1)实数开环零、极点不必计算终止角、起始角；2)上述起始角、终止角计算公式是在pa或za为单开环极点或零点的情况下推出的，若pa或za是重开环极点或零点，则公式的左边应作相应的变化。3)复数开环极点为重极点，此时，起始角的计算应从相角条件出发：,关于起始角和终止角的两点说明：,37,设反馈系统特征方程：,对于稳定的反馈系统，上式中的第二式可写成,规则8：根之和与积,的根为：s1，s2，sn，则由,根据代数方程根与系数的关系，可写出,思考：开环极点与闭环极点的关系？,38,3）在s上标出开环零极点；4）绘制实轴上的根轨迹，并标出方向；5）nm时，计算渐近线（与实轴的正向夹角及交点坐标）；6）计算会合点或分离点（即重根点）；（注意验证）7）有复数开环零极点时，计算入射角或出射角；8）当根轨迹与虚轴有交点时，求出交点坐标和相应的增益值。9）绘出概略根轨迹图。当nm2时，若有一些根轨迹分支向左，则必有另一些根轨迹分支向右。10)计算关键点的K*值。,1)列写,2)写成,绘制根轨迹的步骤：,39,解：,求渐近线：,绘出实轴上的根轨迹：,40,求分离点：由闭环特征方程得,重根点满足,整理得,解得,（舍去),思考：图2中，根轨迹离开实轴的角度？,41,2How?,以正反馈为例,依据：,1What?,正反馈系统及部分非最小相位系统的根轨迹。,零度根轨迹的来源：1）非最小相位系统中包含了s最高次幂的系数为负的因子2）控制系统中有正反馈内回路。,即模值条件与常规根轨迹相同绘制规则不变幅角条件改变绘制规则相应改变,4-3零度根轨迹,42,规则3实轴上的根轨迹,规则1起止点,规则2分支数、连续性及对称性,规则4渐近线：,规则5分离点、分离角,规则6与虚轴交点,不变,不变,不变,某区域前有偶数个开环零、极点，则是根轨迹的一部。,3.零度根轨迹绘制规则,不变,43,规则7起始角,终止角,规则8根之和,不变,实轴上的根轨迹渐近线实轴的夹角出射角和入射角,44,解：正反馈系统属于00根轨迹。,1）开环零极点：,2）绘出实轴上的根轨迹并标上方向：,3）求分离点：,经整理得：,例4-10已知正反馈系统开环传递函数，试绘制根轨迹。,45,分离角,4）起始角,5）临界稳定的K*c,46,参量根轨迹,非K*为可变量参数时的根轨迹。,绘制方法：,解：系统闭环特征方程为：,例4-11已知某系统的结构图，概略绘制Td从0变化时的根轨迹。,等效变换，绘制方法与常规根轨迹同,等效开环传递函数：,4-4参量（参数）根轨迹,47,显然有,绘制参数根轨迹的关键：,其中：,A,为参变量或参变量的倍数；,s的多项式，且s的最高次幂系数是1；,等效的开环传递函数即以参数A为变量的根轨迹方程,列写等效开环传递函数,48,2、实际控制系统，其开环传递函数满足mn，,但绘制参量根轨迹，在等效开环传递函数中可能出现mn的情况，,处理方法有两种：,1）按原规则绘图，注意此时s是开环极点以外的起点，方向仍然是由渐近线决定。,2）定义新开环传递函数,满足mn，,需要注意的是：,1、通常称,K*从0变化的根轨迹为常规根轨迹或1800根轨迹。,除此以外的根轨迹统称为广义根轨迹（参量根轨迹、00根轨迹等）。,几点说明：,49,解：系统特征方程为,绘制概略根轨迹,或,同样可绘出其根轨迹图。,例4-12系统如图，其中K0的常数，概略绘制T：0的根轨迹。,50,求以a为参数的等效开环传递函数，并绘制概略根轨迹。,解：闭环特征方程,例4-13系统如图,51,等效开环传递函数为：,渐近线：,出射角：,52,z1=-3,无零点（z1=-）,z1=-2,z1=0,零点的位置z10.25时，开环极点为一对共轭复根；,取不同的K值，得到以Ta为参数的根轨迹簇。,2）K0.25，开环极点为两个实根；,图为K=0.098时，以Ta为参数的根轨迹图。,根轨迹簇,例4-16,60,1)稳定性：,2）运动形式：,闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；若闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。,稳定性完全取决于系统的闭环极点，而与闭环零点无关。,3）超调量：,超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率：,并与