高中数学《直接证明与间接证明》文字素材1 新人教A版选修1-2

直接证明和间接证明教材的精析迄今为止我们已经知道的道理推理和演绎推理是根据某个已知的判断来确定新判断的思考过程的。 演绎推理在大前提小前提正确时得出的结论是正确的，但道理推理(归纳、类比等)推测的结论不一定正确，必须用逻辑(演绎)推理的方式证明。 下面论述研究两种基本证明方法的直接证明和间接证明。一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是证明数学问题最常用的思路1 .综合法：利用已知条件和一些数学定义、公理、定理等，经过一系列推理论证，推导出最后应证明结论成立的证明方法其推理方式可以如下用框图表示其中，给出已知条件、现有定义、公理、定理等，给出应证明的结论，给出中间结论合法常用的表达形式如下：此外， 再见2 .分析法：从要证明的结论开始进行分析和转换，逐渐求出使其成立的充分条件，直到最后，归结为判定明确成立要证明的结论的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法其推理方式可以如下用框图表示给出了其中应证明的结论，给出了各自成立的充分条件，给出了最后求得的一个明显成立的条件分析法中常用的表现形式如下：证明，只需证明，只需证明，只需证明，明显成立，因此成立综合法、分析法均属于直接证明法，以便直接利用已知的条件、定义、公理、定理等与应证明的结论之间的关系导出应证明的结论，或求得使其成立的充分条件。二、反证法是间接证明的基本方法对于看起来明显成立，很难知道基于什么导出(统合法)，并且难以求出使其成立的充分条件(分析法)的“难题”的证明问题，一般来说，在假定原题不成立的基础上，经过正确的逻辑推理，最后出现矛盾，因此说明假设错误，原题成立这种证明方法叫做反证法。理解了简易逻辑部分的4种命题间的关系的学生，可以很容易理解反证的原理是“互相反证命题的2个命题的真伪一致”用反证法证明问题的形式一般如下：假设不成立，这与已知(定义、公理、定理等)相矛盾假设不成立，成立1 .综合法的各步骤是三段论(或其简化形式)，大前提必定正确，否则就容易出错2 .使用分析法的时候，要注意想要证明的结论是用“分析”的语气来处理的，所以在证明书的形式上应该表现“分析”的讨论性(只是“想要证明，想要证明”，而不是直接肯定结论。例1寻求证据错误证：、很明显，原不等式成立原因：因为不了解分析法的原理，所以应该证明的结论作为已知条件正：“”只需改为“要证”，“”只需改为“要证”3 .综合法和分析法通常不是单一的，而是并用的，特别复杂的证明书(教科书例3 )。 一般来说，采用综合法从已知的条件p中得出中间结论m，采用分析法进行探讨，发现m是足以成立所需证书的结论q的条件。 或者，使用分析法求出使想要证明的结论q成立的充分的条件m，使用综合法从已知条件p导出m。或者例2教科书中用于例3的证明方法可以首先进行综合分析，证明过程类似于框图1的形式，我们还可以改变框图2的形式，先进行分析，然后进行综合证明证明：要证明只凭证明书提出证据作为证据这是证明书另一方面，将已知的代入上式和一样，问题得到了证实4 .综合法和分析法在所用证据的同时形式相反，常常可以互相改写，但必须注意两者表现形式的不同5 .反证法也常常与综合法或分析法结合使用例3证明不能等差数列证明(1) :假设等差数列，即以下面(分析法)进行证明。要证明只凭证明书证书，证书即，该公式明显成立这与假设相矛