第四章--离散傅里叶变换及其快速算法

离散傅立叶变换，其快速算法，离散傅立叶变换的定义，离散傅立叶变换的主要性质，频域采样，快速傅立叶变换，快速傅立叶变换的应用，图4-1各种形式的傅立叶变换，几种形式的傅立叶变换，四种形式的傅立叶变换的归纳，离散傅立叶变换的定义，将x(n)设置为有限长度序列，长度N，即：周期性地扩展x(n)使其成为周期性的，离散傅立叶变换x(N)N得到x(k)N，即取X(K)N的第一个周期的值， 然后X(K)X(K)=X(K)NRN(k) 逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆逆求有限长序列x(n)的密度泛函的实质是将有限长序列x(n)作：的周期延拓，求其密度泛函，取其主序列得到x (k)。 密度泛函的导数是：例如，知道序列x(n)=(n)，并找到其n点DFT。解单位脉冲序列的密度泛函可以从密度泛函的定义公式中很容易地得到：k=0，1，n-1，X(k)的 (n)如图所示。这是一个非常特殊的例子，它表明对于序列(n)，无论对它执行多少点离散傅立叶变换，结果都是一个离散的矩形序列。序列(n)及其离散傅立叶变换，例3-5已知x(N)=cos(N/6)R12(N)是长度为N=12的有限长度序列，求其N点DFT。解由DFT定义，利用复正弦序列的正交特性，并考虑k的值区间，获得图3-10的有限长度序列及其DFT，n=16，n=12，nfft=16，假设x(n)是长度为n的离散序列，其z变换、DFT和DTFT分别为：if，DFT和序列傅立叶变换、z变换之间的关系， 并且序列的Z变换在单位圆上进行，可以得到序列的傅立叶变换，即如果Z=ejw，则Z平面单位圆上的有限长度序列x(n)的Z变换是序列x(n)的傅立叶变换，并且表示Z平面单位圆上具有振幅角的点，即Z平面单位圆n被等分后的第k点，如图所示。 因此，x(n)的DFTX(K)等于Z平面单位圆上n个相等点处的Z变换的采样值。因此，DFT和序列傅立叶变换之间的关系是：X(K)也是w=2 k/n时的采样值。如图所示，假设X(K)和X(EJ)之间的关系是3336x1 (n)，x2(n)是两个长度为n的有限长度序列，离散傅立叶变换的基本性质，x1(K)=DFTx1(n)x2(K)=DFTx2(n)，a，线性性质，它们各自的离散性，那么：第二，循环移位的性质，过程是：1。序列的循环移位，x(n)的循环移位被定义为y(N)=x(n(m)NRN(N)，1，x(N)以N作为周期被周期性地扩展以获得x(N)N2，x(N)N被向左移位m位以获得x(N(m)N3)，并且序列x(N(m)NRN(N)被作为其主值。如图所示，循环移位过程，2。时域循环移位定理。频域循环移位定理。循环卷积定理，1。循环卷积的定义循环卷积的定义是：y(n)也是长度为n的序列，标记为：2。时域循环卷积定理。频域循环卷积定理。DFT 1的共轭对称性。圆周共轭对称序列和共轭反对称序列设xep(n)和xop(n)为有限长序列如果xep(n)=x*ep(N-n)，0nN-1，则xep(n)为圆周共轭对称序列。如果xop(n)=-x * op (n-n)和0 n n-1，xop(n)被称为共轭反对称序列。当n是偶数时，上述公式中的n可以通过用n/2-n代替n来获得。上述公式更清楚地说明了有限长度序列的共轭对称性的含义。如图所示。图中的*表示利用离散傅立叶变换的共轭对称性，也可以通过计算一个N点离散傅立叶变换得到两个不同实序列的N点离散傅立叶变换。设x1(n)和x2(n)为两个N点实序列，形成一个新序列x(N): x(N)=x1(N)j x2(N)x(N)DFT，Get x(k)=DFTx(N)=xep(k)XOP(k)Get xep(k)=DFTx1(N)=1/2x(k)x *(N-k)XOP(k)=DFT jx2(N)=1/2 因此x1(K)=DFTx1(N)=1/2x (k)X *(N-K)x2(K)=DFTx2(N)=-J1/2X(K)-X *(N-K)可以看出，当输入信号的频率为q0时，在X(K)的N个值中只有X(q)=N，其余均为零。 如果输入信号是具有不同频率的几个信号的组合，在离散傅立叶变换之后，x (k)将在不同的k上具有一对一的输出，因此，离散傅立叶变换本质上是频率选择性的。3.4.5频率选择性，复序列x(n):0nN-1，其离散傅里叶变换为，其中q为整数。当0=2/N时，设：z变换的任何序列x(n)为：且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)有傅立叶变换)。如果在单位圆的n个点上以相等的间隔对X(Z)进行采样，则可以得出IDFT是针对X(k)计算的，并且xn (n)=idft x (k)。问题：是原始信号是否可以通过频域中的离散采样来恢复，条件是什么？频域采样，1。频域采样定理，找出xN(n)和x(n)之间的关系。因为X(k)是xN(n)序列在以n为周期的周期延拓后的离散傅里叶级数系数的主值序列，即公式(3.5.1)被代入上述公式，表明xN(n)是以n为周期的周期延拓后的原序列x(n)的主值序列。因此，如果x(n)是M长，只有当频域采样点的数量NM时，才能从频域采样X(K)中恢复原始序列x(n)。否则，将出现时域混叠。这就是所谓的频域采样定理。可以看出，当在时域中采样时，时域是离散的，而频域周期是周期性的。类似地，当在频域中采样时，频域是离散的，而时域是周期性的。例如，已知序列对x(n)的z变换X(z)在单位圆中以相等的间隔采样N个点，并且采样值是：找到有限长度序列IDFTX(k)的解：例如，假设序列x(n)=8，7，6，5，4，3，2，1，现在x(n)的DTFT在一个周期内在N=6个点被均匀采样以获得XN(K)。为了找到XN(K)的IDFTxN(n)，问题是：X(K)能完全表示X(Z)并将x(n)的长度设置为M吗？如果N个点在频域之间以相等的间隔采样，并且NM，则有，2。插值公式，X(Z)的插值公式，表示X(K)是已知的，根据插值公式可以找到任意Z点的X(Z)。因此，X(Z)的n个采样值X(K)包含X(Z)的所有信息。设：插值函数称为插值函数。让它的分子为零，所以，r=0，1，k，也就是说，插值函数在单位圆的n个相等点(即采样点)处具有n个零。当分母为零时，有一个极点z=wn-k=将与第k个零相抵消。因此，插值函数 k (z)不仅在它自己的采样点r=k处为零，而且在其它(N-1)个采样点r (r=0，1，n-1，但rk)都是零点(有(N-1)个零点)。然而，它在z=0时也有一个阶的极点(N-1)。可以进一步简化。当z=ej时，插值函数的幅度特性和相位特性(N=5)，当变量=0，()=1，当(I=1，2，n-1)，()=0。因此，可以看出满足以下关系：即，函数在该采样点，而在其他采样点，函数的整个X(EJ)分别通过将X(k)乘以n个函数来求和。因此，在每个采样点，X(ej)正好等于X(k)(因为其他点的插值函数在该点为零，没有影响)。每个采样点之间的X(ej)值是通过将每个采样点的加权插值函数叠加在所需的点上获得的。快速傅里叶变换(FFT)和频谱分析在数字信号处理中被广泛应用：例如，语音通信的频带压缩是通过对语言信号的频谱分析来实现的，声纳信号的频谱分析被用来区分水面和水下目标，而频谱分析则更多地应用于水下目标虽然频谱分析和DFT运算非常重要，但长期以来，DFT运算由于其复杂性一直没有得到真正的应用。然而，频谱分析仍然主要通过模拟信号滤波来解决。直到1965年，一种快速的离散傅立叶变换运算算法首次被提出，才发生了根本性的变化，人们开始认识到离散傅立叶变换运算的一些内在规律。因此，一套高速有效的运算方法快速傅里叶变换算法得到了很快的发展和完善。快速傅立叶变换的出现大大简化了快速傅立叶变换的运算，并将运算时间缩短了一两个数量级。离散傅立叶变换在实践中被广泛使用。快速傅立叶变换是快速傅立叶变换的理论基础，而快速傅立叶变换只是快速高效的快速傅立叶变换算法。1.DFT操作的特征1。密度泛函直接计算的特点是：x(n)长度为n，它的密度泛函为X(K)，长度为n。可以看出，正变换和负变换的形式非常相似，所以只讨论正变换。运算时间被设置为：x(n)是复数序列，并且X(K)值的计算需要N次复数乘法和N-1次复数加法。那么计算一个X(K)序列需要N2复数乘法和N(N-1)复数加法。因此，用于直接计算离散傅立叶变换的计算量与N的平方成比例。当N大时，计算量太大。提高离散傅立叶变换运算效率的基础是周期性和对称性。其周期性表示为，其圆周共轭对称性表示或书写为：此外，应用上述性质后，只有N/2个独立值，这为简化DFT运算提供了强有力的基础。1基2时域抽取快速傅立叶变换算法(DIT-快速傅立叶变换)假设x(n)是长度为N的序列，m是正整数，它根据N的奇偶性将x(n)分解为两个N/2点的子序列，并且2是基数2快速傅立叶变换算法。正因为如此，x(n)的离散傅立叶变换是，所以一个N点的离散傅立叶变换可以分解成两个N/2点的离散傅立叶变换。因为X1(k)和X2(k)都以N/2为周期，并且X(k)是n点，所以N/2点DFT，其中X1(k)和X2(k)分别是x1(r)和x2(r ),即由信号流程图表示，X(k)可以表示为，是蝶形，被称为蝶形计算结构，是FFT运算中的基本单元，并且上述分解过程可以由计算流程图表示。N点离散傅立叶变换(N=8)的时域抽取分解图。在上述分解之后，每个N/2点离散傅立叶变换只需要(n/2) 2=N2/4个复数乘法。两个N/2点的离散傅立叶变换需要2 (n/2) 2=N2/2的复数乘法，这表明分解后的计算量大约加倍。那么X1(k)可以表示为与第一次分解相同。根据r的奇偶性，将x1(r)分解为两个N/4-长的子序列x3(l)和x4(l)，即，在公式中，分解图为：如图所示，将一个N/2-点离散傅立叶变换分解为两个N/4-点离散傅立叶变换，通过相同的方法将x2(r)分解为两个N/4-长的子序列x5(l)和x6(l ),然后，X2(k)可以表示为，除了其他之外，在第二时域抽取中一个8点离散傅立叶变换可以分解成4个2点离散傅立叶变换，如图所示，如果N=8，那么：2点离散傅立叶变换，如图4.2.3N点离散傅立叶变换操作流程图(N=8)，因此，图中显示了N=8的离散傅立叶变换操作流程图。 每一级蝶式计算包括N/2个蝶式运算，因此所需的蝶式计算总数为：每一个蝶式计算需要一个复数乘法和两个复数加法。因此，n点的快速傅里叶变换需要：复数乘法和复数加法。例如，当N=210=1024时，离散傅立叶变换与快速傅立叶变换的复数乘法之比是：算法流程图规则1)，在快速傅立叶变换信号流程图中就地计算，每一级中的节点成对出现。如图所示，其中：可以看出M-1级的两个节点XM-1 (p)和XM-1 (q)的节点数经过蝶形运算后没有变化，即XM (p)和XM (q)。蝴蝶是一个独立的单位。也就是说，XM (P)和XM (Q)仅与XM-1 (P)和XM-1 (Q)相关，而与其他节点值无关。同时，XM-1 (P)和XM-1 (Q)不参与其他蝴蝶计算。因此，计算结果可以存储在原始单位中。在没有给st开出新地址的情况下双节点之间的间距可以由以下公式确定：m是该级的序列号r，并且可以由以下公式确定：其中：p是双节点中上部节点的序列号q，q是双节点中下部节点的序列号。只有较低的节点Xm(q)乘以加权因子。3)代码顺序通常由x(n)按顺序输入，其逆序排列是通过索引操作获得的。整个序列过程是：(设置N=8)如果输入序列x(n)的序列号N由二进制数n2n1n0表示，其反向二进制数由n0n1n2表示，即001 100if，则不需要交换数据。如果：010，则x(n)和x()必须反转。为了避免重复交换，有必要检查它是否小于n，如果小于n，则意味着x(n)已经与x()交换过。只有当n出现时，x(n)和x()的存储单元才会被交换。如图所示，基2频域抽取FFT算法(dif-FFT)在基2快速算法中，频域抽取FFT也是一种常用的快速算法，称为dif-FFT。设序列x(n)的长度为N=2M，先将x(n)前后分成两半，得到两个子序列，其离散傅立叶变换可表示为：将X(k)分成偶数数组和奇数数组。当k取偶数时(k=2r，r=0，1，n/2-1)，当k取奇数时(k=2r1，r=0，1，因此，将频域中N个点的离散傅立叶变换除以k，n/2个点的离散傅立叶变换被分成偶数和奇数部分，图4 . 2 . 4 DIF快速傅立叶变换一次分解操作流程图(N=8)，也可以继续分解。N/2点的离散傅立叶变换可分解为两个N/4点的离散傅立叶变换，见图4 . 2 . 5离散傅立叶变换二次分解操作流程图(N=8)，图4 . 2 . 6离散傅立叶变换操作流程图(N=8)，图4 . 2 . 7离散傅立叶变换变形操作流程图。图4.2.8抖动-快速傅立叶变