2020-2021学年高中数学 第1章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法学案 新人教A版必修1

第1课时函数的表示法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法(重点)2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数(难点)1通过函数表示的图象法培养直观想象素养2通过函数解析式的求法提升数学运算素养.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如d(x)列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段1已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()1x222x4f(x)123a.1b2c3d不存在c当2x4时，f(x)3，f(3)3.2二次函数的图象的顶点为(0，1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为()ayx21byx21cy4x216dy4x216b把点(0，1)代入四个选项可知，只有b正确3已知函数yf(x)的图象如图所示，则其定义域是_2,3由图象可知f(x)的定义域为2,3函数的三种表示方法【例1】(教材改编题)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来解列表法如下：x(台)12345y(元)3 0006 0009 00012 00015 000x(台)678910y(元)18 00021 00024 00027 00030 000图象法：如图所示解析法：y3 000x，x1,2,3，10列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示在用三种方法表示函数时要注意：解析法必须注明函数的定义域；列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法中要注意是否连线1(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()abcd(2)由下表给出函数yf(x)，则f(f(1)等于()x12345y45321a1b2c4d5(1)d(2)b(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选d.(2)由题意可知，f(1)4，f(4)2，f(f(1)f(4)2，故选b.图象的画法及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域(1)yx，x0,1，2,3；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2,2)解(1)列表x0123y0123函数图象只是四个点(0,0)，(1，1)，(2,2)，(3，3)，其值域为0，1,2，3(2)列表x2345y1当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分，观察图象可知其值域为(0,1(3)列表x21012y01038画图象，图象是抛物线yx22x在2x1，或x1，或x1)是抛物线yx22x去掉1x1之间的部分后剩余曲线如图.函数解析式的求法探究问题已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x)，反之，若已知f(g(x)，如何求f(x)提示：若已知f(g(x)的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)【例3】(1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x)4x8，则f(x)_；(2)已知f(1)x2，则f(x)_；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)2f(x)12x，则f(x)_.思路点拨：(1)用待定系数法求解；(2)用换元法或配凑法求解；(3)用方程组法求解(1)2x或2x8(2)x24x3(x1)(3)x1(1)设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又f(f(x)4x8，所以a2xabb4x8，即解得或所以f(x)2x或f(x)2x8.(2)法一(换元法)：令t1，则t1，x(t1)2，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t24t3，f(x)x24x3(x1)法二(配凑法)：f(1)x21443(1)24(1)3，因为11，所以f(x)x24x3(x1)(3)由题意，在f(x)2f(x)12x中，以x代x可得f(x)2f(x)12x，联立可得消去f(x)可得f(x)x1.1(变条件)把本例(1)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)1，f(x1)f(x)2x.”求f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc，由f(0)1得c1.又f(x1)a(x1)2b(x1)1，f(x1)f(x)2axab.由2axab2x，得解得a1，b1.f(x)x2x1.2(变条件)把本例(3)的题干改为“2ff(x)x(x0)”，求f(x)的解析式解f(x)2fx，令x，得f2f(x).于是得关于f(x)与f的方程组解得f(x)(x0)求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数fg(x)的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)t，反解出x，然后代入fg(x)中求出f(t)，从而求出f(x)(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法).提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.1核心要点：函数有三种常用的表示方法：解析法、图象法和列表法，可以根据具体情况，以最佳的方式表示函数2数学思想：作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点，根据函数的解析式画出函数的图象，是数形结合的具体体现3数学方法：求函数解析式的主要方法有：待定系数法、换元法，解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示()(2)函数f(x)2x1不能用列表法表示()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线()答案(1)(2)(3)2已知函数f(x1)3x2，则f(x)的解析式是()af(x)3x1bf(x)3x1cf(x)3x2df(x)3x4a令x1t，则xt1，f(t)3(t1)23t1.f(x)3x1.3已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则g(f(5)_；f(g(2)_.43由题表可知f(5)3，g(3)4，g(f(5)g(3)4.又g