2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角恒等变形练习 理 北师大版

4.3 三角恒等变形核心考点精准研析 考点一三角函数式的化简求值 1.(2020阜阳模拟)若sin(-)sin -cos(-)cos =45 ,且为第二象限角,则tan+4 =()a.7b.17 c.-7 d.-17 2.(2019全国卷)已知0,2 ,2sin 2=cos 2+1,则sin =()a.15 b.55 c.33 d.255 3.化简:2cos2-12tan4-sin24+ =.【解析】1.选b.因为sin(-)sin -cos(-)cos =45 ,即-cos(-+)=-cos =45 ,所以cos =-45 .又因为为第二象限角,所以tan =-34 ,所以tan+4 =1+tan1-tan =17 .2.选b.由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =cos ,结合sin2+cos2=1,解得sin =55 .3.原式=cos2-sin221-tan1+tansin4cos+cos4sin2 =(cos2-sin2)(1+tan)(1-tan)(cos+sin)2 =(cos2-sin2)1+sincos1-sincos(cos+sin)2 =1.答案:1 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解t3,原式=cos22tan4-cos24- =cos22sin4-cos4- =cos2sin2-2 =cos2cos2 =1.三角形法解t2,因为0,2 ,所以sin 0,cos 0,由2sin 2=cos 2+1得4sin cos =2cos2,即2sin =cos ,tan =12 ,画直角三角形如图,不妨设角对边为1,邻边为2,则斜边为5 ,sin =55 . 考点二条件求值问题 命题精解读1.考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.2.怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.学霸好方法条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2=1+cos22 ,sin2=1-cos22 .(2)升幂公式:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2.(3)公式变形:tan tan =tan()(1tan tan ).(4)辅助角公式:asin x+bcos x=a2+b2 sin(x+) 其中sin =ba2+b2 ,cos =aa2+b2 给角求值【典例】(2019沈阳四校联考)化简:1cos80 -3sin80 =.【解析】1cos80 -3sin80 =sin80-3cos80sin80cos80 =2sin(80-60)12sin160 =2sin2012sin20 =4.答案:4 给角求值如何求解?提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简. 给值求值【典例】1.(2018全国卷)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.2.(2018全国卷)已知tan-54 =15 ,则tan =.【解析】1.由sin +cos =1与cos +sin =0分别平方相加得sin2+2sin cos +cos2+cos2+2cos sin +sin2 =1,即2+2sin cos +2cos sin =1,所以sin(+)=-12 .答案:-12 2.因为tan-54 =tan-4 =15 ,所以tan-11+tan =15 ,解得tan =32 .答案:32 给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 给值求角【典例】(2020长春模拟)已知sin =55 ,sin(-)=-1010 ,均为锐角,则角值是.【解析】因为,均为锐角,所以-2 -2 .又sin(-)=-1010 ,所以cos(-)=31010 .又sin =55 ,所以cos =255 ,sin =sin-(-)=sin cos(-)-cos sin(-)=55 31010 -255 -1010 =22 ,所以=4 .答案:4 如何选取合适的三角函数求角?提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是0,2 ,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数较好;若角的范围为-2,2 ,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角. 1.(2020滁州模拟)若锐角,满足tan +tan =3 -3 tan tan ,则+=.【解析】由已知可得tan+tan1-tantan =3 ,即tan(+)=3 .又因为+(0,),所以+=3 .答案:3 2.(2019福州模拟)已知a,b均为钝角,sin2a2 +cosa+3 =5-1510 ,且sin b=1010 ,则a+b=()a.34 b.54 c.74 d.76 【解析】选c.因为sin2a2 +cosa+3 =5-1510 ,所以1-cosa2 +12 cos a-32 sin a=5-1510 ,即12 -32 sin a=5-1510 ,解得sin a=55 .因为a为钝角,所以cos a=-1-sin2a =-1-552 =-255 .由sin b=1010 ,且b为钝角,得cos b=-1-sin2b =-1-10102 =-31010 .所以cos(a+b)=cos acos b-sin asin b=-255 -31010 -55 1010 =22 .又a,b都为钝角,即a,b2, ,所以a+b(,2),所以a+b=74 .3.(2020佛山模拟)已知cos =210 ,(-,0),则cos-4 =()a.-35 b.-45 c.35 d.45 【解析】选a.因为cos =210 ,(-,0),所以sin =-1-cos2 =-7210 ,所以cos-4 =cos cos4 +sin sin4 =210 22 +-7210 22 =-35 . 1.(2019贵阳模拟)sin415-cos415=()a.12 b.-12 c.32 d.-32 【解析】选d.sin415-cos415=(sin215-cos215)(sin215+cos215)=sin215-cos215=-cos 30=-32 .2.定义运算abcd =ad-bc.若cos =17 ,sinsincoscos =3314 ,02 ,则=.【解析】由已知得sin cos -cos sin =sin(-)=3314 .又02 ,所以0-2 ,所以cos(-)=1-sin2(-) =1314 ,而cos =17 ,所以sin =437 ,于是sin =sin-(-)=sin cos(-)-cossin(-)=437 1314 -17 3314 =32 ,所以=3 .答案:3 考点三三角恒等变换的综合应用 【典例】1.如图,在矩形oabc中,ab=1,oa=2,以b为圆心,ba为半径在矩形内部作弧,点p是弧上一动点,pmoa,垂足为m,pnoc,垂足为n,求四边形ompn的周长的最小值.【解析】连接bp,设cbp=,其中02 ,则pm=1-sin ,pn=2-cos ,则周长c=6-2(sin +cos )=6-22 sin+4 ,因为02 ,所以4 +4 0)求周期;根据自变量的范围确定x+的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=asin(x+)+b或y=acos(x+)+b的单调区间. 1. 如图是半径为1的半圆,且四边形pqrs是半圆的内接矩形,设sop=,求为何值时矩形的面积最大,并求出最大值.【解析】因为sop=,所以ps=sin ,sr=2cos ,故s矩形pqrs=srps=2cos sin =sin 2,故当=4 时,矩形的面积有最大值1.2.(2020合肥模拟)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-6 ,xr.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间-3,4 上的最大值和最小值.【解析】(1)由已知得f(x)=1-cos2x2 -1-cos2x-32 =1212cos2x+32sin2x -12 cos 2x=34 sin 2x-