2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第1课时 范围与最值问题教学案 理 新人教A版

第1课时范围与最值问题范围问题例1设圆x2y22x150的圆心为a，直线l过点b(1,0)且与x轴不重合，l交圆a于c，d两点，过b作ac的平行线交ad于点e.(1)证明|ea|eb|为定值，并写出点e的轨迹方程；(2)设点e的轨迹为曲线c1，直线l交c1于m，n两点，过b且与l垂直的直线与圆a交于p，q两点，求四边形mpnq面积的取值范围.解(1)因为|ad|ac|，ebac，故ebdacdadc，所以|eb|ed|，故|ea|eb|ea|ed|ad|.又圆a的标准方程为(x1)2y216，从而|ad|4，所以|ea|eb|4.由题设得a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，由椭圆定义可得点e的轨迹方程为1(y0).(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2).由得(4k23)x28k2x4k2120.0恒成立，则x1x2，x1x2，所以|mn|x1x2|.过点b(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，点a到m的距离为，所以|pq|24.故四边形mpnq的面积s|mn|pq|12.可得当l与x轴不垂直时，四边形mpnq面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时，其方程为x1，|mn|3，|pq|8，四边形mpnq的面积为12.综上，四边形mpnq面积的取值范围为12,8).思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.跟踪训练1(2018浙江)如图，已知点p是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线c：y24x上存在不同的两点a，b满足pa，pb的中点均在c上.(1)设ab的中点为m，证明：pm垂直于y轴；(2)若p是半椭圆x21(x0)上的动点，求pab面积的取值范围.(1)证明设p(x0，y0)，a，b.因为pa，pb的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根.所以y1y22y0，所以pm垂直于y轴.(2)解由(1)可知所以|pm|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以pab的面积spab|pm|y1y2|.因为x1(1x0b0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆c的方程；(2)设斜率存在的直线l与椭圆c交于a，b两点，坐标原点o到直线l的距离为，求aob面积的最大值.解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知c，b1，所求椭圆方程为y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，设直线ab的方程为ykxm.由已知，得m2(k21).把ykxm代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.36k2m24(3k21)(3m23)36k212m2120.x1x2，x1x2.|ab|2(1k2)(x2x1)2(1k2)33(k0)34.当且仅当9k2，即k时等号成立.当k0时，|ab|，综上所述|ab|max2.当|ab|最大时，aob面积取得最大值s|ab|max.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.跟踪训练2(2020长沙雅礼中学模拟)已知抛物线c1：y24x和c2：x22py(p0)的焦点分别为f1，f2，点p(1，1)且f1f2op(o为坐标原点).(1)求抛物线c2的方程；(2)过点o的直线交c1的下半部分于点m，交c2的左半部分于点n，求pmn面积的最小值.解(1)f1(1,0)，f2，(1，1)10，p2，抛物线c2的方程为x24y.(2)设过点o的直线mn的方程为ykx(k0)，点f为抛物线c的焦点，点a(1，m)(m0)在抛物线c上，且|fa|2，过点f作斜率为k的直线l与抛物线c交于p，q两点.(1)求抛物线c的方程；(2)求apq面积的取值范围.解(1)由抛物线的定义可得|fa|xa12，所以p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)设直线l的方程为yk(x1)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，联立得k2x2(2k24)xk20，0恒成立，由根与系数的关系得x1x2，x1x21，因为afx轴，则sapq|af|x1x2|x1x2|44，因为k2，令t，所以sapq4，所以sapq8，所以apq的面积的取值范围为，8.素养提升典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出p，q点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧设而不求，从而简化了运算过程.1.(2019全国100所名校联考)已知抛物线c：y24x，点a(m,0)在x轴正半轴上，o为坐标原点，若抛物线上存在点p，使得opa90，则m的取值范围是()a.(0,4) b.(4，)c.(0,2) d.(2，)答案b解析设点p，由opa90，得0，0.即m4，m4.2.(2019绵阳诊断)若点o和点f分别为椭圆1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为()a.b.6c.8d.12答案b解析由题意得f(1,0)，设p(x，y)，则(x，y)(x1，y)x2xy2，又点p在椭圆上，故1，所以x2x3x2x2x3(x2)22，又2x2，所以当x2时，取得最大值，即的最大值为6.3.过抛物线y2x的焦点f的直线l交抛物线于a，b两点，且直线l的倾斜角，点a在x轴上方，则|fa|的取值范围是()a.b.c.d.答案d解析记点a的横坐标是x1，则有|af|x1|af|cos，|af|(1cos)，|af|.由得1cos，22(1cos)4，b0)的中心为o，一个焦点为f，若以o为圆心，|of|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是()a.b.c.d.答案a解析由于以o为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以o为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足cb，则c2b2a2c2，所以2c2a2，所以e0，b0)的左、右焦点，双曲线左支上存在一点p使|pf2|28a|pf1|(a为实半轴长)成立，则此双曲线的离心率e的取值范围是()a.(1，) b.(2,3c.(1,3 d.(1,2答案c解析由p是双曲线左支上一点及双曲线的定义，得|pf2|2a|pf1|，所以|pf1|4a8a，所以|pf1|2a，|pf2|4a，因为|pf1|pf2|f1f2|，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以10)上任意一点，m是线段pf上的点，且|pm|2|mf|，则直线om的斜率的最大值为()a.b.c.d.1答案a解析由题意可得f，设p(y00)，则()，可得k.当且仅当时取得等号，故选a.8.椭圆c：y21(a1)的离心率为，f1，f2是c的两个焦点，过f1的直线l与c交于a，b两点，则|af2|bf2|的最大值等于_.答案7解析因为椭圆c的离心率为，所以，解得a2，由椭圆定义得|af2|bf2|ab|4a8，即|af2|bf2|8|ab|，而由焦点弦性质，知当abx轴时，|ab|取最小值21，因此|af2|bf2|的最大值等于817.9.过双曲线e：1(a0，b0)的右焦点，且斜率为2的直线与e的右支有两个不同的公共点，则双曲线e的离心率的取值范围是_.答案(1，)解析斜率为2的直线与双曲线e的右支有两个交点，2.又b2c2a2，2.整理，得ca，e1，双曲线e的离心率的取值范围是(1，).10.若抛物线yax21(a0)上恒有关于直线xy0对称的相异两点a，b，则a的取值范围是_.答案解析设抛物线上的两点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab的方程为yxb，代入抛物线方程yax21，得ax2x(b1)0，设直线ab的中点为m(x0，y0)，则x0，y0x0bb.由于m(x0，y0)在直线xy0上，故x0y00，由此解得b，此时ax2x(b1)0可变形为ax2x0，由14a0，解得a.11.(2020广东华附、省实、广雅、深中四校联考)设抛物线c：y24x，过定点(m,0)的直线l与抛物线c交于a，b两点，连接a及抛物线顶点o的直线与准线交于点b，直线bo与准线交于点a，且aa与bb均平行于x轴.(1)求m的值；(2)求四边形abba面积的最小值.解(1)设a，b，设直线l：xtym，并与抛物线方程联立，消去x整理得y24ty4m0，16t216m0，依题意知a，o，b三点共线，a(1，y1)，kaokbo，即，y1y24，m1.(2)依题意知a(1，y1)，b(1，y2)，s四边形abba(|aa|bb|)|ab|y1y2|8(t21)8，当t0时等号成立，此时l：x1.所以四边形abba面积的最小值为8.12.(2019石家庄模拟)已知抛物线c：y22px(p0)上一点p(x0,2)到焦点f的距离|pf|2x0.(1)求抛物线c的方程；(2)过点p引圆m：(x3)2y2r2(00)的焦点f，准线方程为x，|pf|2x0，即x02x0，又2px04，解得p2，x01，抛物线c的方程为y24x.(2)过p(1,2)的直线方程可设为ykx2k(k0)，由直线与圆m相切，可得r，化为(r24)k28kr240，64k24(r24)20.设切线pa，pb的斜率分别为k1，k2，可得k1k2，k1k21，由ykx2k，联立抛物线方程可得k2x22k(2k)4x(2k)20，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，可得1x11，1x21，即有x1x22442427，由00)的焦点坐标为f，o为坐标原点，若p为抛物线c上任意一点且|op|pf|，则的最大值为()a.b.c.d.答案a解析依题意得，则p，所以抛物线c：y2x，设p(x0，y0)，则.令tx0，t，则.14.(2019淄博模拟)已知抛物线c：y2x上一点m(1，1)，点a，b是抛物线c上的两动点，且0，则点m到直线ab的距离的最大值是_.答案解析设直线ab的方程为xmyn，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立得即y2myn，即y2myn0，所以y1y2n，y1y2m，m24n0，因为0，所以(x11)(x21)(y11)(y21)0，即(y1)(y1)(y11)(y21)0，(y11)(y21)(y11)(y21)10，解得(y11)(y21)0或(y11)(y21)10，化简可得nm10或nm20，当(y11)(y21)0时，易知，m与a，b中一点重合，m到ab的距离为0.所以nm20，即n2m.所以直线ab的方程为xmy2m，即x2m(y1)，故直线ab过定点c(2,1)，当mc垂直于直线ab时，点m到直线ab的距离取得最大值，最大值为.15.(2019济宁模拟)已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，实轴长为4，渐近线方程为yx，点m满足|mf1|mf2|4，点n在圆c：x2y24y0上，则|mn|mf1|的最小值为()a.2b.5c.6d.7答案b解析由题意可得2a4，即a2.渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线的方程为y21，焦点为f1(，0)，f2(，0)，由圆x2y24y0可得圆心c(0,2)，半径r2，由|mf1|mf2|4可得点m为双曲线右支上一点，得|mn|mf1|4|mn|mf2|f2n|4，问题转化为求点f2到圆c上点的最小距离，|f2n|的最小值为|cf2|21，则|mn|mf1|的最小值为415.16.(2019武昌调研)已知椭圆c：1(ab0)经过点p，且离心率为.(1)求椭圆c的方程；(2)设f1，f2分别为椭圆c的左、右焦点，不经过f1的直线l与椭圆c交于两个不同的点a，b，如果直线af1，l，bf1的斜率依次成等差数列，求焦点f2到直线l的距离d的取值范围.解(1)由题意，知解得所以椭圆c的方程为y21.(2)易知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为ykxm，代入椭圆方程y21，整理得(12k2)x24kmx2(m21)0.由(4km