2021高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法教学案 理 新人教A版

6.1数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式如果数列an的第n项an与序号n之间的关系能用公式anf (n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，sna1a2an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和an1f (an)或a1，a2和an1f (an，an1)等表示数列的方法3.an与sn的关系若数列an的前n项和为sn，则an4数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nn*递减数列an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.5数列an中，ann211n(nn*)，则此数列最大项的值是_答案30解析ann211n2，nn*，当n5或n6时，an取最大值30.6已知数列an的前n项和snn21，则an_.答案解析当n1时，a1s12，当n2时，ansnsn1n21(n1)212n1，a12不满足上式故an由an与sn的关系求通项公式例1(1)已知数列an的前n项和sn2n23n，则an_.答案4n5解析a1s1231，当n2时，ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.(2)(2020河南省天一大联考)设sn为数列an的前n项和，若2sn3an3，则a4等于()a27b81c93d243答案b解析根据2sn3an3，可得2sn13an13，两式相减得2an13an13an，即an13an，当n1时，2s13a13，解得a13，所以数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4a1q33481.故选b.(3)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an_.答案解析当n1时，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由，得nan2n2n12n1，an.显然当n1时不满足上式，an本例(1)中，若sn2n23n1，则an_.答案思维升华已知sn求an的常用方法是利用an一定要检验a1的情况跟踪训练1(1)已知数列an的前n项和sn3n1，则an_.答案解析当n1时，a1s1314；当n2时，ansnsn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，所以an(2)(2019咸阳模拟)已知正项数列an中，(nn*)，则数列an的通项公式为()aannbann2candan答案b解析由题意得n(n2)，又1，所以n(n1)，ann2，故选b.(3)(2018全国)记sn为数列an的前n项和若sn2an1，则s6_.答案63解析sn2an1，当n2时，sn12an11，ansnsn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)当n1时，a1s12a11，得a11.数列an是首项a11，公比q2的等比数列，sn12n，s612663.由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2设数列an中，a12，an1ann1，则an_.答案解析由条件知an1ann1，则当n2时，an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2.（经检验，n=1时也符合）.命题点2累乘法例3设数列an中，a12，an1an，则an_.答案解析an1an，a12，an0，.当n2时，ana12.（经检验，n=1时也符合）.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现anan1f (n)时，用累加法求解(2)当出现f (n)时，用累乘法求解跟踪训练2(1)(2019榆林模拟)在数列an中，2n1，a10，则a8_.答案2492解析令bn，则bn1bn2n1，b11，b8b8b7b7b6b2b1b113111150，50，a82492.(2)已知数列an满足a1，an1an，求通项公式an.解由已知得，分别令n1,2,3，(n1)，代入上式得n1个等式累乘，即，所以，即n2时，an，又因为a1也满足该式，所以an.数列的性质命题点1数列的单调性例4已知数列cn，cn，则当n_时，cn最大答案5解析cn1cn，当n4时，cn1cn，当n5时，cn1cn，因此c1c2c3c4c6c7，n5时，cn取得最大值命题点2数列的周期性例5(2019兰州模拟)已知数列an中，a11，a22，且anan2an1(nn*)，则a2020的值为()a2b1c.d.答案b解析因为anan2an1(nn*)，由a11，a22，得a32，由a22，a32，得a41，由a32，a41，得a5，由a41，a5，得a6，由a5，a6，得a71，由a6，a71，得a82，由此推理可得数列an是周期为6的数列，所以a2020a41，故选b.命题点3数列的最值例6已知等差数列an的前n项和为sn，且sm12，sm0，sm13(m2)，则nsn的最小值为()a3b5c6d9答案d解析由sm12，sm0，sm13(m2)可知am2，am13，设等差数列an的公差为d，则d1，sm0，a1am2，则ann3，sn，nsn.设f (x)，x0，f(x)x25x，x0，f (x)的极小值点为x，nn*，且f (3)9，f (4)8，f (n)min9.思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断跟踪训练3(1)(2019浙江省嘉兴第一中学、湖州中学期中)若数列an满足a11，a23，anan2an1(n3)，记数列an的前n项积为tn，则下列说法错误的是()atn无最大值ban有最大值ct20209da20201答案a解析因为a11，a23，anan2an1(n3)，所以a33，a41，a5，a6，a71，a83，因此数列an为周期数列，an6an，an有最大值3，a2020a41，因为t11，t23，t39，t49，t53，t61，t71，t83，所以tn为周期数列，tn6tn，tn有最大值9，t2020t49，故选a.(2)(2019宁夏石嘴山市第三中学模拟)已知数列an满足a11，且点(an，2an1)(nn*)在直线xy10上若对任意的nn*，恒成立，则实数的取值范围为_答案解析数列an满足a11，且点(an，2an1)(nn*)在直线xy10上，可得anan110，即an1an1，可得ann，对任意的nn*，恒成立，即为min，由f (n)，得f (n)f (n1)0，即f (n)1；当n6时，anan，sns6.请写出一个满足条件的数列an的通项公式an_.答案n6(nn*)(答案不唯一)解析nn*，an1an，则数列an是递增的，nn*，sns6，即s6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列an的一个通项公式ann6(nn*)(答案不唯一)9设sn是数列an的前n项和，且a11，an1snsn1，则sn_.答案解析an1sn1sn，sn1snsn1sn，又由a11，知sn0，1，是等差数列，且公差为1，而1，1(n1)(1)n，sn.10已知数列an满足a11，anan1nanan1(nn*)，则an_.答案解析由anan1nanan1，得n，则当n2时，由累加法得12(n1)，又因为a11，所以1(经检验，n=1时也成立)，所以an(nn*)11已知在数列an中，a11，前n项和snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由s2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由s3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n1时，有ansnsn1anan1，整理，得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1，将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an，经检验n1时，也满足上式综上，an的通项公式为an.12已知数列an中，a11，其前n项和为sn，且满足2sn(n1)an(nn*)(1)求数列an的通项公式；(2)记bn3na，若数列bn为递增数列，求的取值范围解(1)2sn(n1)an，2sn1(n2)an1，2an1(n2)an1(n1)an，即nan1(n1)an，1，ann(nn*)(2)bn3nn2.bn1bn3n1(n1)2(3nn2)23n(2n1)数列bn为递增数列，23n(2n1)0，即1.cn为递增数列，c12，即的取值范围为(，2)13已知数列an的前n项和为sn，若3sn2an3n，则a2020等于()a220201b320206c.2020d.2020答案a解析由题意可得，3sn2an3n，3sn12an13(n1)，两式作差可得3an12an12an3，即an12an3，an112(an1)，结合3s12a133a1可得a13，a112，则数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，据此有a20201(2)(2)201922020，a2020220201.故选a.14已知数列an的首项a1a，其前n项和为sn，且满足snsn14n2(n2，nn*)，若对任意nn*，anan1恒成立，则a的取值范围是()a.b.c.d(3,5)答案d解析snsn14n2，sn1sn4(n1)2，当n2时，sn1sn18n4，即an1an8n4，即an2an18n12，故an2an8(n2)，又a1a，a22a142216，a2162a1162a，a32s243236，a3362s2362(16a)42a，a4242a；若对任意nn*，anan1恒成立，只需使a1a2a3a4，即a162a42a242a，解得3a5，故选d.15(2019湖南省长沙市湖南师范大学附属中学模拟)已知函数yf (x)的定义域为r，当x1，且对任意的实数x，yr，等式f (x)f (y)f (xy)成立，若数列an满足f (an1)f1(nn*)，且a1f (0)，则下列结论成立的是()af (a2019)f (a2021) bf (a2020)f (a2023)cf (a2021)f (a2022) df (a2019)f (a2022)答案a解析由f (x)f (y)f (xy)，令x0，y1，则f (0)f (1)f (1)，x1，f (1)1，f (0)1，a11，当x0时，令yx，则f (x)f (x)f (0)1，即f (x)，又f (x)1，当x0时，0f (x)x1，则x2x10，f (x1)f (x2x1)f (x2)，即f (x2x1)(0,1)，f (x)在r上单调递减，又f (an1)ff1f (0)，an1，令n1，a2；令n2，a32；令n3，a41，数列an是以3为周期的数列，a2019a32，a2020a11，a2021a2，a2022a32，a2023a11，f (x)在r上单调递减，f (2)ff (1)，f (a2019)f (a2021)，f (a2020)f (a2023)，f (a2021)f (a2022)，f (a2019