2021高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.3 平面向量的数量积教学案 理 新人教A版VIP

5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则aob就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，.2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos叫做向量a在b方向上的投影|b|cos叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b).(3)(ab)cacbc.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论符号表示坐标表示模|a|a|夹角coscosab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|概念方法微思考1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cos，而b在a方向上的投影为|b|cos，其中为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定.当夹角为0时，数量积也大于0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(2)由ab0可得a0或b0.()(3)(ab)ca(bc).()(4)若ab0，n0，则由2，得(n，0)(m2，m)2(n，0)(m，m)，所以n(m2)2nm，化简得m2.故(m，m)(m2，m)2m22m12.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.跟踪训练1(1)在正三角形abc中，d是bc上的点，若ab3，bd1，则_.答案解析如图所示，()93cos120.(2)已知梯形abcd中，abcd，ab2cd，且dab90，ab2，ad1，若点q满足2，则等于()a.b.c.d.答案d解析以a为坐标原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则b(2,0)，c(1,1)，d(0,1)，又2，q，1.故选d.平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例2(1)(2020遵义统考)已知两个单位向量a和b的夹角为120，kr，则|kab|的最小值为()a.b.c.1d.答案b解析|kab|2k2a22kabb2因为a和b是单位向量，且夹角为120，所以|kab|2k2a22kabb2k2|a|22k|a|b|cosa，b|b|2k2k12，所以|kab|，所以|kab|的最小值为.(2)(2020四川双流中学诊断)如图，在abc中，m为bc的中点，若ab1，ac3，与的夹角为60，则|_.答案解析m为bc的中点，()，|2()2(|2|22)(19213cos60)，|.命题点2求向量的夹角例3(1)(2020昆明一中检测)已知向量a，|b|2，且ab1，则a与b的夹角为()a.30b.45c.60d.90答案c解析|a|1，cosa，b，a与b的夹角为60.(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_.答案解析由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos60，解得.思维升华 (1)求解平面向量模的方法利用公式|a|.利用|a|.(2)求平面向量的夹角的方法定义法：cos，的取值范围为0，.坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos.解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.跟踪训练2(1)(2019江西省临川一中模拟)已知向量a(3,4)，b(1，k)，且ab，则a4b与a的夹角为_.答案解析因为ab，故ab0，所以34k0，故k，故a4b(1,7)，设a4b与a的夹角为，则cos，因0，故.(2)(2019日照模拟)已知向量a，b，c满足|a|4，|b|2，a，b，(ca)(cb)1，则|ca|的最大值为_.答案1解析设a，b，c，以oa所在的直线为x轴，o为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，|a|4，|b|2，a与b的夹角为，则a(4,0)，b(2,2)，设c(x，y)，(ca)(cb)1，x2y26x2y90，即(x3)2(y1)21，所以点c在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|ca|表示点a，c的距离，即圆上的点与a(4,0)的距离，因为圆心到a的距离为，所以|ca|的最大值为1.平面向量与三角函数、解三角形例4(2019石家庄模拟)已知向量a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，f (x)ab.(1)求函数f (x)ab的最小正周期；(2)在abc中，bc，sinb3sinc，若f (a)1，求abc的周长.解(1)f (x)sinxcosxcos2xsin2xcos2x，f (x)sin，所以f (x)的最小正周期t.(2)由题意可得sin，又0a，所以2a，所以2a，故a.设角a，b，c的对边分别为a，b，c，则a2b2c22bccosa.所以a2b2c2bc7，又sinb3sinc，所以b3c.故79c2c23c2，解得c1.所以b3，abc的周长为4.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.跟踪训练3在abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，已知向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求c的大小；(2)若点d为边ab上一点，且满足，|，c2，求abc的面积.解(1)因为m(cosb，cosc)，n(c，b2a)，mn0，所以ccosb(b2a)cosc0，在abc中，由正弦定理得，sinccosb(sinb2sina)cosc0，sina2sinacosc，又sina0，所以cosc，而c(0，)，所以c.(2)由知，所以2，两边平方得4|2b2a22bacosacbb2a2ba28.又c2a2b22abcosacb，所以a2b2ab12.由得ab8，所以sabcabsinacb2.1.(2020江西省临川第一中学模拟)已知向量a(2,1)，b(m，1)，且a(ab)，则m的值为()a.1b.3c.1或3d.4答案b解析因为a(2,1)，b(m，1)，所以ab(2m，2)，因为a(ab)，则a(ab)2(2m)20，解得m3.故选b.2.(2019全国)已知(2,3)，(3，t)，|1，则等于()a.3b.2c.2d.3答案c解析因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302，故选c.3.(2019拉萨模拟)已知向量a，b的夹角为，且a(2，1)，|b|2，则|a2b|等于()a.2b.3c.d.答案c解析由已知|a|，ab|a|b|cos0，|a2b|2(a2b)2a24ab4b2()242221，|a2b|.故选c.4.(2019湖南省桃江县第一中学模拟)已知向量a，b满足|a|，|b|1，且|ba|2，则向量a与b的夹角的余弦值为()a.b.c.d.答案d解析由题意可知，|ba|2b22aba232ab4，解得ab，cosa，b，故选d.5.(2020东莞模拟)已知非零向量m，n满足|n|4|m|，且m(2mn)，则m，n的夹角为()a.b.c.d.答案d解析|n|4|m|，且m(2mn)，m(2mn)2m2mn2|m|2|m|n|cosm，n0，且|m|0，|n|0，2|m|n|cosm，n0，cosm，n，又0m，n，m，n.故选d.6.(2019衡水质检)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，则下列结论不正确的是()a.不存在，使e1e2b.eec.(e1e2)(e1e2)d.e1在e2方向上的投影为sin答案d解析对于a，因为两个单位向量e1，e2，有e1e211coscos1，所以a正确；对于b，因为两个单位向量e1，e2，有ee1，所以b正确；对于c，因为两个单位向量e1，e2，有(e1e2)(e1e2)ee0，所以(e1e2)(e1e2)，所以c正确；对于d，因为两个单位向量e1，e2，e1在e2方向上的投影为|e1|coscos，所以d错误.故选d.7.(2019景德镇模拟)已知两个单位向量a，b的夹角为30，cma(1m)b，bc0，则m_.答案42解析bcbma(1m)bmab(1m)b2m|a|b|cos30(1m)|b|2m1m0，所以m42.8.(2019攀枝花联考)在四边形abcd中，(2,4)，(3，5)，则在上的投影为_.答案解析由得四边形abcd是平行四边形，且(2,4)(3，5)(1，1)，则(2,4)(1，1)(1,3)，在上的投影为|cos，.9.(2019天津模拟)已知菱形abcd的边长为2，abc60，点e，f分别在边ad，dc上，()，则_.答案解析连接ac，bd交于点o，以o为原点，以，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，菱形边长为2，abc60，a(1,0)，b(0，)，c(1,0)，d(0，)，()，e为ad的中点，e，f，.10.(2020天津市北辰区模拟)在平行四边形abcd中，ab4，4，点p在边cd上，则的取值范围是_.答案解析因为点p在边cd上，所以设(01)，则，(1)，所以()(1)4(1)(1)161621242，又01，所以0.11.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求abc的面积.解(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos.又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以abc.又|a|4，|b|3，所以sabc|sinabc433.12.已知向量a(cosx，sinx)，b(3，)，x0，.(1)若ab，求x的值；(2)记f (x)ab，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)因为a(cosx，sinx)，b(3，)，ab，所以cosx3sinx.若cosx0，则sinx0，与sin2xcos2x1矛盾，故cosx0，于是tanx.又x0，所以x.(2)f (x)ab(cosx，sinx)(3，)3cosxsinx2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f (x)取得最大值3；当x，即x时，f (x)取得最小值2.13.(2020衡阳模拟)在abc中，a120，3，点g是abc的重心，则|的最小值是()a.b.c.d.答案b解析设bc的中点为d，因为点g是abc的重心，所以()()，再令|c，|b，则bccos1203，所以bc6，所以|2(|22|2)(c2b26)(2bc6)，所以|，当且仅当bc时取等号，故选b.14.(2018天津)如图，在平面四边形abcd中，abbc，adcd，bad120，abad1.若点e为边cd上的动点，则的最小值为()a.b.c.d.3答案a解析如图，以d为坐标原点，da，dc所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系.连接ac，由题意知cadcab60，acdacb30，则d(0,0)，a(1,0)，b，c(0，).设e(0，y)(0y)，则(1，y)，y2y2(0y)，当y时，有最小值.故选a.15.若向量a，b，c满足ab，c0，且(ca)(cb)0，则的最小值是()a.b.2c.2d.答案c解析设向量a，b，c，则由(ca)(cb)0得0，即c的轨迹为以ab为直径的圆，圆心为ab的中点m，半径为|，因此|c|r|ab|ab|，从而2，故选c.