2021高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式教学案 理 新人教A版

4.2等角三角函数的基本关系式和诱导式最新试验纲试验性地分析1 .理解等角三角函数的基本关系式： sin2x cos2x=1，=tanx2 .利用单位圆中的三角函数线，可以导出，的正弦、馀弦、正切的诱导公式利用同角三角函数的基本关系、诱导式解决条件评价问题，常与三角恒等变换相结合，强调恒等变形的技能和基本运算能力1 .等角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2 cos2=1(2)商数关系：=tan2 .三角函数的诱导公式公式一个二三四五六角2k (kz ) -签名sin-sin-sinsincoscos馀弦cos-coscos-cossin-sin相切tantan-tan-tan口诀函数名称保持不变。 符号看象限函数名改变，符号看象限对概念方法的思考1 .使用平方关系求三角函数值时，如何决定三角函数值的符号？给出从有角象限确定三角函数值的符号2、感应式记忆口诀“奇变异、不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变提示所有的感应式都可以视为k(kz )与的三角函数值的关系，口诀中的奇，偶或这里的k是奇还是偶。当问题小组考虑到1 .判断以下结论是否正确(请在括号内加上“”或“-”)。(1)，为锐角的话，sin2 cos2=1. ()(2)r的话，tan=恒成立(3)sin( )=-sin成立条件是为锐角(sin(k-)=(kz )时sin=.()问题组2教材改编sin=，时为tan=答案-分析，cos=fufu -tan=- .当得知tan=2时，的值为。答案3解析原式=34 .简化sin(-)cos(2-)的结果是答案-sin2分析式=(-sin)cos=-sin2.问题组3容易出错的自我修复sin cos=、sin-cos值为答案-sin cos =，sin cos =另外，在-2=1-2sincos=，时sin -cos =-.sin( )=-，sin(7-)=； cos=.cos答案sin( )=-、sin=sin(7-)=sin(-)=sin=，cos=cos=cos=cos=sin=.等角三角函数基本关系公式的应用已知1.为第四象限角，sin=-，tan为()a.-b.c.-d .答案c解析为为第四象限角、sin=-、cos=。tan=- .2 .已知是三角形内角，tan=-、sin cos的值为.答案-tan=-、sin=-cos代入sin2 cos2=1cos2=1cos2=、cos0容易理解cos=-，sin=，sin cos=-.3 .当角的结束落在第三象限时，的值为答案-3分析角的结束落入第三象限，sin0、cos0故原式=-1-2=-3 .当得知sin cos=，(0，)时，tan=答案-解析方法为sin cos=、sincos=-，因为(0，)，所以sin0，cos0sin-cos=联合解除tan=-.方法sin cos=sincos=-，根据与系数的关系，sin、cos为方程式x2-x-=0这2条，因此x1=、x2=-。此外，sincos=-0，(0，)为sin0、cos0sin=、cos=-.tan=- .方法sin cos=、sincos=-，所以=-.一齐截断，=-，必须即60tan2 169tan 60=0tan=-或tan=-.此外，(0，)，sin cos=0，sincos=-0所以，tan=-.思维升华(通过利用sin2 cos2=1，能够进行正弦、馀弦的互化，通过利用开方时根据具有角的象限确定符号=tan，能够实现角的弦的切线互化.注意应用(2)式时方程式思想的应用：对于sin cos、sin cos、sin-cos这3个式，利用(sincos)2=12sincos，能够一个求出2 .注意(3)式的逆用和变形的应用：1=sin2 cos2，sin2=1-cos2，cos2=1-sin2感应式的应用例1 (1)知道为第四象限角，sin=、tan=.答案-在分析中，为第四象限，sin=是第一象限角cos=，tan=-=-哼哼(2)在已知的a=(kz )的情况下，由a的值构成的集合为()a.1，- 1，2，-2 b.-1，1 c.2，-2d.1，- 1，0，2，-2答案c当分析k为偶数时，a=2k为奇数时，a=-=-2思维升华(1)引导式的两个应用评价：负化正、大化小、锐角化结束简化：角统一，名称统一，角名减少(2)包含2整数倍的感应式的应用根据最终边相同角的关系，为了计算包含2的整数倍的三角函数式，可以直接去除2的整数倍后进行运算.已知训练1 (1)为sin=，cos为()a.b.c.-d.-答案b分析理由是sin=，cos=sin=sin=.(2)(2019湖北四校合考)已知角为第二象限，若满足sin 3cos(-)=1，则tan( )等于()a.b.-c.-d.-1答案bsin 3cos(-)=1cos- 3c os=1，8756； cos=-，角为第二象限角，8756； sin=tan( )=tan=- .等角三角函数的基本关系公式和诱导公式的综合应用例2 (1)当得知角终点是第三象限、tan 2=-2时，sin2 sin(3-)cos(2 )-cos2等于()a.-b.c.-d .答案d解析从tan2=-2得到tan2=-2即tan2-tan-=0tan=或tan=-.另外，角的终点位于第三象限，所以tan=sin2 sin(3-)cos(2 )-cos2=sin2 sincos-cos2=.(2)已知-0，8756； sinx-cosx0sinx-cosx=-.=-.在本例(2)中将条件 -0，cosx0设定为sinx-cosx 0，因此sinx-cosx=利用思维升华(1)等角三角函数的关系式和诱导式进行简单评价时，求出条件、结论之间的联系，有效利用式子进行变形是很重要的(2)注意角范围对三角函数符号的影响；跟踪训练2 (1)是已知sin=、tan( )=.答案或-因为分析是sin=0是第一或第二象限角.tan( )=tan=为第一象限角时，cos=表达式=。为第二象限角时，cos=fufu表达式=.综合知、原式=或-。在(tan(5 )=m的情况下，差值为()a.b .c.-1d.1答案a解析tan(5 )=m，tan=m。原式=。在sin=-、为第三限角情况下，tan的值等于()a.b.-c.d.-答案csin=-、为第三象限角cos=-、tan=2 .已知为第四象限，tan=-，sin相等()a.b.-c.d.-答案d因为分析是tan =-，所以=-，cos =-sin 当代入sin2 cos2=1时，sin2=、另外，为第四象限角，因此sin =-.(2019杭州学军中学模拟)如果知道cos31=a，sin239tan149的值为()a.b .c.d.-答案b分析sin 239 tan 149=sin (270-31 ) tan (180-31 )=-coc s 31 (-tan 31 )=sin 31=”。已知tan (-)=-，sin等于()a.b.-c.d.-答案b分析为tan(-)=tan=另外，因为所以是第三象限角sin=cos=-.如果已知=5，则sin2-sincos的值为()a.b.-c.-2d.2答案a分析为=5，获得=5即tan=2.sin2-sincos=。如果sin、cos为方程式4x 2、2mx m=0这两条，则m的值为()a.1 b.1-c.1d.-1-答案b从问题意识来看，sin cos=-，sincos=，另外，(sin cos)2=1 2sincos=1，m=1另外=4m2- 16 m0，8756； m0或m4m=1-。7.sincostan的值为答案-解析原式=sincostan=(-)=-.8 .当角度的顶点位于坐标原点，起点与x轴的非负半轴重叠，并且终点位于直线3x-y=0上时=答案分析已知tan=32222222222卡卡卡卡卡卡卡=的9.(2019沧州七校联合考试) sin(3 )=2sin则=； sin2 sin2=答案-解析sin(3 )=2sinsin=2cos，即sin=2cos.=-.sin=2cos，8756； tan=2sin 2sin 2=.10 .如果sin是方程5的5x2-7x-6=0的根，则满足答案分析方程式5的5x2-7x-6=0的2条如果是x1=-、x2=2则为sin=-。原式=。11 .如果是已知-0，则函数f()=cos-sin-1.(1)简化f()(f()=，求出sincos和sin-cos值.解(1) f ()=sin- sin-1=sin- sin-1=sincos(2)在方法1中，f()=sin cos=、sin2 2sincos cos2=即，2sincos=-.sincos=-.另外-0，8756； sin0，cos0，8756； sin-cos0(sin-cos)2=1-2sincos=，sin-cos=-.方法二联立方程和解吗2222222222222222222652sincos=-、sin-cos=-。12 .已知的kz，简化：解k=2n(nz )时公式=-1；k=2n 1(nz )时公式=-1以上，式=-1 .w13.(2020嘉兴联考)为钝角，sin=、sin=、co