2021高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.2 几何概型教学案 理 新人教A版

12.2几何概型最新考纲考情考向分析1.了解几何概型的意义2.了解日常生活中的几何概型.以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.1几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2几何概型概率的计算公式p(a).3几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性概念方法微思考1古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个2几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限()题组二教材改编2在数轴的0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()a.b.c.d1答案b解析坐标小于1的区间为0,1)，长度为1，0,3的区间长度为3，故所求概率为.3有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案a解析p(a)，p(b)，p(c)，p(d)，p(a)p(c)p(d)p(b)4设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()a.b.c.d.答案d解析如图所示，正方形oabc及其内部为不等式组表示的平面区域d，且区域d的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域d内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是，故选d.题组三易错自纠5.(2020江西重点中学联盟联考)如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子(大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为()a.b.c.d无法计算答案b解析设阴影部分的面积为s，由几何概型可知s.6在长为12cm的线段ab上任取一点c.现作一矩形，邻边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为_答案解析设acxcm(0x12)，则cb(12x)cm，则矩形的面积sx(12x)12xx2(cm2)由12xx20，解得0x4或8x12.在数轴上表示，如图所示由几何概型概率计算公式，得所求概率为.与长度(角度)有关的几何概型1(2020太原模拟)设x0，则sinx的概率为()a.b.c.d.答案c解析由sinx90的概率为()a.b.c.d.答案a解析以ab为直径作球，球在正方体内的区域体积为v13，正方体的体积为8，所求概率p.(2)(2020山西临汾一中月考)正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，在正方体内随机取点m，则使四棱锥mabcd的体积小于的概率为_答案解析在正方体abcda1b1c1d1中，设四棱锥mabcd的高为h，当s四边形abcdh时，又s四边形abcd1，h.若四棱锥mabcd的体积小于，则h1的概率为()a0.1b0.5c0.8d0.9答案d解析由lgx1，得x10，所以所求概率为p0.9.2在区间0，上随机取一个数x，使cosx的值介于与之间的概率为()a.b.c.d.答案b解析cosx的值介于与之间的区间长度为.由几何概型概率计算公式，得p.3有一底面半径为1、高为2的圆柱，点o为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点p，则点p到点o的距离大于1的概率为()a.b.c.d.答案b解析设点p到点o的距离小于等于1的概率为p1，由几何概型，得p1，故点p到点o的距离大于1的概率p1.4.(2017全国)如图，正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()a.b.c.d.答案b解析不妨设正方形abcd的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得s正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得s黑s白s圆，所以由几何概型知，所求概率p.5一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()a.b.c.d.答案c解析由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为p.6某水池的容积是20立方米，向水池注水的水龙头a和水龙头b的水流速度都是1立方米/小时，它们在一昼夜内随机开024小时，则水池不溢出水的概率约为()a0.30b0.35c0.40d0.45答案b解析设水龙头a开x小时，水龙头b开y小时，则0x24,0y24，若水池不溢出水，则xy20，记“水池不溢出水”为事件m，则m所表示的区域面积为2020200，整个区域的面积为2424576，由几何概型的概率公式得p(m)0.35.7如图，矩形abcd的四个顶点的坐标分别为a(0，1)，b(，1)，c(，1)，d(0，1)，正弦曲线f(x)sinx和余弦曲线g(x)cosx在矩形abcd内交于点f，向矩形abcd区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是()a.b.c.d.答案b解析根据题意，可得曲线ysinx与ycosx围成的阴影区域的面积为11.又矩形abcd的面积为2，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是.故选b.8在区间0,3上任取一个数x，使得不等式x23x20成立的概率为_答案解析x23x20x2或x1，由几何概型概率公式可得p.9公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为_答案解析公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度l20分钟，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件a，则la5分钟，故p(a).10.如图所示，m是半径为r的圆周上的一个定点，在圆周上任取一点n，连接mn，则弦mn的长度超过r的概率是_答案解析当弦mn的长度恰为r时，mon，如图，当点n落在半圆弧上时，弦mn的长度不超过r，故所求概率为p.11已知正三棱锥sabc的底面边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点p，使得vpabc0)当0m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2m4时，由题意得，解得m3.故m3.13.如图所示，在abc中，b60，c45，高ad，在bac内作射线am交bc于点m，则bm1的概率为_答案解析因为b60，c45，所以bac75.在rtabd中，ad，b60，所以bd1，bad30.记事件n为“在bac内作射线am交bc于点m，使bm1”，则可得bambad时事件n发生由几何概型的概率公式，得p(n).14甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为_答案解析设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件a为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合a(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24a为图中阴影部分，全部结果构成的集合为边长是24的正方形及其内部所求概率为p(a).15在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“|xy|”的概率，p3为事件“xy”的概率，则()ap1p2p3bp2p3p1cp3p1p2dp3p2p1答案b解析因为x，y0,1，所以事件“xy”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)s1，事件“|xy|”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)s2，事件“xy”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)s3，由图知，阴影部分的面积满足s2s3s1，正方形的面积为111，根据几何概型概率计算公式可得p2p3p1.16.