高中数学抛物线及标准方程典型例题选修1

典型示例1例1指出了抛物线的焦点坐标和准线方程。(1) (2)分析：(1)根据抛物线方程确定四个抛物线中的哪一个是抛物线，求出P，然后写出焦点坐标和对准方程。(2)首先，将方程转换成标准方程形式，然后讨论A以确定哪一个是，然后获得P、焦点坐标和对准方程。解：(1)焦坐标为(0，1)，准线方程为：(2)原来的抛物方程是：(1)当时，抛物线向右开口，的焦点坐标是，准线方程是：(2)当时，抛物线开口向左，的焦点坐标是，准线方程是：基于上述，当时抛物线的焦点坐标为，准线方程为：典型示例2例2如果一条直线在点A和点B与一条抛物线相交，并且AB中点的横坐标是2，则该直线方程被求解。分析：用维埃塔定理列出的K方程求解直线和抛物线的交点。因为已知它与直线的斜率和弦中点的坐标有关，所以K也可以用“差分法”来计算。解决方案1:设置，然后：可用：一条直线与一条抛物线相交，然后。AB中点横坐标为：理解：或(放弃)。因此，所需的线性方程为：解决方案2:如果有，那么就有。这两个方程用差分法求解：即。,因此，或者(放弃)。那么直线方程是：典型示例3示例3验证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切。分析：抛物线方程可以设置为。如图所示，只需要证明，以AB为直径的圆必须与抛物线准线相切。证明了如果m是ab的中点，如果m是AB的中点，抛物线的定义表明：直角梯形：因此，直径为AB的圆必须与抛物线的准线相切。注：相似之处在于：以椭圆焦点弦为直径的圆与相应的准线分开，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交。典型示例4例4(1)通过将由直线切割的抛物线的弦长设置为，计算K值。(2)将(1)中的弦作为底边，将X轴上的点P作为顶点作为三角形。当三角形的面积为9时，计算P点的坐标。分析：(1)问题可以用弦长公式求出k，(2)问题可以用面积求出高度，然后用点到直线的距离求出p点的坐标。解决方案：(1)通过：让直线和抛物线在两点相交。有：，那是(2)底边的长度是，三角形的高度是点p在x轴上，p点的坐标设置为那么从点p到直线的距离等于h，即或者，也就是说，所需p点的坐标是(-1，0)或(5，0)。典型示例5例5已知固定直线L和固定点A(A不在L上)，n是穿过A并垂直于L的直线，设n是L上的任何一点，AN的垂直平分线交点是B中的n，点B关于AN的对称点是P，并证明了P的轨迹是抛物线。分析：有两种方法证明P的轨迹是抛物线。一是证明P点的轨迹符合抛物线的定义。二是证明P的轨迹方程是抛物线方程。首先，可以使用第一种方法，用A作为固定点，L作为固定直线。这为我们提供了使用定义的信息，如果它能被证明的话。证明：如图所示，连接PA、PN和nb。根据已知条件，PB垂直平分NA，b相对于a的对称点是p。AN也垂直平分铅。那么四边形PABN就是菱形。那是。那么点p满足抛物线上的点的条件：到固定点a的距离等于到固定直线的距离，所以点p的轨迹是抛物线。典型示例6示例6如果线段是抛物线的焦点弦，而F是C的焦点，请验证：分析：这个话题证明了距离问题。如果用两点之间的距离来表示，计算量会很大。我们可以使用抛物线的定义，巧妙地使用维塔定理，也可以使用抛物线和平面几何的定义证明2:如图所示，假设点、和f在C的准线L上的投影分别为、和，并且假设点在和上的投影分别为由抛物线定义的点A和点B。再说一遍，也就是说，因此，原命题成立。典型示例7例7将抛物线方程设为，通过焦点f的弦ab的倾斜角设为，证明焦点弦长为。分析：这个问题类似于这个问题。vieta定理和抛物线定义也可以用来解决这个问题。证词1:抛物线的焦点是，弦AB穿过焦点的直线方程是：通过从方程组中消除y:设定，然后又也就是说，证词2:如图所示，它是单独制作的，垂直于由抛物线定义的准线。因此：因此，原命题成立。典型示例8例8已知圆锥曲线C通过一个固定点，它的焦点之一是F (1，0)，并且对应于焦点的准线是，通过焦点F被任意取为曲线C的弦AB。如果弦AB的长度不超过8，并且直线AB和椭圆在不同的两点相交，找出(1)倾斜角的数值范围1)AB。(2)让直线AB和椭圆相交于两点C和D，求出圆的中点M的轨迹方程。分析：根据已知条件，可以确定圆锥曲线C为抛物线，AB为抛物线焦点弦，其斜率为K。如果弦AB与椭圆在不同两点相交，就可以得到K的取值范围，从而得到取值范围。在求圆的中点M的轨迹方程时，可以设置M的坐标，并用维埃塔定理进行简化。解：(1)从p到的距离是已知的，因此曲线c是抛物线，它的方程是。假设直线AB的斜率为k，如果k不存在，则直线AB没有交点。k存在。让AB等式为可用：如果A和B的坐标分别是，那么：弦长不超过8，即作者：AB和椭圆相交于两个不同的点。可从和获得：或因此，或此外，请求的值范围是：或(2)设置光盘中点，作者：那是。为了简化：所期望的轨迹方程是：典型示例9示例9固定长度为3的线段的端点在抛物线上移动，以找到从中点到轴的距离的最小值以及此时中点的坐标。分析：线段中点到轴的距离的最小值是其横坐标的最小值。这是中点坐标的问题，所以只需研究两点横坐标和的最小值。解决方案：如图所示，如果设置了焦点，从两点到准线的垂直线是，到准线的垂直线是，并且垂直于脚，那么。设定点的横坐标是，纵坐标是，那么。等式成立的条件是交叉点。因此，当时,嘿。因此，此时到轴的最小距离为。说明：从图形属性的分析开始，本主题将三角形属性应用于解析几何，解决方案更简单。典型示例10例10将抛物线的焦点作为具有倾斜角的直线，并且抛物线在两点处相交以获得最小值。分析：话题可以分为两种情况。当时，先写表达式，然后是范围。解决方法：(1)如果，此时。(2)如果，因为有两个交点，所以。那是。代入抛物线方程，有。因此。因此。因此，正因为如此，我们不能把=放在这里。当时，描述：(1)这个话题必须从点和两种情况来讨论；(2)从问题的求解过程中，我们可以看出抛物点的弦长公式为：(3)当时，它被称为抛物线路径。路径是最短的焦点和弦。典型示例11例11抛物线的焦点作为弦，作为准线。抛物线的垂直线和抛物线的垂直线分别取为，然后为()，为()。A.大于或等于b。小于或等于c。等于d。不确定性分析：本主题研究抛物线的定义以及直线和圆之间的位置关系。关键是要找到角度的大小并确定直线a是否分析：如果建立目标函数来寻找最小值，就很难解决问题。如果巧妙地使用抛物线定义，并结合图形，就不难解决这个问题。解决方