2021高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教学案 理 新人教A版

3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1导数的概念(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或，即f(x0).(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间(a，b)内的导函数简称导数，记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(q*)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)exf(x)exf(x)ax(a0)f(x)axlnaf(x)lnxf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积6定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0，所以22，所以a的取值范围是(，2)命题点3导数与函数图象例3(1)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案b解析由yf(x)的图象是先上升后下降可知，函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选b.(2)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.答案0解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)130.命题点4两曲线的公切线例4若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.答案1ln2解析设ykxb与ylnx2和yln(x1)的切点分别为(x1，lnx12)和(x2，ln(x21)则切线方程分别为ylnx12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxlnx11，yxln(x21)，依题意，解得x1，从而blnx111ln2.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面(1)已知切点a(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值kf(x0)(2)若求过点p(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(3)函数图象在每一点处的切线斜率反映函数图象在相应点处的变化情况跟踪训练1(1)设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a_.答案1解析y，1.由条件知1，a1.(2)已知f(x)x2，则曲线yf(x)过点p(1,0)的切线方程是_答案y0或4xy40解析设切点坐标为(x0，x)，f(x)2x，切线方程为y02x0(x1)，x2x0(x01)，解得x00或x02，所求切线方程为y0或y4(x1)，即y0或4xy40.(3)已知直线l为函数yex图象的切线，若l与函数yx2的图象相切于点(m，m2)，则实数m必定满足()ambm1cm0d1m答案d解析曲线yx2在点(m，m2)处的切线的斜率为y|xm2m，所以直线l的方程为ym22m(xm)，即y2mxm2.设直线l与yex的切点为(x0，)，则直线l的方程为y(xx0)，即yx(1x0).又直线l与两函数的图象都相切，所以消去x0整理得m2ln(2m)2，且m0.即方程m2ln(2m)2有小于零的解设f(m)m22ln(2m)，m0，故f(m)单调递增，又f22lne0，f(1)12ln20，可得1m0，t3.(2)若f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.答案2解析f(x)dxf(x)dxf(x)dx，f(x)dxf(x)dxf(x)dx112.命题点2定积分的几何意义例6(1)计算dx_.答案解析y，x2y21，y0.dx的几何意义为圆x2y21在第一象限内的面积dx.(2)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()a2b4c2d4答案d解析由解得x2或x0或x2.所以直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积应为s(4xx3)dx04.思维升华(1)计算定积分可直接利用微积分基本定理，或将被积函数变形后利用微积分基本定理进行计算(2)利用定积分的几何意义可计算定积分或求平面图形的面积跟踪训练2(1)已知f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a)，则a_.答案1或解析f(x)dx(3x22x1)dx(x3x2x)|42f(a)，f(a)3a22a12，解得a1或.(2)曲线y2sinx(0x)与直线y1围成的封闭图形的面积为_答案2解析令2sinx1，得sinx，当x0，时，得x或x，所以所求面积s2.1已知函数f(x)cosx，则f()f等于()abcd答案c解析因为f(x)cos x(sin x)，所以f()f(1).2(2020人大附中月考)曲线y在点(3,2)处的切线的斜率是()a2b2c.d答案d解析y，故曲线在点(3,2)处的切线的斜率ky|x3，故选d.3.已知函数f(x)在r上可导，其部分图象如图所示，设a，则下列不等式正确的是()af(1)f(2)abf(1)af(2)cf(2)f(1)adaf(1)f(2)答案b解析由图象可知，在(0，)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，a，易知f(1)af(2)4已知点p在曲线y上，为曲线在点p处的切线的倾斜角，则的取值范围是()a.b.c.d.答案a解析求导可得y，exex2224，当且仅当x0时，等号成立，y1,0)，得tan 1,0)，又0，)，0)，则t，解得t2，即2，所以x0ln2.故选a.6(2019东北三校联考)等于()a0b.c.d.1答案b解析.7已知f(x)x22xf(2020)2020lnx，则f(1)_.答案2021解析由题意，得f(x)x2f(2020)，所以f(2020)20202f(2020)1，解得f(2020)2021，所以f(x)x4042，所以f(1)1202040422021.8过点(1，1)的曲线yx32x的切线方程为_答案xy20或5x4y10解析设p(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0)3x2.故切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)即2x3x10，(2x2x)(x1)0，(x01)(2xx01)0.解得x01或x0.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)即xy20或5x4y10.9(2019河南息县高中月考)若点p是曲线yx2lnx上任意一点，则点p到直线yx2距离的最小值为_答案解析当曲线yx2lnx在点p处的切线与直线yx2平行时，切点p到直线yx2的距离最小对函数yx2lnx求导，得y2x.由2x1，可得切点坐标为(1,1)，故点(1,1)到直线yx2的距离为，即为所求的最小值10设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.答案解析封闭图形如图中阴影部分所示，则解得a.11已知曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，求实数a的值解因为f(x)lnx1，所以曲线f(x)xlnx在xe处的切线斜率为k2，又f(e)e，则曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe.由于切线与曲线yx2a相切，故可联立得x22xae0，所以由44(ae)0，解得a1e.12(2020河北卓越联盟月考)已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解(1)根据题意，得f(x)3x21.所以曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的斜率kf(2)13，所以要求的切线方程为y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，所以直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，则(3x1)(0x0)xx0160，整理得x8，解得x02，所以y0(2)3(2)1626，l的斜率k13，所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)13(2019宜昌三校模拟)已知函数f(x)x2cosx的图象在点(t，f(t)处的切线的斜率为k，则函数kg(t)的大致图象是()答案a解析对f(x)求导，得f(x)xsinx，则kf(t)g(t)tsint.由g(t)g(t)可知，kg(t)为奇函数，其图象关于原点对称，排除b，d；又当t时，gsin10，所以t2(当且仅当t1时取等号)，所以3a2，即a1.15若函数y2x31与y3x2b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b_.答案0或1解析设公共切点的横坐标为x0，函数y2x31的导函数为y6x2，y3x2b的导函数为y6x，由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x6x0且12x3xb，解得x00，b1或x01，b0.故实数b0或1.16已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以3a66a0，所以a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0,9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y