2021高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教学案 理 新人教A版

5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目.偶尔会在解答题中作为工具出现.1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a同方向；当|b|答案a解析方法一利用向量加法的平行四边形法则.在abcd中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形abcd为矩形，即abad，故ab.故选a.方法二|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选a.命题点2向量的线性运算例2 (2018全国)在abc中，ad为bc边上的中线，e为ad的中点，则等于()a.b.c.d.答案a解析作出示意图如图所示.()().故选a.命题点3根据向量线性运算求参数例3 (2019江西省名校联考)在abc中，2，则等于()a.b.c.d.答案a解析因为，2，所以，所以，所以，因为，所以，所以.故选a.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和或差.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.跟踪训练1 (1)(2019湖南师范大学附属中学模拟)如图所示，在正方形abcd中，e为ab的中点，f为ce的中点，则等于()a.b.c.d.答案d解析根据题意得，()，又，所以.故选d.(2)在平行四边形abcd中，e，f分别为边bc，cd的中点，若xy(x，yr)，则xy_.答案2解析由题意得，因为xy，所以，所以解得所以xy2.共线定理的应用例4 已知o，a，b是不共线的三点，且mn(m，nr).(1)若mn1，求证：a，p，b三点共线；(2)若a，p，b三点共线，求证：mn1.证明(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线.又与有公共点b，则a，p，b三点共线.(2)若a，p，b三点共线，则存在实数，使，().又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.o，a，b不共线，不共线，mn1.思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即a，b，c三点共线，共线.(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)(，为实数)，若a，b，c三点共线，则1.跟踪训练2 (1)设两个非零向量a与b不共线.若kab与akb共线，则k_.答案1解析kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.(2)如图所示，在abc中，点o是bc的中点，过点o的直线分别交ab，ac所在直线于不同的两点m，n，若m，n，则mn的值为()a.1b.2c.3d.4答案b解析方法一连接ao，则()，因为m，o，n三点共线，所以1，所以mn2.方法二连接ao(图略).由于o为bc的中点，故()，()，同理，.由于向量，共线，故存在实数使得，即.由于，不共线，故得且，消掉，得(m2)(n2)mn，化简即得mn2.1.(2019湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上a，b，c三点满足2，则这三点在线段上的位置关系是()答案a解析根据题意得到和是共线同向的，且bc2ab，故选a.2.(2019北京市昌平区模拟)设a，b是非零向量，则“存在实数，使得ab”是“|ab|a|b|”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案b解析存在实数，使得ab，说明向量a，b共线，当a，b同向时，|ab|a|b|成立，当a，b反向时，|ab|a|b|不成立，所以，充分性不成立.当|ab|a|b|成立时，有a，b同向，存在实数，使得ab成立，必要性成立，即“存在实数，使得ab”是“|ab|a|b|”的必要不充分条件.故选b.3.已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()a.a，b，c三点共线b.a，b，d三点共线c.a，c，d三点共线d.b，c，d三点共线答案b解析2a6b2，与共线，由于与有公共点b，因此a，b，d三点共线，故选b.4.(2019沈阳东北育才学校模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若向量ab与c共线，则实数等于()a.2b.1c.1d.2答案d解析由题中所给图象可得，2abc，又c(ab)，所以2.故选d.5.(2020唐山模拟)在abc中，点g满足0.若存在点o，使得，且mn，则mn等于()a.2b.2c.1d.1答案d解析0，0，可得，m，n，mn1，故选d.6.如图，在abc中，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为()a.b.c.d.答案b解析注意到n，p，b三点共线，因此mm，从而m1，所以m.7.若|2，则|_.答案2解析因为|2，所以abc是边长为2的正三角形，所以|为abc的边bc上的高的2倍，所以|2.8.(2019钦州质检)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，2e13e2，e16e2，若m，n，p三点共线，则_.答案4解析因为m，n，p三点共线，所以存在实数k使得k，所以2e13e2k(e16e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得解得4.9.若点o是abc所在平面内的一点，且满足|2|，则abc的形状为_.答案直角三角形解析因为2，所以|，即0，故，abc为直角三角形.10.(2019大连模拟)在锐角abc中，3，xy，则_.答案3解析由题设可得3()，即43，也即，则x，y，故3.11.如图所示，设o是abc内部一点，且2，求abc与aoc的面积之比.解如图，取ac的中点d，连接od，则2，o是ac边上的中线bd的中点，sabc2soac，abc与aoc面积之比为21.12.如图所示，在abc中，d，f分别是ab，ac的中点，bf与cd交于点o，设a，b，试用a，b表示向量.解方法一由d，o，c三点共线，可设k1k1()k1k1ak1b(k1为实数)，同理，可设k2k2()k2k2ak2b(k2为实数)，又a(1k1)ak1b，所以由，得k2ak2b(1k1)ak1b，即(1k12k2)ab0.又a，b不共线，所以解得所以ab.所以a(ab).方法二因为d，f分别是ab，ac的中点，所以o为abc的重心，延长ao交bc于点e(图略)，则e为bc的中点，所以()(ab).13.a，b，c是圆o上不同的三点，线段co与线段ab交于点d(点o与点d不重合)，若(，r)，则的取值范围是()a.(0,1) b.(1，)c.(1， d.(1,0)答案b解析设m，则m1，因为，所以m，即，又知a，b，d三点共线，所以1，即m，所以1，故选b.14.已知a，b，c是平面上不共线的三点，o是abc的重心，动点p满足，则点p一定为abc的()a.bc边中线的中点b.bc边中线的三等分点(非重心)c.重心d.bc边的中点答案b解析设bc的中点为m，则，(2)，即32，也就是2，p，m，a三点共线，且p是am上靠近a点的一个三等分点.15.设w是由同一平面内的n(n3)个向量组成的集合.若aw，且a的模不小于w中除a外的所有向量和的模.则称a是w的极大向量.有下列命题：若w中每个向量的方向都相同，则w中必存在一个极大向量；给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量cab，使得wa，b，c中的每个元素都是极大向量；若w1a1，a2，a3，w2b1，b2，b3中的每个元素都是极大向量，且w1，w2中无公共元素，则w1w2中的每一个元素也都是极大向量.其中真命题的序号是_.答案解析若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；由题意得a，b，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0