2021高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 高考专题突破一 第1课时 导数与不等式课件 理 新人教A版

,第1课时导数与不等式,高考专题突破一高考中的导数应用问题,证明不等式,题型一,多维探究,命题点1构造函数法,例1(2020赣州模拟)已知函数若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是a(1,1)，且在点a处的切线互相垂直.(1)求a，b的值；,因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是a(1,1)，且在点a处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，所以g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1.,所以h(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，h(x)h(1)0，,命题点2分拆函数法例2(2019福州期末)已知函数f(x)elnxax(ar).(1)讨论f(x)的单调性；,若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；,所以当01时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e，综上，当x0时，f(x)g(x)，,证明因为x0，,当ae时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减.所以f(x)maxf(1)e，,(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.,(1)利用导数证明不等式的基本思路是依据函数的单调性，求得函数的最值，然后由f(x)f(x)max或f(x)f(x)min证得不等式.(2)证明f(x)g(x)，可以构造函数h(x)f(x)g(x)，然后利用h(x)的最值证明不等式.(3)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练1(1)设函数f(x)lnxx1.讨论f(x)的单调性；,解由题设知，f(x)的定义域为(0，)，,当00，f(x)单调递增；当x1时，f(x)h(x)，即f(x)1.,不等式恒成立或有解问题,题型二,师生共研,解函数的定义域为(0，)，,令f(x)0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(1，)时，f(x)0，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2.,引申探究,本例中(2)若改为：x1，e，使不等式f(x)成立，求实数k的取值范围.,由本例(2)解题知，g(x)为单调增函数，,利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的策略(1)构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围.(2)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练2已知函数f(x)ex1xax2.(1)当a0时，求证：f(x)0；,证明当a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)minf(0)0，f(x)0.,(2)当x0时，若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.,解f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，则h(x)ex2a.当2a1，即a时，在0，)上，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，)上为增函数，f(x)f(0)0，当a时满足条件.当2a1，即a时，令h(x)0，解得xln(2a)，,在0，ln(2a)上，h(x)0，h(x)单调递减，当x(0，ln(2a)时，有h(x)h(0)0，即f(x)2，即exlnx2.,二、分离lnx与ex例2(2019长沙三校统考)已知函数f(x)ax2xlnx.(1)若函数f(x)在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围；,解由题意知，f(x)2axlnx1.因为函数f(x)在(0，)上单调递增，,易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则g(x)maxg(1)1，,再令(x)exex，则(x)eex，,易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0.,故原不等式成立.,三、借助exx1和lnxx1进行放缩例3(2019长春质检)已知函数f(x)exa.(1)若函数f(x)的图象与直线l：yx1相切，求a的值；,解f(x)ex，因为函数f(x)的图象与直线yx1相切，所以令f(x)1，即ex1，得x0，即f(0)1，解得a2.,(2)若f(x)lnx0恒成立，求整数a的最大值.,解先证明exx1，设f(x)exx1，则f(x)ex1，令f(x)0，则x0，当x(0，)时，f(x)0，当x(，0)时，f(x)lnx，当a2时，lnx0恒成立.当a3时，存在x1，使exalnx不恒成立.综上，整数a的最大值为2.,基础保分练,1.已知函数f(x)lnxx，g(x)xex1，求证：f(x)g(x).,1,2,3,4,5,课时精练,证明令f(x)f(x)g(x)lnxxxex1(x0)，,1,2,3,4,5,当x(0，x0)时，g(x)0，f(x)0，f(x)为增函数；,当x(x0，)时，g(x)0.于是对任意xr，都有g(x)0，所以g(x)在r内单调递增.于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).又g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.,(2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1.,3.(2017全国)已知函数f(x)lnxax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；,解f(x)的定义域为(0，)，,若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,当x(0,1)时，g(x)0；,1,2,3,4,5,当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.,1,2,3,4,5,技能提升练,4.已知函数f(x)alnx，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2.(1)求a，b的值；,由曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2，可得f(1)2b2，f(1)ab0，解得ab1.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,可得g(x)在(0，)上单调递增，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)2ex，若存在实数m，对任意的x1，k(k1)，都有f(xm)2ex，求整数k的最小值.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,解因为f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)2ex，所以f(x)2e|x|，对于x1，k，由f(xm)2ex得2e|xm|2ex，两边取以e为底的对数得|xm|lnx1，所以xlnx1mxlnx1在1，k上恒成立，设g(x)xlnx1(x1，k)，,所以g(x