2020年普通高考数学一轮复习 第33讲 圆锥曲线方程及性质精品学案

2020年，高考数学系将进行一轮高质量的复习。第33讲圆锥曲线方程及其性质一、课程要求：1.了解圆锥曲线的实际背景，感受它在描绘现实世界和解决实际问题中的作用；2.体验从具体情况中抽象出椭圆和抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形和简单性质；3.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程，了解双曲线的相关性质。二。命题趋势本次讲座的内容是圆锥曲线的基本内容，也是高考的重点考试内容。在一年一度的高考试卷中，一般有2-3个客观题，难度分为易、中、难。主要考试内容是圆锥曲线的概念和性质。从近十年高考试题中，主要考察了圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的大比例，选择题、填空题和解题都涉及其中。客观题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程和几何性质等基础知识，以及处理相关问题的基本技巧和方法。对于本次讲座，预计2020年：(1)1-2个客观问题，考察圆锥曲线的概念和性质，主要是评价问题；(2)研究二次曲线在实际问题中的应用，结合三种二次曲线的定义是可能的。三。要点1.椭圆(1)椭圆概念一个平面上的点的轨迹，其与两个固定点的距离之和等于一个常数(大于)，称为椭圆。两个固定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距。如果它是椭圆上的任何一点，就有。椭圆的标准方程是： (聚焦在x轴上)或()(聚焦在y轴上)。注：上式中的尺寸，其中：(2)和方程中有一些条件。要区分焦点的位置，只需看总和的分母。例如，椭圆(，)表示焦点在轴上的椭圆。那时，焦点在轴上的椭圆被指示。(2)椭圆的性质(1)范围：由标准方程可知，表示椭圆位于由直线围成的矩形中；(2)对称性：在曲线方程中，如果替换方程是常数，那么如果点在曲线上，那么点也在曲线上，所以曲线关于轴是对称的。类似地，如果替代方程是常数，曲线关于轴是对称的。如果同时进行替换，并且替换方程保持不变，则曲线关于原点对称。因此，椭圆关于轴、轴和原点是对称的。此时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心称为椭圆中心。(3)顶点：为了确定曲线在坐标系中的位置，通常需要找到曲线与轴和轴的交点的坐标。在椭圆的标准方程中，如果是椭圆和轴的交点。同样，它是椭圆和轴的两个交点。因此，椭圆和坐标轴之间有四个交点。这四个交点被称为椭圆的顶点。同时，线段、长轴和短轴分别称为椭圆，它们的长度分别为和，而长轴和短半轴分别称为椭圆。根据椭圆的对称性，椭圆短轴的端点到焦点的距离为：In，and，and，即；偏心率：椭圆焦距与长轴的比值称为椭圆偏心率。，越近，越近，因此越小，相应的椭圆就越平；相反，你越靠近，你就越靠近，因此你越靠近，椭圆就越靠近圆。当且仅当两个焦点重合时，图形变成一个圆，等式为。2.双曲线(1)双曲线的概念平面上两点之差的绝对值为非零的移动点的轨迹范围：从标准方程中，我们可以看到曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线之外。也就是说，双曲线在两条直线之外。(2)对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点是对称的。此时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心称为双曲线中心。(3)顶点：双曲线和对称轴的交点称为双曲线的顶点。在双曲方程中，对称轴是轴，所以得到了对称轴，所以双曲线和轴之间有两个交点，它们是双曲线的顶点。因此，没有真正的根，所以双曲线和y轴之间没有交点。1)注意：双曲线只有两个顶点，不同于椭圆(椭圆有四个顶点)。双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2)实轴：线段称为双曲线的实轴，其长度等于称为双曲线的实半轴的长度。虚轴：线段称为双曲线的虚轴，其长度等于称为双曲线的虚半轴长度。渐近线：注意在类的开始绘制的矩形。矩形定义了两条对角线，称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的每一分支向外延伸时都逐渐接近这两条直线。等边双曲线：1)定义：实轴和虚轴长度相等的双曲线称为等边双曲线。定义：2)等边双曲线的性质：(1)渐近线方程是：(2)渐近线相互垂直。请注意，上述属性和定义彼此等效。换句话说，如果上述主题之一出现，我们可以推断双曲线是等边双曲线，其他几个也是有效的。3)注意等边双曲线的特征，等边双曲线可以设置为：交点在当时的轴上，焦点在当时的轴上。注意“和”之间的差异：三个量之间的差异(互换)是相同的，焦点所在的坐标轴也发生了变化。抛物线(1)抛物线的概念平面上一个点的轨迹等于某一点与固定线之间的距离，这个轨迹叫做抛物线(固定点不在固定线上)。固定点f称为抛物线的焦点，固定直线l称为抛物线的准线。这个方程叫做抛物线标准方程。注意：它所代表的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标为F(，0)，其准线方程为：(2)抛物线的性质由于抛物线在坐标系中的位置不同，所以它有不同的方程，并且有四种不同的情况，因此抛物线的标准方程有几种其他形式：，这四个抛物线的图形、标准方程、焦点坐标和准线方程如下表所示：标准方程数字焦点坐标对准方程范围对称轴轴轴轴顶点古怪说明：(1)路径：穿过抛物线焦点并垂直于对称轴的弦称为路径；(2)抛物线的几何特征：它有顶点、焦点、准线、对称轴、无对称中心、无渐近线；(3)注意强调的几何意义：从焦点到准线的距离。四.典型案例分析问题1:椭圆概念和标准方程例1。找出适合下列条件的椭圆标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为，椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于；(2)两个焦点的坐标分别为，椭圆穿过该点；(3)焦点在轴上，(4)焦点在轴上，且该点相交；(5)焦距：(6)椭圆通过两点。分析：(1)椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是()，,，椭圆的标准方程是。(2)椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为()，从椭圆的定义来看，,，椭圆的标准方程是。(3),以(1)取代，、和的焦点在轴心国。椭圆的标准方程是。(4)假设椭圆方程为，,，还有，因此，椭圆的标准方程是。*焦距是，是山姆点评：要找到椭圆圆的方程，首先要知道椭圆的定义以及椭圆中的一些几何特征与椭圆方程之间的关系。例2。(1)如果已知椭圆的中心在原点，焦点是f (-2，0)，长轴是短轴的两倍，那么椭圆的标准方程是。(2)椭圆的中心是点，它的焦点之一是，与焦点相对应的准线方程是，那么椭圆的方程是()A.B.C.D.分析：(1)被称为欲望；(2)椭圆的中心是点，它的焦点之一是半焦距，对应于焦点f的准线方程是，那么这个椭圆的方程是，选择d。注释：解椭圆方程的题目属于中下阶层。掌握基础知识是可以的。问题2:椭圆的本质例3。(1)在给定的椭圆中，如果穿过焦点并垂直于主轴的弦长为，且焦点到相应准线的距离为1，则椭圆的偏心率为()(甲)(乙)(丙)(丁)(2)将椭圆=1 (a b 0)的右焦点设置为F1，右准线设置为l1。如果垂直于穿过F1的x轴的弦长等于从点F1到l1的距离，则椭圆的偏心率为。分析：(1)让我们假设椭圆方程是(ab0)，然后有，根据它我们可以找到e=，并选择b(2)；分析：垂直于X轴的弦长，从问题的意义上来说就是F1，、即e=。注释：本主题重点介绍省略号的基本属性。例4。(1)如果椭圆的短轴是2，长轴是短轴的2倍，从椭圆中心到其准线的距离是()A.学士学位(2)椭圆=1的焦点是F1和F2，点P在椭圆上。如果线段PF1的中点在Y轴上，则|PF1|是()a7乘以b5乘以C4乘以D3分析：(1)d；A=2，b=1，c=，准线方程是x=，从椭圆中心到准线的距离是。(二)甲；让F1 (-3，0)和F2 (3，0)由条件P(3)决定，即，|PF2|=，|PF1|=，所以|PF1|=7|PF2|，所以选择A备注：本主题主要探讨椭圆的定义以及数字和形状相结合的概念。这是高度投机性的，也是高考命题的方向。问题3:双曲方程例5。(1)给定焦点，双曲线上一点的距离差的绝对值等于，得到双曲线的标准方程。(2)找出与椭圆焦点相同并通过该点的双曲线方程；(3)假设双曲线的焦点在轴上，且双曲线上两点的坐标分别为，求解双曲线的标准方程。分析：(1)由于双曲线的焦点在轴上，其标准方程设定为：,。因此，双曲线方程是：(2)椭圆的焦点是，双曲线方程可以设置为。太晚了。因此，总而言之。点评：双曲线的定义；用方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。(3)由于双曲线的焦点在轴上，双曲线的标准方程设为(1)；点在双曲线上，点的坐标适用于方程。分别代入方程，得到方程：会看整体，理解，是双曲线的标准方程。备注：只要问题得到解决，就可以得到双曲型方程，不需要求值。在解决问题的过程中，你也可以利用改变元素的想法，这样可以让你看得更清楚。例6。假设双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标为，焦距与虚轴长度之比，双曲线的标准方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：如果双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标在原点，那么焦点在x轴上，a=3，焦距与虚轴长度之比，也就是说，如果得到解，那么双曲线的标准方程为：备注：本主题主要考察双曲线的基本知识和通过知识的综合应用解决问题的能力。充分挖掘双曲线的几何性质，将数字和形状结合起来，更加直观和简单。问题4:夸张的本质例7。(1)已知双曲线(a0，b0)的右焦点是F。如果一条直线通过点F并具有(2)双曲线M:的左顶点A为斜率为1的直线。如果双曲线M的两条渐近线分别与B和C相交，并且|AB|=|BC|，则双曲线M的偏心率为()A.学士学位(3)如果已知双曲线的两条渐近线之间的角度-=1 (a ),则双曲线的偏心率为()公元前2世纪分析：(1)双曲线的右焦点是f。如果一条直线通过点f并有一个倾角，与双曲线的右分支只有一个交点，则直线斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率， ,偏心率e2=， e2，并且选择c。(2)双曲线的左顶点(1，0)被视为斜率为1: y=x-1的直线。如果双曲线的两条渐近线和双曲线的左顶点(1，0)分别相交于点，联立方程被代入消去式，x1 x2=2x1x2，此外，b是交流中点，2x1=1 x2，代入解中。 b2=9，双曲线e=的偏心率，选择a(3)如果双曲线(a)的两条渐近线之间的角度是，那么， a2=6，双曲线的偏心率是，并且选择d。点评：高考试题聚焦怪癖，主要实现三者之间的关系。例8。(1) p是双曲线右分支上的点，m和n分别是圆(x 5) 2 y2=4和(x-5) 2 y2=1上的点，则| pm |-| pn |的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9(2)如果双曲线的虚轴长度是实轴长度的两倍，那么A.学士学位(3)如果双曲线的两个焦点分别为，且一个渐近线方程为，则它的两个准线之间的距离为()A.学士学位分析：(1)假设双曲线的两个焦点是F1 (-5，0)和F2 (5，0)，那么这两个点就是这两个圆的中心。当且仅当点P与M和F1的三个点共线并且点P与N和F2的三个点共线时，期望值最大。此时，| PM |-| PN |=(| PF1 |-2)-(| PF2 |-1)=10-1=9，因此选择B(2)双曲线的虚轴长度是实轴长度的两倍， m0，而双曲线方程是， m=，选择a(3)如果双曲线的两个焦点分别是，并且一个渐近线方程是，我可以得到它，所以它的两条准线之间的距离是，选择c。评论：双曲线渐近线、准线和许多距离问题也是调查