四川省棠湖中学2020届高三数学适应性考试试题 理（含解析）

四川省棠湖中学高2020届高考适应性考试理科数学一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】算出集合后可求.【详解】，故，故选C.【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题，解题时注意对数不等式的等价转化.2.若复数在复平面内所对应的点在实轴上，则实数（ ）A. 2B. -2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】算出后利用对应的点在实轴上可求.【详解】，因复平面内所对应的点在实轴上，所以为实数，故，故选B.【点睛】本题考查复数的四则运算和复数的几何意义，属于基础题.3.已知直线和平面，且，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的判定定理可得充分性成立；由或可得必要性不成立，从而可得结论.【详解】由线面垂直的判定定理可得，若，则，充分性成立；若，则或,必要性不成立，所以若，则“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题通过线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】利用函数的最小正周期为得出结论.【详解】函数的是小正周期为,故选D.【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题. 函数的周期为.5.设直线与直线的交点为；分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示； 直线 与直线 的交点为 ； 为 的中点，若，则 即 解得 故选A6.在中，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】中，由正弦定理得，又，所以，再利用余弦定理，即可求解，得到答案。【详解】在中，因为，由正弦定理知，又，所以，又由余弦定理知：，解得，即，故选A。【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.7.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为；由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为.故选D.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.9.若函数为常数，）的图象关于直线对称，则函数的图象（）A. 关于直线对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于点对称【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的对称性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入选项，利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【详解】解：函数f（x）asinx+cosx（a为常数，xR）的图象关于直线x对称，f（0）f（），即，a，所以函数g（x）sinx+acosxsinx+cosxsin（x+），当x时，g（x）-，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x对称，故A错误，当x时，g（x）1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x对称，故B错误，当x时，g（x）0，故C错误，当x时，g（x）0，故D正确，故选：D【点睛】本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质，属于中档题10.三棱锥中，底面，若，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理计算出ABC的外接圆直径2r，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点.再利用公式可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案【详解】解：由于ABBCAC3，则ABC是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，ABC的外接圆直径为，由于SA底面ABC，所以，ABC外接圆圆心的垂线与线段SA中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，因此，三棱锥SABC的外接球的表面积为4R2421故选：C【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题11.已知双曲线的左，右焦点分别为，抛物线与双曲线有相同的焦点设为抛物线与双曲线的一个交点，且,则双曲线的离心率为（ ）A. 或B. 或3C. 2或D. 2或3【答案】D【解析】【分析】不妨设在第一象限，过作直线的垂线，垂足为，利用可设，且有，从而利用焦半径公式得到，从中解出可得双曲线的离心率.【详解】不妨设在第一象限且，则，过作直线（抛物线的准线）的垂线，垂足为，则，故，因为直角三角形，故可设， 且，所以，解得或，若，则， ； 若，则，；综上，选D.【点睛】离心率的计算关键在于构建的一个等量关系，构建时可依据圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的点到相应准线的距离.12.设函数.若曲线与函数的图象有4个不同的公共点,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由有，直线与函数的图象有4个不同的交点。数形结合求出的范围。详解：由有，显然，在同一坐标系中分别作出直线和函数的图象，当直线与相切时，求出，当直线与相切时，求得，所以，又当直线经过点时，此时与有两个交点，一共还是4个交点，符合。 ，综上，选A.点睛：本题主要考查函数图象的画法，求两个函数图象的交点的个数，考查了数形结合思想、等价转换思想，属于中档题。画出这两个函数的图象是解题的关键。 二.填空题，把答案填在答题卡上.13.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则_【答案】-1【解析】【分析】由幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，得到a是奇数，且a0，由此能求出a的值【详解】2，1，1，2，3，幂函数f（x）=x为奇函数，且在（0，+）上递减，a是奇数，且a0，a=1故答案为：1【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14.若满足约束条件 则 的最小值为_【答案】3【解析】【分析】本题首先可以通过题目所给出的不等式方程组绘出图像，然后确定图像的三个顶点坐标，最后将其分别带入中即可得出最小值。详解】如图所示，根据题目所给的不等式方程组绘出的图形可知，交点为、，然后将其带入中可得，的最小值为3。【点睛】本题考查了线性规划的相关性质，解决本题的关键是能否根据题目所给条件画出可行域并在可行域中找出使目标函数取最值的点，考查数形结合思想，是简单题。15.在直角坐标系中，已知点，若点满足,则_.【答案】【解析】【分析】求出的坐标后可的值.【详解】因为，所以为的重心，故的坐标为即，故.填.【点睛】在三角形中，如果为三角形的重心，则，反之也成立.16.的内角所对的边成等比数列，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理和基本不等式可求的最小值.【详解】因为成等比数列，所以，由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立，故的最小值为.【点睛】本题考查余弦定理、等比中项和基本不等式，此类问题是中档题.三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知数列的前n项和Snn25n (nN+）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn .【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）运用数列的递推式：，计算可得数列的通项公式；（2）结合（1）求得，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列的前项和 .【详解】（1）因为，所以,时,也适合，所以 （2）因为， 所以 两式作差得： 化简得，所以.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18.为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了天的监测，得到如下统计表：噪音值（单位：分贝）频数（1）根据该统计表，求这天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）.（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：（i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.（ii）学校要举行为期天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这天校园出现的重度噪音污染天数记为，求的分布列和方差.【答案】(1)61.8；(2)(i);(ii)答案见解析.【解析】试题分析：根据该统计表，同一组的数据用该组组间的中点值作代表，可求这天校园噪音值的样本平均数；（2）（i）由题意，“出现重度噪音污染”的概率为，“出现轻度噪音污染”的概率为，设事件为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，利用独立重复试验的概率可求求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.（ii）由题意，服从二项分布，求的分布列和方差.试题解析：（1）由数据可知（2）由题意，“出现重度噪音污染”的概率为，“出现轻度噪音污染”的概率为，设事件为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则（3）由题意，则.故分布列.19.如图，在直三棱柱中，为棱的中点，.（1）证明：平面；（2）设二面角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2)【解析】试题分析：（1）取的中点,根据平行四边形性质得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互余关系确定结果.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，侧面为平行四边形，为的中点，又，四边形为平行四边形，则.平面，平面，平面.（2）解：过作于，连接，则即为二面角的平面角.，.以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，.，异面直线与所成角余弦值为.20.已知椭圆的右顶点为，上顶点为，右焦点为.连接并延长与椭圆相交于点，且（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，直线分别与直线相交于点，点.若的面积是的面积的2倍，求直线的方程.【答案】(1).(2)或.【解析】分析：（1）根据椭圆的上顶点坐标，求出的值，由已知条件求出C点坐标的表达式，代入椭圆方程中，求出的值，这样求出椭圆的方程；（2）设直线MN的方程为，设，联立直线与椭圆方程，得，求出的表达式，直线AM的方程为 ，直线AN的方程为，求出P,Q点的纵坐标的表达式，面积的表达式，根据两个三角形面积之间的关系，求出的值，得直线的方程。详解： ()椭圆的上顶点为，设.，.点.将点的坐标代入中，得.又由，得.椭圆的方程为（）由题意，知直线的斜率不为0.故设直线的方程为.联立，消去，得 设，.由根与系数的关系，得，.直线的方程为，直线的方程为令，得.同理.故，.直线的方程为或点睛：本题考查了椭圆的标准方程和性质，直线与椭圆相交时弦长问题，一元二次方程根与系数的关系，三角形的面积计算公式等，属于难题。21.已知函数 （ ）（1）当 时，求曲线 在原点 处的切线方程；（2）若 对 恒成立，求 取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由题意，求出的导数，再求出，即可求出曲线在原点处的切线方程；（2）根据的导数及定义域，对进行分类讨论，求出的单调性及最值，即可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，故曲线在原点处的切线方程为.(2)当时，若，则在（0，1）上递增，从而若令，当时，当时，则不合题意综上所述，的取值范围为点晴：求曲线切线方程的一般步骤是：（1