高三数学高考中常考常新的永恒主题

必修1复习专号高考中常考常新的永恒主题谈函数中的数学思想方法数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化的桥梁，是数学意识和数学方法的总称数学思想是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，反之，数学思想对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题起到促进和深化的作用在函数问题中蕴含了许多数学思想方法，是高考中常考常新的永恒主题，那么，在函数中有哪些思想方法呢？下面举例介绍，供同学们参考一、方程思想方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程（组）或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决例1 定义在R上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，如果，求、解析式分析：从方程的观点来看，由已知条件有，把条件中的换为，有，可得一组方程，然后解之解：由已知，且，联立方程组解得，评注：用方程思想解题是高中数学学习中经常用到的思想方法，关键是如何建立方程或方程组，本题中视、为两个变量，建立等量关系，然后通过解方程（组）使问题获得解决练习1 已知函数满足条件，求解析式二、函数思想函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，在解题中，要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，这是应用函数思想的关键例2 （2020海南卷变题）若方程在区间上有解，求所有满足条件k的的值的和 分析：构造函数，方程的根即为函数的零点，然后利用函数的单调性确定零点的分布 解：构造函数，方程有解即为函数在区间上有零点可知该函数为偶函数且在单调递减，在上为单调递增，因，所以函数在区间各有一个零点，即，所以满足条件k的值的和为评注：方程与函数之间有着密切的联系，有时可以相互转换，本题利用函数思想加以分析，方程的根通过构造函数后即为研究函数的零点问题：单调函数在区间上有零点的从要条件是练习2 设二次函数，方程的两个根满足，当时，求证：三、数形结合思想借助于图像研究函数的性质是一种常用方法函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了树形结合的特征与方法，运用树形结合的思想有助于理解题意，探求解题思路，检验解题结果例3 （2020上海卷理11）方程x2+x10的解可视为函数yx+的图像与函数y的图像交点的横坐标，若x4+ax40的各个实根x1，x2，xk (k4)所对应的点(xi ,)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 分析：类比已知条件，可视方程x4+ax40的根为方程的根，是曲线与曲线的交点的横坐标，分别画出二者的图像，可得相关结论解：方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，因直线yx与交点为：；所以结合图象可得：评注：数学结合思想的实质是通过函数的图像和图像的平移来寻求解题思路，并得出结论；解决本题时，通过类比，从题中挖掘代数意义和几何意义，寻找出图像平移的关键位置，达到完美地数形结合练习3 函数的定义域为D，若满足（1）在D内是单调函数，（2）存在，使在上的值域为，那么该函数叫闭函数，现是闭函数，那么的取值范围是 四、类比思想当要解决一个抽象问题时，有时常先解决类似的具体问题，再类比解决抽象问题，类比联想可以发现新的数学知识，类比可以寻到解决问题的方法和途径，可以培养学生的发散思维，创造思维及合情推理能力例4已知定义在R上的函数满足，当时，若对任意的，不等式组 均成立，则实数k的取值范围是 分析：已知条件给出的函数是抽象函数，根据其对应法则可采取类比的思想得到相应的具体函数，如一次函数，从中得出相应的性质：奇函数且增函数，然后根据性质，把不等式组转化为相对应的问题来解决解：根据其对应法则类比得到相应的具体函数，如一次函数，该函数具备以下性质：奇函数且增函数，故原不等式组可转化为在恒成立，由（1）得，由（2）得，所以所求k的取值范围是评注：通过类比常见具体函数得出相关性质，可使问题解决简单化，化抽象为具体，在解决填空题时经常采用此类方法练习4定义在上的函数满足，且若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 五、分类讨论思想分类讨论思想是按一定标准将所研究对象分成若干种情况，把一个复杂问题分解成若干个小问题，从而获解的思想在函数中分类讨论的知识点主要有：研究一元二次函数的值域；研究指数与对数函数的单调性等问题分类的原则是不重不漏，分类的方法是明确讨论对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，其中确立分类标准是关键例5 （2020广东卷理19）设，函数，试讨论函数的单调性分析：首先明确函数是分段函数，其单调性应每一段分别讨论，对于每一段而言，求导后由于k的取值范围不同，其单调性也会随之发生变化，因此应分类讨论k在不同取值范围时函数的单调性解： 对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数评注：本题在研究函数的单调性时采用了导数法，由于函数是分段函数，其单调性应分类讨论；对于每一段而言，由于k在不同范围内取值时，函数的单调性随之发生变化，因此应对其分类讨论，讨论的关键在于导数的值与0的大小比较 练习5 已知且，当时均有，则实数a的取值范围是 六、转化与化归思想转化与化归思想是指将待求问题转化归纳为可解决的问题的一种数学思想所谓“化归”，就是说在解决问题时，将原问题进行变形，使之转化，直至最终归结为我们所熟悉的，或易于解决的，或已经解决的新问题。问题转化的基本策略是：复杂化为简单，陌生化成熟悉，抽象化成具体，含糊化成明朗例6：已知不等式，对任意恒成立，求实数a的取值范围分析：不等式在可变形为在恒成立，视后面为关于x的函数，只需求函数的最大值即可解：不等式可化为，令，由题意得a大于函数的最大值，只需求函数的最大值，易知函数在上为单调增函数，所以，故所求a的取值范围是评注：一般地恒成立，则a必须大于函数的最大值，因此恒成立问题就可以转化为我们较为熟悉的求最值问题进行求解练习6已知关于x的方程在区间上有实数解，求a的取值范围练习答案：1.把换成得，与已知联立方程组，解得 2. 构造函数，由于是方程的两根，所以可设函数，因为，所以，从而可得；又，故，从而得证3.易知函数在定义域内是单调函数，故函数满足，即是方程的两根，分别令，则两函数在定义域内有不同的两个交点，分别作出相应的图像，可求4. 通过类比具体函数为，可知函数在定义域上为单调减函