湖北省宜昌市2020届高三数学4月线上统一调研测试试题 理（PDF）答案.pdf
湖北省宜昌市2020届高三数学4月线上统一调研测试试题 理（PDF）
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湖北省宜昌市2020届高三数学4月线上统一调研测试试题
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宜昌市宜昌市 2020 届高三年级届高三年级 4 月线上统一调研测试月线上统一调研测试数学试题（理科）本试卷共 4 页，23 题（含选考题）. 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合223,21,xax yxxby yxr，则aba.1,3b.1,)c. 1,3)d.3,)2. 复数z满足(1)22i zi，则z a.1ib.1ic.22id.22i3. 设131( )2x ，51log6y ，14log 3z ，则a.xyzb.yzxc.zxyd.zyx4. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果为a.0b.1c.3d.2 35已知函数( )sin3cosf xxx，下列命题：( )f x关于点(,0)3对称；( )f x的最大值为2；( )f x的最小正周期为2；( )f x在区间(0, )上递增其中正确命题的个数是a0b1c2d36设正项等比数列 na的前n项和为ns，且119nnna a，则63ssa.2827b.28c.2627d.987已知箱中装有 6 瓶消毒液，其中 4 瓶合格品，2 瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用a表示“第一次取到不合格消毒液”，用b表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则(|)p b a a16b15c.14d138. 我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细在粗的一端截下 1尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤. 问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列. 若将该金杖截成长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为是是开始0,1sn2020?ntan3nss1nn 结束输出s否否a.65斤b.43斤c.32斤d.54斤9四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有 4 种颜色可供选择（4 种颜色不一定用完） ，则满足四色定理的不同的涂色种数为a96b72c108d14410已知抛物线c：28yx的焦点为f，m是抛物线c上一点，n是圆22(6)(3)9xy上一点，则|mnmf的最小值为a4b5c8d1011. 某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形，1m为正视图一边的中点，且几何体表面上的点m、a、b在正视图上的对应点分别为1m、1a、1b，在此几何体中，平面过点m且与直线ab垂直则平面截该几何体所得截面图形的面积为a.62b.64c.32d.3412定义在r上的偶函数( )f x满足(5)(3)fxfx，且224 ,01( )2ln ,14xxxf xxxx ，若关于x的不等式2( )(1) ( )0fxaf xa在 20,20上有且仅有15个整数解，则实数a的取值范围是a( 1,2ln2 2b2ln3 3,2ln2 2)c(2ln3 3,2ln2 2d2 2ln2,3 2ln3)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 填错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13若向量1,2a ，2,bm，且2aba，则m14某种品牌汽车的销量y（万辆）与投入宣传费用x（万元）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：经计算得回归直线方程ybxa的斜率为0.7，若投入宣传费用为 8 万元，则该品牌汽车销量的预报值为_万辆15 如图， 在四棱锥pabcd中，pa 平面abcd，abcd是菱形，3abc2 3paab，e是pd上的一动点（1） 当点e满足时，adec；（2）在（1）的条件下，三棱锥eacd的外接球的体积为16 已知双曲线22:12yc x 的左，右焦点分别为1f、2f，点g位于第一象限的双曲线上，若点h满足1212()gfgfohoggfgf 0，且直线gh与x轴的交点为3(,0)3p，则g点的坐标为宣传费用x3456销量y2.5344.5三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第1721题为必考题题为必考题，每个试题考每个试题考生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17.（本题满分 12 分）在abc中，角abc、 、的对边分别是abc、 、，且3(cos)sinabccb（1）求角b的大小；（2）若abc的面积为2 3 ,2 6b ，求abc的周长18 （本题满分 12 分）如图 1，直角梯形abcd中，adbc，abad，e、f分别是ad和bc上的点， 且abef，2ae ，132abdecf， 沿ef将四边形abfe折起， 如图 2， 使ae与fc所成的角为60（1）求证：bc平面aed；（2）m为cf上的点，fmfc(01)，若二面角bmde的余弦值为77，求的值19 （本题满分 12 分）已知1a、2a分别是离心率22e 的椭圆e：22221(0)xyabab的左右顶点，p是椭圆e的上顶点，且121pa pa （1）求椭圆e的方程；（2）若动直线l过点(0, 4)，且与椭圆e交于a、b两点，点m与点b关于y轴对称，求证：直线am恒过定点20. （本题满分 12 分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区 500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图 （用频率作为概率） . 潜伏期不高于平均数的患者， 称为 “短潜伏者” ，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者” （1）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，并计算出这 500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述 500 名患者中抽取 300 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；短潜伏者长潜伏者合计60 岁及以上9060 岁以下140合计300（3）研究发现，有 5 种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有 2 种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这 2 种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是 500 元，设所需要的试验费用为x，求x的分布列与数学期望x附表及公式：20()p kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821 （本题满分 12 分）已知函数( )f xlnxaxb（1）求函数( )f x的极值；（2）若不等式( )f xex恒成立，求bae的最小值（其中e为自然对数的底数） （二）选考题共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本题满分 10 分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为222242xtyt (t为参数)，以坐标原点o为极点，以x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2sin2cos（1）写出直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程；（2）已知定点( 2, 4)m ，直线l与曲线c分别交于pq、两点，求mqmpmpmq的值23. 选修 4-5：不等式选讲（本题满分 10 分）已知正实数a、b、c满足9abc，且222abc的最小值为t（1）求t的值；（2）设( )23f xxt x，若存在实数x，使得不等式2( )23f xmm成立，求实数m的取值范围22n adbckabcdacbd宜昌市 2020 届高三年级四月线上统一调研测试 数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案 命题：（当阳一中） 审题：（夷陵中学） （三峡高中） （五峰高中） 一、一、选择题选择题(每小题 5 分，共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 d d b c c a b c d b a b 二、二、填空题填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13. 14 14. 5.95 15. peed（aepd，bcec，222bccebe等其它填法若正确也给分） ，323 16. ( 3,2) 三、解答题三、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17解： （1）由3(cos)sinabccb， 可得3sin3sincossinsinabcbc， 即3sin()sinsin3sincosbcbcbc， （2 分） 展开化简得3cossinsinsinbcbc， （4 分） 又在abc中，sin0c ，所以tan3b ， （5 分） 又0b，所以3b （6 分） （2）因为abc的面积1sin2 32sacb，所以8ac ， （7 分） 由余弦定理得222222cos()2()3bacacbacacacacac， （9 分） 因为2 6b ，可得2()48ac，所以4 3ac， （11 分） 所以2 64 3abc，即abc的周长为2 64 3 （12 分） 18 （1）证明：在图 1 中，adbc，abad，又abef，所以abfe是矩形， 所以在图 2 中，bfae，又ae 平面aed，所以bf平面aed， （2 分） 因为edfc，又ed 平面aed，所以fc平面aed， （3 分） 又因为bffcf，所以平面bfc平面aed， （4 分） 而bc 平面bfc，所以bc平面aed （5 分） （2）解：因为edfc，所以aed是ae与fc所成的角， 所以60aed，因为ef 平面aed，故平面cdef 平 面aed，作aoed于点o，则ao 平面cdef，以o为 原点，平行于ef的直线为x轴，od所在直线为y轴，oa所在 直线为z轴建立空间直角坐标系oxyz， 则(0,0, 3)a，(3,0, 3)b，(3,5,0)c，(0,2,0)d，(0, 1,0)e，(3, 1,0)f （7 分） ( 3,2,3)bd ，(0,6,0)fc ，(0,6 ,0)fcfm ，(0,61,3)bmbffm ， 设平面bmd的法向量为( , , )mx y z， 则3230(61)30mxyzmybbmzd ，取3y ，得( 32 3 , 3,61)m （9 分） 平面emd的一个法向量为(0,0,1)n ， （10 分） 设二面角bmde的平面角为， 所以222|61|61|cos|48247( 32 3 )3(61)177m nm n ， 平方整理得21750，因为01，所以517 （12 分） 19解： （1）由题意得1(,0)aa，2( ,0)a a，(0, )pb， 则22212(,) ( ,)1pa paabababc ，所以1c ， （2 分） 又222,22abccea所以2a ，1b ，所以椭圆e的方程为2212xy （4 分） （2）当直线l的斜率存在时，设直线l：4ykx，11( ,)a x y，22(,)b xy，则22(,)mxy， 由2241,2,yyxxk消去y得22(12)16300kxkx由22( 16 )120(12)0kk ， 得2152k ，所以1221612kxxk，1223012x xk （6 分） 12121212121244()amyykxkxk xxkxxxxxx， obafedcmxyz直线am的方程为121112()()k xxyyxxxx， （7 分） 即121112()()k xxyyxxxx121112()4()k xxkxxxxx11212112(4)()()()kxxxk xxxxxx 1212121224()()kx xxxkx xxxx12121212()24k xxkx xxxxxx， （9 分） 因为1221612kxxk，1223012x xk，所以21212230221124416412kkx xkkxxk ， 直线am的方程为可化为1212()14k xxyxxx，则直线am恒过定点1(0,)4 （11 分） 当直线l的斜率不存在时， 直线am也过点1(0,)4， 综上知直线am恒过定点1(0,)4 （12 分） 20解： （1）平均数(0.02 10.08 30.15 50.1870.03 9x 0.03 110.01 13)26， （2 分） 这 500 名患者中“长潜伏者”的频率为 (0.180.030.030.01)20.5，所以“长潜伏者”的人数为5000.5250人 （3 分） （2）由题意补充后的列联表如下， 则2k的观测值为230090 8060 705.3575.024150 150751160 1404k， （6 分） 经查表，得2(5.024)0.025p k ，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关 （7 分） （3）由题意知所需要的试验费用x所有可能的取值 为 1000，1500，2000，因为2252a1a110000p x ， 2112323353ca1+000a35a1cp x ， 1112332245ca200c3a05ap x （或11223335363(2000)605c c ap xa） （10 分） 所以x的分布列为 x 1000 1500 2000 p 110 310 35 110001500200017501303105e x （元） （12 分） 21 （1）解：11( )(0)axfxaxxx， （1 分） 当0a时，( )0fx恒成立，函数( )f x在(0,)上单调递增，无极值 （2 分） 当0a 时，由( )0fx，得10xa，函数( )f x在1(0, )a上单调递增，由( )0fx，得1xa， 函数( )f x在1( ,)a上单调递减，( )f x极大值为11( )ln1ln1fbabaa ， 无极小值 （4 分） 综上所述，当0a时，( )f x无极值； 当0a 时，( )f x极大值为ln1ab ，无极小值 （5 分） （2）由( )f xex可得( )f xlnxaxbex， 设( )()h xlnxea xb，所以1( )h xeax，0x ， 当a e时，( )0h x，( )h x在(0,)上是增函数，所以( ) 0h x 不可能恒成立， 当ae时，由1( )0h xeax，得1xae， （7 分） 当1(0,)xae时，( )0h x，( )h x单调递增，当1(xae，)时，( )0h x，( )h x单调递减， 所以当1xae时，( )h x取最大值，1()()1 0hln aebae ， （8 分） 所以()1 0ln aeb ，即1()bln ae ，所以1()()bln aea
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