福建省龙岩市（漳州市）2019届高三数学5月月考试题 文（含解析）

福建省龙岩市（漳州市）2019届高三数学5月月考试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】一元不等式化简集合b，然后直接利用并集运算得答案【详解】=，则故选：b【点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】a【解析】【分析】先化简复数，再判断它对应的点所处的象限得解.【详解】由题得，所以复数对应的点为（），故选：a【点睛】本题主要考查复数的运算和几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.双曲线的渐近线方程为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解【详解】双曲线的渐近线方程为：，整理，得y22x2，解得故选：c【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质4.在等差数列中，则（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质求得a7的值，列的方程组求解即可【详解】在等差数列an中，由得5a7100，即 ，又4d=12得d=3, 2故选：b【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题5.如图是某学校研究性课题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）a. 回答该问卷的总人数不可能是100个b. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多c. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少d. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个【答案】d【解析】【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解【详解】对于选项a，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择的同学人数不为整数，故a正确，对于选项b，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故b正确，对于选项c，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故c正确，对于选项d，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故d错误，故选：d【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题6.若，则“”是“”的a. 必要不充分条件b. 充分不必要条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】先找出及的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】由a1,得 等价为xy; 等价为xy0故“ ”是“”的必要不充分条件故选：a【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指对函数的单调性，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键7.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【详解】由题意可知几何体是组合体，的圆柱与一个四棱锥组成，如图：故选：b【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状8.已知函数，则下列结论正确的是（ ）a. 的最大值为1b. 的最小正周期为c. 的图像关于直线对称d. 的图像关于点对称【答案】c【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可【详解】函数= sin（2x）+1对于a：根据f（x）sin（2x）+1可知最大值为2；则a不对；对于b：f（x）sin（2x）+1，t则b不对；对于c：令2x=，故图像关于直线对称则c正确；对于d：令2x=，故的图像关于点对称则d不对故选：c【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键9.若正四棱柱的体积为，则直线与所成的角为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线ab1与cd1所成角【详解】正四棱柱abcda1b1c1d1的体积为，ab1，aa1，以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，则a（1，0，0），b1（1，1，），c（0，1，0），d1（0，0，），（0，1，），（0，1，），设直线ab1与cd1所成的角为，则cos，又60，直线ab1与cd1所成的角为60故选：c【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题10.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由函数，的表达式即可判断f（x）是关于x=1对称的函数，利用单调性可得x的不等式求解即可【详解】由题画出函数的图像如图所示，故 ，即 ，解得的取值范围是故选：d【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，考查绝对值不等式的解法，考查计算能力是基础题11.如图，宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】依题意，基本事件的总数为24，设事件a表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件a包含1214个基本事件，故p（a）可求【详解】依题意，基本事件的总数为24，设事件a表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，若甲模仿“扶”，则a包含16个基本事件；若甲模仿“捡”或“顶”则a包含28个基本事件，综上a包含6+814个基本事件，所以p（a），故选：b【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题12.若直线y=a分别与直线y=2x-3，曲线y=ex-x（x0）交于点a，b，则|ab|的最小值为（）a. b. c. ed. 【答案】b【解析】【分析】设a（x1，a），b（x2，a），建立方程关系用x1表示x2，则|ab|x1x2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可【详解】作出两个曲线的图象如图，设a（x1，a），b（x2，a），则x1x2，则2x13e，即x1（e+3），则|ab|（e+3）（3+e3），设f（x）（ex3x+3），x0，函数的导数f（x）（3+ex），由f（x）0得xln3，f（x）为增函数，由f（x）0得0xln3，f（x）为减函数，即当xln3时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln3）（3+33ln3）3ln3，故选：b【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知向量，满足，则_【答案】1【解析】【分析】直接利用数量积运算律化简即得解.【详解】因为，所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.若满足约束条件，则的最大值是_【答案】11【解析】【分析】画出可行域，平移直线得最大值即可【详解】画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：当直线平移过a时，z最大，联立得a（15）故z的最大值为1+25=11故答案为11【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，准确计算是关键，是基础题15.若数列满足，则_【答案】【解析】【分析】由，累加法求通项即可【详解】由题，则相加得,故=故答案为【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查等差等比数列的求和，考查基本公式，准确计算是关键，是基础题16.已知点为椭圆的左焦点，直线与相交于两点（其中在第一象限），若，则的离心率的最大值是_【答案】【解析】【分析】设右焦点为,连接,由椭圆对称性得四边形为矩形，结合椭圆定义及勾股定理得a,c不等式求解即可【详解】设右焦点为,连接,由椭圆对称性知四边形为平行四边形，又=2c=，故为矩形，=，即,又,故0e故答案为【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆定义的应用，转化化归思想，利用定义转化为矩形是关键，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知锐角的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由正弦定理，得，进而则a可求；（2）解法一：由余弦定理得c的方程求解即可；解法二：正弦定理得，进而得，再利用正弦定理得c即可【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得，因为，所以， 所以， 所以，所以（2）解法一：因为为锐角三角形，所以为锐角， 因为，所以因为，由余弦定理得， 所以，所以. 解法二：因为为锐角三角形，所以，为锐角，因为，所以由正弦定理得，所以因为，所以所以，由正弦定理得.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，考查公式的运用，是中档题18.如图1，在菱形中，是的中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，且平面平面，如图2.（1）求证：；（2）若为的中点，求四面体的体积.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）在图1中证明bmad，在图2中根据面面垂直的性质即可得出a1m平面bcdm，故而得证（2）计算v，则vvvv【详解】（1）证明：在图1中，四边形abcd是菱形，dab60，m是ad的中点，adbm，故在图2中，bma1m，平面a1bm平面bcdm，平面a1bm平面bcdmbm，a1m平面bcdm，又bd平面bcdm，a1mbd（2）解：在图1中，abcd是菱形，adbm，adbc，bmbc，且bm，在图2中，连接cm，则vsbcma1m，k是a1c的中点，vvvv【点睛】本题考查线面垂直得性质，面面垂直的性质，棱锥体积的计算，考查基本定理的运用，是中档题19.某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为元.若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕.该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包.为了合理确定保费的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）：10203040500.790.590.380.230.01（1）根据上面的数据求出关于的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为.已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费定为5元？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：表中的5个值从左到右分别记为，相应的值分别记为，经计算有，其中，.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）先求，得利用公式直接代入求解即可；(2)计算销售该“手机碎屏险”产生的利润即可判断【详解】（1）由， ，得， ，所以关于回归直线方程为.（2）能把保费定为5元.理由如下：若保费定为5元，则估计估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为（元）（万元）（万元）所以能把保费定为5元.【点睛】本题考查回归直线方程，以及利用回归直线解决实际问题，考查计算求解能力，是基础题20.已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)先求p,再列a,b,c的方程组求解即可（2）设的方程为 ，与抛物线联立将 坐标化代入韦达定理解得n=2，利用即可求解；【详解】（1）因为点到的准线的距离为2，所以， 由解得所以的方程为 （2）解法一.由（1）知抛物线的方程为. 要使直线与抛物线交于两点，则直线的斜率不为0，可设的方程为，由得 所以，得.设 则所以，因为，所以，所以，所以， 所以直线的方程为，所以直线过椭圆的右顶点，不妨设 ，且， 所以，当且仅当时，.【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线过定点问题，考查面积问题，考查基本不等式求最值，注意计算的准确，是中档题21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若，求的取值范围.【答案】(1) 的单调递减区间是，单调递增区间是(2) 【解析】【分析】（1）当时，判断其正负号则单调性可求；（2）法一：由（1）得进而，放缩不等式为当时，构造函数求解即可；法二：分离a问题转化为，求最值即可求解【详解】（1）函数的定义域为， 当时，令，则，因在上单调递增，且，所以当时，；当 时，；所以在上单调递减，在上单调递增所以，即，仅当时取等号. 所以当时，；当时，；所以的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）解法一.由（1）知，所以当时，得， 当时，令，由（1）知，所以，满足题意. 当时，不满足题意. 所以的取值范围是. 解法二：由（1）知，所以当时，得， 由，得，问题转化为， 令，则， 因为，（仅当时取等号），所以当时，；当时，；所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以， 所以的取值范围是.【点睛】本题考查导数与函数的单调性，导数与函数最值，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，是中档题22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，且，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与的交点为，且，求.【答案】（1）,；（2）1.【解析】【分析】（1）对于曲线