2014年四川省高考数学试卷（文科）

2014年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）已知集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B为整数集，则AB=（）A1，0B0，1C2，1，0，1D1，0，1，22（5分）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）A总体B个体C样本的容量D从总体中抽取的一个样本3（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A向左平行移动1个单位长度B向右平行移动1个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度4（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）A3B2CD15（5分）若ab0，cd0，则一定有（）ABCD6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为（）A0B1C2D37（5分）已知b0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）Ad=acBa=cdCc=adDd=a+c8（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）AmBmCmDm9（5分）设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mxym+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A，2B，2C，4D2，410（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是（）A2B3CD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）双曲线y2=1的离心率等于 12（5分）复数= 13（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）= 14（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（mR），且与的夹角等于与的夹角，则m= 15（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数M，使得函数（x）的值域包含于区间M，M例如，当1（x）=x3，2（x）=sinx时，1（x）A，2（x）B现有如下命题：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）A”的充要条件是“bR，aD，f（a）=b”；函数f（x）B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）A，g（x）B，则f（x）+g（x）B若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，aR）有最大值，则f（x）B其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，共75分）16（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c（）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率17（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若是第二象限角，f（）=cos（+）cos2，求cossin的值18（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（）若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；（）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论19（12分）设等差数列an的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（nN*）（）证明：数列bn为等比数列；（）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2，求数列anbn2的前n项和Sn20（13分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左焦点为F（2，0），离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）设O为坐标原点，T为直线x=3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积21（14分）已知函数f（x）=exax2bx1，其中a，bR，e=2.71828为自然对数的底数（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间0，1上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围2014年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）已知集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B为整数集，则AB=（）A1，0B0，1C2，1，0，1D1，0，1，2【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集【解答】解：A=x|（x+1）（x2）0=x|1x2，又集合B为整数集，故AB=1，0，1，2故选：D【点评】本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键2（5分）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）A总体B个体C样本的容量D从总体中抽取的一个样本【分析】根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论【解答】解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体，故选：A【点评】本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题3（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A向左平行移动1个单位长度B向右平行移动1个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案【解答】解：由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度故选：A【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减是基础题4（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）A3B2CD1【分析】根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算【解答】解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为，底面为等边三角形，边长为2，三棱锥的体积V=2=1故选：D【点评】本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积，判断三棱锥的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键5（5分）若ab0，cd0，则一定有（）ABCD【分析】利用特例法，判断选项即可【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=3，d=1，则，C、D不正确；=3，=A不正确，B正确解法二：cd0，cd0，ab0，acbd，故选：B【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，带数计算正确即可6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，yR，那么输出的S的最大值为（）A0B1C2D3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2故选：C【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键7（5分）已知b0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）Ad=acBa=cdCc=adDd=a+c【分析】利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出【解答】解：由5d=10，可得，cd=lgb=log5b=a故选：B【点评】本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题8（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）AmBmCmDm【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，DAB=15，tan15=tan（4530）=2在RtADB中，又AD=60，DB=ADtan15=60（2）=12060在RtADC中，DAC=60，AD=60，DC=ADtan60=60BC=DCDB=60（12060）=120（1）（m）河流的宽度BC等于120（1）m故选：B【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题9（5分）设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mxym+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A，2B，2C，4D2，4【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10三角换元后，由三角函数的知识可得【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mxym+3=0即 m（x1）y+3=0，经过点定点B（1，3），动直线x+my=0和动直线mxym+3=0的斜率之积为1，始终垂直，P又是两条直线的交点，PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10设ABP=，则|PA|=sin，|PB|=cos，由|PA|0且|PB|0，可得0，|PA|+|PB|=（sin+cos）=2sin（+），0，+，sin（+），1，2sin（+），2，故选：B【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题10（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是（）A2B3CD【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由y2tym=0，根据韦达定理有y1y2=m，=2，x1x2+y1y2=2，结合及，得，点A，B位于x轴的两侧，y1y2=2，故m=2不妨令点A在x轴上方，则y10，又，SABO+SAFO2（y1y2）+y1，=当且仅当，即时，取“=”号，ABO与AFO面积之和的最小值是3，故选B【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）双曲线y2=1的离心率等于【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=1，则c2=a2+b2=4+1=5，则a=2，c=，即双曲线的离心率e=，故答案为：【点评】本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出a，c是解决本题的关键，比较基础12（5分）复数=2i【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果【解答】解：复数=2i，故答案为：2i【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题13（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1）时，f（x）=，则f（）=1【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值【解答】解：f（x）是定义在R上的周期为2的函数，=1故答案为：1【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”14（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（mR），且与的夹角等于与的夹角，则m=2【分析】利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出【解答】解：向量=（1，2），=（4，2），=m+（mR），=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20，=2与的夹角等于与的夹角，=，化为5m+8=4m+10，解得m=2故答案为：2【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题15（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数M，使得函数（x）的值域包含于区间M，M例如，当1（x）=x3，2（x）=sinx时，1（x）A，2（x）B现有如下命题：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）A”的充要条件是“bR，aD，f（a）=b”；函数f（x）B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）A，g（x）B，则f（x）+g（x）B若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，aR）有最大值，则f（x）B其中的真命题有（写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题是否正确，再利用导数研究命题中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论【解答】解：（1）对于命题，若对任意的bR，都aD使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R反之，f（x）的值域为R，则对任意的bR，都aD使得f（a）=b，故是真命题； （2）对于命题，若函数f（x）B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间M，MMf（x）M例如：函数f（x）满足2f（x）5，则有5f（x）5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故是假命题； （3）对于命题，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）A，g（x）B，则f（x）值域为R，f（x）（，+），并且存在一个正数M，使得Mg（x）M故f（x）+g（x）（，+）则f（x）+g（x）B，故是真命题； （4）对于命题，当a0或a0时，aln（x+2）（，+），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）B，故是真命题故答案为【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题三、解答题（共6小题，共75分）16（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c（）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率【分析】（）所有的可能结果（a，b，c）共有333=27种，而满足a+b=c的（a，b，c有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率（）所有的可能结果（a，b，c）共有333种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求【解答】解：（）所有的可能结果（a，b，c）共有333=27种，而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，故“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为=（）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为=，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1=【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题17（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若是第二象限角，f（）=cos（+）cos2，求cossin的值【分析】（1）令 2k3x+2k+，kz，求得x的范围，可得函数的增区间（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（+），又f（）=cos（+）cos2，可得sin（+）=cos（+）cos2，化简可得 （cossin）2=再由是第二象限角，cossin0，从而求得cossin 的值【解答】解：（1）函数f（x）=sin（3x+），令 2k3x+2k+，kZ，求得 x+，故函数的增区间为，+，kZ（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（+），又f（）=cos（+）cos2，sin（+）=cos（+）cos2，即sin（+）=cos（+）（cos2sin2），sincos+cossin=（coscossinsin）（cossin）（cos+sin）即 （sin+cos）=（cossin）2（cos+sin），又是第二象限角，cossin0，当sin+cos=0时，tan=1，sin=，cos=，此时cossin=当sin+cos0时，此时cossin=综上所述：cossin=或【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题18（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（）若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；（）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论【分析】（）先证明AA1平面ABC，可得AA1BC，利用ACBC，可以证明直线BC平面ACC1A1；（）取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，证明四边形MDEO为平行四边形即可【解答】（）证明：四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，AA1AB，AA1AC，ABAC=A，AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC，ACBC，AA1AC=A，直线BC平面ACC1A1；（）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点连接MD，OE，则MDAC，MD=AC，OEAC，OE=AC，MDOE，MD=OE，连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，DEMO，DE平面A1MC，MO平面A1MC，DE平面A1MC，线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE平面A1MC【点评】本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）设等差数列an的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（nN*）（）证明：数列bn为等比数列；（）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2，求数列anbn2的前n项和Sn【分析】（）利用等比数列的定义证明即可；（）先由（）求得an，bn，再利用错位相减求数列anbn2的前n项和Sn【解答】（）证明：由已知得，bn=0，当n1时，=2d，数列bn为首项是，公比为2d的等比数列；（）解：f（x）=2xln2函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y=ln2（xa2），在x轴上的截距为2，a2=2，a2=2，d=a2a1=1，an=n，bn=2n，anbn2=n4n，Tn=14+242+343+（n1）4n1+n4n，4Tn=142+243+（n1）4n+n4n+1，Tn4Tn=4+42+4nn4n+1=n4n+1=，Tn=【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题20（13分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左焦点为F（2，0），离心率为（）求椭圆C的标准方程；（）设O为坐标原点，T为直线x=3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积【分析】（）由题意可得，解出即可；（）由（）可得F（2，0），设T（3，m），可得直线TF的斜率kTF=m，由于TFPQ，可得直线PQ的方程为x=my2设P（x1，y1），Q（x2，y2）直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m此时四边形OPTQ的面积S=【解答】解：（）由题意可得，解得c=2，a=，b=椭圆C的标准方程为；（）由（）可得F（2，0），设T（3，m），则直线TF的斜率，TFPQ，可得直线PQ的方程为x=my2设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，化为（m2+3）y24my2=0，0，y1+y2=，y1y2=x1+x2=m（y1+y2）4=四边形OPTQ是平行四边形，（x1，y1）=（3x2，my2），解得m=1此时四边形OPTQ的面积S=【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问