关注数学本质 发展学生思维02

,统计与概率领域,信息处理能力,（1）统计：数据处理；（2）概率：可能性大小；,描述一组数据的特征量,集中量,差异量,相关量,集中量代表一组数据典型水平或集中趋势的量,平均数,中位数,众数,算术平均数,调和平均数,加权平均数,参考文献：王孝玲，教育统计学，华东师范大学出版社，2001版，p29。,平均数中位数众数,平均数很好，比中位数、众数更有可靠性和代表性，但它易受极大或极小两极端数值的影响。中位数不具有平均数那样多的优点，但能解决平均数无法处理的一些问题。它适用于：一组数据中有特大或特小两极端数值时；一组数据中有个别数据不确切时；资料属于等级性质时。众数是三个集中量中最差的一个，当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值用到它。,数据需要结合现实来选择使用,选拔射击运动员,当面对一组数据时，哪个数据是最具代表性。,如果你是工会主席，准备提加工资的建议；如果你是人事经理，准备做宣传招员工？如果你是一位新员工？如果你是一位有经验的员工？如果你是一位CEO,主要看数据的用途？,统计图的制作与分析,不再要求学生会制作复杂的统计图表；重要的是能使学生从统计图表中获取相应的信息；能做出相应的推断？读图时代：有哪些富有生活气息的素材；,有趣的素材,莎士比亚歌剧的单词字母个数；奥运歌曲中的音符；,有趣的素材,奥运金牌榜：参会人数，中国队获得金牌最多的项目；早餐营养不充足的80睡眠情况的统计；我们国家的近似率是世界上排名第一；我省学生近似率53.8%；,有趣的素材,你有活力吗？测脉搏：1）绝对放松，测试10秒，每分脉搏频率，2）做心跳加速的动作：不停走3分钟，3）一停下脚就测脉搏；结果为“负荷脉搏数”；4）休息3分钟，再测脉搏，得到“休整后脉搏数”坚持锻炼3周后如果休整后的脉搏数减少了，说明身体已经得到了锻炼；如果恢复正常脉搏数的速度越快，说明你的耐力越好。,有趣的素材,这是一本好的统计书,讨论：概率的问题,有甲乙两人对弈，7盘决胜负，胜者获得奖金10万，负者也可获得奖金5万，下到5盘结束，甲赢3盘，乙赢2盘，这时由于某种原因都不下了，但胜负还未决定，那么该如何分配这一共15万的奖金才公平合理呢？这个问题对于概率论的产生起了很大的作用。当年费尔马和帕斯卡就是从考虑这个问题入手发明概率论的。,认识可能性我们常常抛硬币，掷骰子，用来说明等可能性的事件，如果用啤酒瓶的盖来说明这不是等可能性的，对等可能的事件的理解反而更深刻。再多的白羊也不能证明所有的羊都是白的，而只要一只黑羊就能证明所有的羊都是白的这个理论是错误的。,思考：,不等可能性的材料,讨论：概率的问题,一个硬币是正面还是反面？1/2？理论概率与实验概率的冲突；样本多大才合适？计算机的模拟实验如何辅助？（抛硬币）是不是次数越多就越接近1/2；,讨论：概率的问题,是不是次数越多就越接近1/2；如何根据频率进行推断？,联系统计与概率,不局限在从一幅图中获取信息？而是关注图与图之间的关联；不局限在一个领域；而是要统计与概率之间的联系。,折线背后的教育意义,折线统计图在生活中的应用。,股票图,心电图,你关注的是什么图？,概率的现实意义。,一切皆有可能。,4.逻辑思维能力,（1）演绎能力；（2）归纳能力；,我的一生很庆幸，因为我曾经在两个不同的国度生活过，一个国家注重演绎，一个国家注重归纳。杨振宁,逻辑思维能力,逻辑思维能力,有8个同样的商品，其中一个是次品，质量较轻，有一个天平，最少用几次能找出那个次品？服役人员体检,重视归纳，从分类开始。,归纳能力和演绎能力都很重要，演绎是由一般到特殊，用于证明结论的正确性，这在数学中很重要。而归纳是由特殊到一般，或者说由一个范围内的结论推断到一个更大范围的结论，这往往导致创新。归纳能力培养从重视分类开始史宁中,分类的序列:,图形的分类（认识三角形）；数的分类（认识奇数偶数质数合数）；算式的分类（认识有余数除法）；等式的分类（认识方程）；问题的分类（认识归一问题）；,萌发辨证关系的10大系列：（1）一与多：（2）合与分；（3）相等与不等：（4）分解与组合；（5）变和不变：；（6）精确和近似：；（7）具体和抽象；（8）离散和连续：（9）有限与无限：（10）常量与变量：,（2）注重思维训练,简单数数蕴含无限思想,学生在长长的纸条上写数1，2，3，4，9（需要指点）10，11，1219（需要帮助）20，21，22，29（不要帮助）3099（又要帮助）1024小女孩：我不想写了。师：为什么？小女孩：就这样继续下去。师：就怎样继续呢？小女孩：1后面2，2后面3，3后面4到10时，把前面一位的1改成2，2改成3,（9）有限与无限：圆与正多边形之间的关系,实际应用。饮料一杯装得下吗？,小瓶饮料90克，倒进空瓶占3格。,大瓶饮料300克，倒进空瓶（8格）装得下吗？,注：每一格装的饮料质量相等。,实际应用。饮料一杯装得下吗？,小瓶饮料90克，倒进空瓶占3格。,大瓶饮料300克，倒进空瓶（8格）装得下吗？,方法1：9038240，2408；方法3：30090=330，339格，98；,5.解决问题能力,（1）提出问题的能力；（2）解决问题的能力；,提问能力的培养途径,单元前：单元主题图；课前；课时主题图；课中；知识展开教学中；课后；练习题；复习：回顾与整理中；,让提问成为一种学习的意识！,单元主题图,单元主题图,从具体到抽象；从生活到数学；从简单到复杂；培养提问能力；重组知识结构；,根据数学信息提问。,出示3550，,电话号码升八位，可以多多少个电话号码？,提问能力的培养知道什么是好的，才有方向。,评价目标流畅性：问题数量灵活性：问题种类独创性：新颖程度,巴克（Balker）的研究,提问能力的培养知道什么是好的，才有方向。,信息来源已知的信息：来自已有情境的数学信息；改进的信息：提问者基于已有情境进行修改和改进的问题信息；拓展的信息：仅仅增加了原有情境的信息量的问题信息；附加的信息：提问者自己提供的信息；不清楚的信息：这是一类在信息来源上具有开放性的问题信息,冈沙雷斯的研究,提问能力的培养引导,引导学生提出不同种类的问题；引导语“谁还能提出更多的数学问题”引导语“谁还能从不同的角度提出问题”引导语“这个问题很有新意！都能补充信息提问了。”,提问能力的检测图,提问能力的实验数据分析,表2：提出问题“流畅性”比较分析；,从表2可以发现：实验班的提问能力相对于对照班，差异非常显著。；,提问能力的实验数据分析,表3：提出问题“灵活性”比较分析,从表3可以发现，实验班的提问能力相对于对照班，差异显著。,提问能力培养的问题,怎样培养学生合理改造信息提出问题？课后提问与课前提问有什么不同？如何建立提问能力检测的标准？提问能力与解题能力的相关研究？,20年前的一道测试题,“在一条船上，有75头牛，32只羊，请问船长几岁？”直接用75和32加减的也就是答案是107和43的所占比例会是多少呢：A20以下；B.2040C.4060，D.6080，E80以上,D.62,五点反思,关于类别的反思：无类还是有类？关于建模的反思：是无意还是有意？关于编排的反思：无序还是有序？关于情境的反思：无用还是有用？关于解题的反思：无招还是有招？,解决问题能力,常见数量关系要明确。（数学教育学报）行程问题路程=速度时间工程问题工作量=工作时间工作效率价格问题总价格=单价数量利息问题利息=本金利率利润问题利润=成本利润率折扣问题金额=价格折扣率百分数问题数量=总量百分比,应用题数量基本关系,主要包括总数与部分数之间的关系和较大数与较小数之间的关系。总数与部分数之间的关系包括：不相等的部分数与总数之间的关系（相并关系）；相等的部分数与总数之间的关系（份总关系）；较大数与较小数之间的关系包括：较大数、较小数与相差数之间的关系，（相差关系）；较大数、较小数与几倍数之间的关系，（倍数关系）；,应用题教学“四基”,应用题教材结构的构建要抓住四个“基本”：即在一步应用题中抓住基本的数量关系；在两步应用题中抓住数量关系的基本复合；在多步应用题中抓住复合关系的基本结构和基本变换；在整个分析数量关系的应用题教学过程中应贯穿着这些基本思想的培养。,应用题学习过程,一步：基本数量关系的两个认识阶段两步：数量关系的基本复合；三步：基本结构与基本变换,复合点的训练环节,成组训练：（1）跳绳的分3组，每组5人。跳绳的有多少人。（2）跳绳的有15人，拍皮球的有8人。跳绳、拍皮球的一共有多少人。两问训练：运来黄瓜3车，每车10筐，运来黄瓜多少筐？运来西红柿50筐，运来的西红柿比黄瓜多多少筐？,基本结构与基本变换,所谓基本结构：在复合应用题中，以相并关系作为主体数量关系的和的结构，以差比关系作为主体数量关系的差的结构，以每份量（份数）不变作为主体数量关系的归一结构（正比例）与以总量不变作为主体数量关系的归总结构（反比例），是数量复合关系的基本结构。,基本变换,三种基本变换：情节性变换，可逆性变换扩展性变换。,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？可能的困难：不会转化百分数与分数？不会计算？不会列方程？不会分析数量关系？还是就是不会做,从不会到会，需要什么策略,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？画线段图：画草图：,怎样让学生学会？,这桶油的20，,12千克,这桶油的1/2,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？第一次这桶油20第二次12千克两次一共这桶油1/2这桶油2012这桶油1/2,怎样让学生学会？,模板图示，学习者对应用题字面表述概括基础上形成的图式；家族图式：学习者对一类问题使用的基本公示进行概括的基础上形成的图式概念图式：学习者对应用题思维过程概括基础上形成的图式类别图式：学习者对应用题一类问题的等量关系概括基础上形成的图式,关于图示：,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？对应关系：1这桶油20第一次取出1/2两次取出？第二次取出12千克,怎样让学生学会？,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？列方程设这桶油为x千克；20x121/2x1/2x20x12,怎样让学生学会？,有一桶油，第一次取出这桶油的20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？画线段图：画草图：对应关系：方程；还有什么方法？,怎样让学生学会？,基本策略,尝试猜想；画图制表；实际操作；应用规律；等量替换从简入手；整理数据；可逆思考；用方程解；逻辑推理,理解题意做解题计划；按计划解答；回答和检验。,一般策略,特殊策略,鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？,策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量，再尝试；策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试；策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。,策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔，也可以假设一半是鸡一半是兔；策略5：方程思路：用表示鸡的只数，用表示兔的只数，根据已知条件可以发现8，2422；由此可以得到2（）222，22216，3。,策略6：面积图，利用长方形面积公式来计算组合图形的面积。,4只脚,8个头,经典案例,“昨夜外星人访问我校，留下了一个巨大的手印（图），今夜他还要来，试问：我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？,“一寸高”（ShelSilverstein1974）假如你只一寸高，你骑蠕虫上学校。蚂蚁泪滴作泳池，蛋糕渣就管你饱，至少七天饿不了。可怕猛兽是跳蚤，假如你只一寸高。假如你只一寸高，蹦蹦跳跳门下跑，购物要走一个月，抱团绒毛就睡觉。蜘蛛网上荡秋千，头戴顶针当小帽，假如你只一寸高。口香糖作冲浪板，厨房水槽乐逍遥。妈妈太高够不着，只能把她拇指抱。你在人们脚边跑，当然心惊又肉跳。搬笔要用一通宵。(此诗写了十四年因为我只一寸高)。,数学儿歌,6.模式能力,（1）建模过程；（2）模式分类；（3）模式应用。,实际情景,实际问题,数学问题（模型）,数学结果,检验数学结果,实际结果,观察、加工、整理,分析抽象，作数学化处理,求解数学问题,结合实际,（5）数学结果合乎实际,数学结果不合乎实际，修正、改进、重建数学模型。,难在：从实际问题中抽象出数学问题,欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”。,如何分类？,分类的不同维度：指向词语特征：比多指向数量关系：数量总量比率指向问题模型：abc,例如：归一模型,（1）一辆客车2小时行驶180千米，照这样计算，5小时行驶多少千米？（2）3瓶饮料27元，5瓶这样的饮料要多少元？（3）旅游纪念品厂3小时生产60个产品，照这样计算，8小时可以生产多少个产品？,（1）甲车4小时行驶600千米，乙车5小时行驶500千米，甲车每小时比乙车多行驶多少千米？（60045005）（2）玩具加工车间工作时间5小时，甲车间生产了300个玩具，乙车间生产了280个玩具，甲车间每小时比乙车间要多多少个玩具？（30052805）,两商之差的模型：,（3）有一个皮鞋店，原来计划12天生产120双皮鞋，实际10天完成，实际每天比计划多多少双？（1201012012）（4）有一个煤矿，原来计划上半年66万吨，实际每个月比计划多2.2万吨，实际多少月完成？（66x6662.2）（5）有一笔钱，可以买奶糖5千克，如果买单价贵2元的棒棒糖就要少买1千克，这笔钱有多少元？（x/51x/52）,abcdf,（1）小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？（2）老师买了10张电影票，共花了54元钱，其中有4元一张的学生票，也有6元一张的成人票，请你算一算，两种票各买了多少张？,（3