小学奥数资料：操作与策略题库学生版

8-5操作与策略教学目标1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律2. 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案3. 熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题知识点拨实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。例题精讲模块一、探索与操作【例 1】 (全国华罗庚杯少年数学邀请赛)如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？【例 2】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该面上，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次【巩固】 (2002年小学生数学报邀请赛)一个特别的计算器，只有蓝、红、黄三个键蓝键为“输入/删除”键(按它一下可输入一个数，再按它一下则将显示屏上的数删除)每按一个红键，则显示屏上的数变为原来的2倍；每按一下黄键，则显示屏上的数的末位自动消失现在先按蓝键输入21请你设计一个操作过程，要求：操作过程中只能按红键和黄键；按键次数不超过6次；最后输出的数是3【例 3】 (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，2，0，5，5，0，5继续依次操作下去问：从新数串2，0，5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？【巩固】 (武汉“明星奥数挑战赛”)将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，4218，2418，612，66，直到两数相同为止试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15这两个四位数是 与 【巩固】 (武汉“明星奥数挑战赛”)对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换如对18和42可作这样的连续变换：18，4218,2418,612,66,6直到两数相同为止问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 【例 4】 黑板上写着一个形如77777的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后再加上刚才擦掉的数字对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7【例 5】 (2008年“北京奥校杯”解题能力展示活动)将113这13个自然数分别写在13张卡片上，再将这13张卡片按一定的顺序从左至右排好然后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是2；继续将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是3如此进行下去，直到取出最后一张是13为止则13张卡片最初从左到右的顺序为 【例 6】 (2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动)在纸上写着一列自然数1，2，98，99一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面例如第一次操作后得到4，5，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，98，99，6，15这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 【巩固】 (第六届“迎春杯”决赛)在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8917，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9716；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7613，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3. 继续这样求和，这样添写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4那么这个数串的前398个数字的和是_. 【例 7】 圆周上放有枚棋子，如图所示，点的那枚棋子紧邻点的棋子小洪首先拿走点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过当将要第10次越过处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子若是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？【例 8】 (圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以13，删去乘积的末位数，将所得的数再乘以7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为21问：尤拉最初所想的是哪一个数？【巩固】 (2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号0，1，2，只有0号是黑盒，其余的都是白盒开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果号白盒中恰有个球，可将这个球取出，并给0号、1号、，号盒中各放1个如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有 个球【例 9】 一个数列有如下规则：当数是奇数时，下一个数是；当数是偶数时，下一个数是如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是，则这列数的第一个数是 【巩固】 （2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“乘3加1取个位”的方式逐位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密得到的密码是“2445”，则明码是 【例 10】 (2005年武汉“明星奥数挑战赛”)设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码当一个人选取了标号为的筹码时，另一个人必须选取标号为的最大奇因数的筹码如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩 个筹码【例 11】 (2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色(填黑或者白)【巩固】 (第四届“走美”试题)30粒珠子依8粒红色、2粒黑色、8粒红色、2粒黑色、的次序串成一圈一只蚱蜢从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑珠子上【巩固】 在黑板上写上、，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【例 12】 桌上有一堆石子共1001粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆。问：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？【巩固】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子问，能否做到：某2堆石子全部取光？3堆中的所有石子都被取走？【例 13】 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同现需弄清楚伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？【巩固】 9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?【巩固】 你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？【例 14】 有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？【例 15】 (第七届“华杯赛”决赛)对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1. 如此进行直到为1操作停止. 求经过9次操作变为1的数有多少个？模块二、制定最优的设计方案【例 16】 小明骑在牛背上赶牛过河共有甲、乙、丙、丁4头牛甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？【巩固】 (03年迎春杯试题)小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥直到4人都通过小木桥.已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟;小红单独过桥要2分钟;小蓉单独过桥要2.5分钟.那么,4个人都通过小木桥,最少要多少分钟？【例 17】 (圣彼得堡数学奥林匹克)牛奶和李子果酱被装在同样的瓶子里出售，同时商店还开展回收此类空瓶的业务每5个空瓶可以换1瓶牛奶，每10个空瓶可以换1瓶李子果酱谢辽沙从地窖里找到了60个空瓶，拿到商店去换物品他每次只换回一瓶牛奶，或一瓶李子果酱，并且等把换到的牛奶或李子果酱都吃掉后，再拿空瓶去换物品在进行了若干次交换之后，他手中只剩下了1个空瓶问：他一共进行了多少次交换？【例 18】 (2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把 根香蕉带回家？【例 19】 如右图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个公交站，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？【巩固】 老师可以把上题的条件变为:有A、B、C、D、E、F六栋楼，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？【巩固】 道路沿线有一些垃圾回收站点，现需要将每个回收站点的垃圾都运送到一个处理场(处理场也可以设在站点上)，希望所有站点到处理场的距离总和最短若有2个回收站点，请在下面线上用标出这个处理场的位置若有3个回收站点，请在下面线上用标出这个处理场的位置若有4个回收站点，请在下面线上用标出这个处理场的位置若有5个回收站点，请在下面线上用标出这个处理场的位置若有59个回收站点，请说明这个处理场应设的位置【例 20】 (奥数网习题库)右图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离(单位：千米)现在要在五村之中选一个村建立一所小学为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案.【巩固】 (04年我爱数学夏令营试题)一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班，第5号楼有5名职工在A厂上班A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？ 【巩固】 (人大附中分班考试题)在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如右图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费元，那么集中到哪个仓库运费最少？【巩固】 产地A1、A2、A3和销售地B1、B2、B3、B4都在铁路线上，位置如下图所示.已知A1、A2、A3的产量分别为5吨、3吨、2吨；B1、B2、B3、B4的销售量分别是1吨、2吨、3吨、4吨.试求出使总运输吨公里数最小的调运方案。【例 21】 某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如右图所示），问如何调运最省汽油？ 【例 22】 一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近） 【例 23】 189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸，如何剪法最省材料？【巩固】 用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？【例 24】 大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?怎么量？【例 25】 (2008年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)下图的长方形，黑色两块是边长为1与4的磁砖，其余的部分尚未铺磁砖：、铺磁砖的师傅说：“只需边长为7、8、9、10、14、15、18的正方形磁砖各一块(共七块)，就可以将整个长方形铺满”试着铺铺看，并把结果图示在下图中(请用粗线标出各块的边缘，并在中心标出其边长)模块三、染色与操作（证明）【例 26】 六年级一班全班有名同学，共分成排，每排人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座如果要让这名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？【例 27】 图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通有一个人打算从室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到室，问他的目的能否达到，为什么？【例 28】 右图是某套房子的平面图，共个房间，每相邻两房间都有门相通请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗? 【巩固】 有一次车展共个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【例 29】 如右图，在方格的格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到格中?【例 30】 右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马众所周知，马是走“日”字的请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【巩固】 一只电动老鼠从右图的点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转当这只电动老鼠又回到点时，甲说它共转了次弯，乙说它共转了次弯如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？ 模块四、染色与操作（剪拼）【例 31】 有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份应该怎样分？【例 32】 右图是由个大小相同的方格组成的图形试问能不能剪裁成个由相邻两方格组成的长方形？【巩固】 你能把下面的图形分成个大小相同的长方形吗？动手画一画【巩固】 有6张电影票(如右图) ，想撕成相连的3张，共有_种不同的撕法.【巩固】 （难度等级 ）右图是由个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成个相同的长方形？【巩固】 右面的三个图形都是从44的正方形纸片上剪去两个11的小方格后得到的. 问：能否把它们分别剪成12的七个小矩形.【例 33】 用个的长方形能不能拼成一个的正方形？请说明理由【例 34】 能否用个所示的卡片拼成一个的棋盘？【巩固】 如右图，缺两格的方格有个格，能否用个图不重复地盖住它且不留空隙? 【巩固】 用个和个能否盖住的大正方形？【例 35】 在的网格正方形(如图1)中用图2形状的图形来覆盖，要求图2的分割线落在正方形的网格线上为使所余部分不能再放下图2形状的图形，最少需用图2形状的图形 个 图1 图2【例 36】 用若干个和的小正方形能不能拼成一个的大正方形？请说明理由【巩固】 个正方形和个长方形能不能拼出的大正方形?请说明理由【例 37】 有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是现有一批现成的木箱，内空尺寸是，问：为什么不能用这些商品将木箱装满?模块三、操作问题（计算）【例 38】 对于任意一个自然数，当为奇数时，加上；当为偶数时，除以，这算一次操作现在对连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现？为什么？【巩固】 小牛对小猴说：“对一个自然数进行系列变换：当是奇数时，则加上2007；当是偶数时，则除以2现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008”小猴说：“你骗人！不可能出现2008”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？【例 39】 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、2009然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【巩固】 先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：6 2 8 1 0 1 1 2 3 则这个整数的数字之和是（ ）。【例 40】 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着然后转动圆盘，每次可以转动的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是？【例 41】 如右图所示，将顺次排成一圈如果报出一个数（在之间），那么就从数的位置顺时针走个数的位置例如，就从的位置顺时针走个数的位置到达的位置；，就从的位置顺时针走个数的位置到达的位置问：是多少时，可以走到的位置？【例 42】 有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉。如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有 个。【例 43】 对于表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表？为什么？【例 44】 在图的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的