高等代数复习提纲(下期).doc

优秀文件第五章第二种类型5.1二次类型和矩阵表示5.1.1 .二次定义、二次矩阵(对称矩阵)和矩阵表示。参考：二次矩阵表示，内积的矩阵表示，双线性函数的矩阵表示比较。5.1.2 .二阶非退化线性替代的定义；非返回线性替换后，两个新老二次矩阵的关系(推导)。5.1.3矩阵协议的定义。注：为什么引入定义？5.2 .标准造型5.2.1 .二阶标准形式的定义和存在(非唯一)与对称矩阵签订了对角矩阵的契约。5.2.2 .分布方法二次型是标准型，合同转换方法对称矩阵是对角阵。5.3 .唯一性5.3.1。二次标准形式。5.3.2真实二次标准形式，惯性定理展示了真实二次标准形式的存在唯一性、真实二次正惯性指数、负惯性指数和符号差的定义。实际的二次标准形式的一些应用程序(这个问题的答案是书上有哪些练习题？)。5.3.3复合对称矩阵和实际对称矩阵分别是哪种最简单的对角阵列协议？5.4正定二次型5.4.1实际二次和实际对称矩阵的分类：正定，正semidefinite，负定，负定，不确定。5.4.2正定矩阵的几个等价条件：(1)正定矩阵的定义；(2)单位矩阵的合同；(3)所有顺序主节点均大于0。(4)所有特征值大于0。正定矩阵的几个必要条件：(1)| A | 0；(2)所有对角线的元素都大于0。(3)所有主节点均大于0。注：这些等价，必要条件的推导。利用实际对称矩阵正交类似对角阵的结果，还确定了实际对称矩阵的正性质。5.4.3 .列举了正semidefinite矩阵的等价条件和先决条件。第六章线性空间6.1 .集合映射单快照、全快照、双快照定义和证明；可逆映射和等效条件的定义(即双重)。6.2线性空间的定义和简单性质线性空间的定义：非空集、加法和乘法运算(闭)、八个运算规则。6.3维、基本和坐标6.3.1维度、基准和座标的定义(给定空间的维度、基准和给定方向的座标)。6.3.2 .一些公共空间的基本和维数，例如，的完全对称(不对称/上三角形)矩阵形成的线性空间，L(V)等。6.4基本变换和坐标变换不同基准面之间的转换矩阵，向量与其他基准面下的座标之间的关系(导出)。注： (1)必须与线性变换的矩阵、矢量线性变换的图像坐标相关联。(2) P271练习2。6.5 .线性子空间6.5.1。线性子空间的定义和确定(如何确定？)。6.5.2 .建立子空间的定义、维度和基准(如何进行)？)。6.5.3。整理展开条件。与第九章的扩展正交基础进行了比较。书中哪些定理的证明和练习问题的证明使用了扩展基础定理？6.6 .子空间的交集和6.6.1。相交空间、和空间的定义，以及这两个子空间元素的性质。6.6.2 .需要两个相交空间、和空间来生成子空间。6.6.3维公式(将证明)及其应用。6.7子空间的直线和6.7.1。子空间直线和的定义(为什么要引入？)。6.7.2 .两个子空间的和是直线和逻辑的判别条件(列出四个，知道哪些经常使用)。6.7.3。怎么证明？6.7.4。多个子空间是直线和逻辑的标准(将列举3个并证明)。6.7.5。剩馀子空间的定义和组织。(其馀部分空间是唯一的吗？与正交补片相比)6.8线性空间的同构是线性空间同构的定义，使用此定义证明两个线性空间的同构，构成v和之间同构的映射，并表明两个线性空间同构的等价条件具有相同的维数.第七章线性变换7.1 .线性变换的定义列出并证明了线性变换的定义(背诵)，几种线性变换的简单性质。7.2线性转换运算线性变换的加、减、乘、逆、平方的定义和运算法则；线性变换的多项式。注：与矩阵的相应运算进行比较。7.3线性变换的矩阵7.3.1。随机n个向量唯一确定一个线性变换(如何确定？请参阅P283清理1)。7.3.2 .线性变换和矩阵(线性变换的总和、差、乘、乘、逆矩阵的总和、差、乘、乘、逆、单位变换、零变换分别对应于单位矩阵和0矩阵(通过数学公式表示和派生)的矩阵集下的矩阵定义。7.3.3 .向量的座标和a的座标之间的关系，相同的线性转换在不同基准面下的矩阵之间的关系(将推导出来)。7.3.4。两个矩阵相似的定义(为什么引入？)，你怎么知道两个矩阵相似？7.4特征值和特征向量7.4.1。线性变换和矩阵的特征值和特征向量的定义(为什么要引入？)。如何求线性变换和矩阵的特征值和特征向量？线性变换和矩阵的特征值与特征向量的关系是什么？(寻找唯一值和唯一向量的步骤)7.4.2 .线性变换和矩阵的特征多项式的定义。相似矩阵的相似不变性是决定因素、特性多项式、特征值、最小多项式、不变性系数、决定因素、基本系数等。7.4.3 .汉密尔顿-凯雷定理及其应用(例如，P309定理12，P326练习3)，矩阵跟踪的定义，列出一些矩阵跟踪的特性(例如。追踪是所有特征值的总和；tr(ab)=tr(ba)；)。7.5 .对角矩阵7.5.1矩阵特征值特征向量的一些性质(特征值不同的特征向量线性独立；属于实对称矩阵特征值的特征向量正交；属于其他特征值的特征向量之和不是特征向量)7.5.2 .列出矩阵对角化的几个充要条件和几个充要条件。先决条件：(1)有n个线性独立特征向量。(2)所有特征值的重数等于相应的几何重数(特征值的几何重数基本解系统中包含的解向量的数量)；(3)最小多项式没有重根。(4)基本元素是主要元素。如果能使7.5.3矩阵对角化，如何使它对角化？7.6线性变换的范围和核7.6.1。线性变换的范围和核的定义。范围和原子核是子空间，其要素的特征是什么？7.6.2 .范围如何表示为生成的子空间？值的维数(线性变换的秩)和线性变换的矩阵秩之间的关系是什么？范围的维数和核的维数(线性变换的0度)之和是多少？会证明这两种关系。7.7 .不变子空间7.7.1 .不变子空间的定义。线性变换的限制成为该子空间的线性变换，此限制与原始变换有何区别？引用几个特殊的不变部分空间。7.7.2 .定义证明了子空间是线性变换的不变子空间。7.7.3 .矩阵a类似于对角矩阵的应用。7.8 .乔尔是标准格式介绍如果是约尔当块，约尔当矩阵的定义，那么任何旁氏都是约尔当标准型的话，就像一个约尔当矩阵。7.9 .最小多项式最小多项式的定义、特性、方法、与不变因素的关系、应用。第8章-矩阵8.1 .矩阵a的特性矩阵及其基本变换，数值矩阵相似条件，a的不变性系数，决定因素，基本系数，最小多项式方法及其关系，以及约尔为标准型的方法。8.2.A的合理标准方法。8.3 .jordong块，jordong矩阵的性质和a使用jordong矩阵证明特定命题。第九章欧几里得空间9.1 .定义和基本特性9.1.1内积的定义和简单的特性、欧式空间的定义、矢量的正交定义求出矢量的内积、长度和角度。9.1.2 .柯西-布涅科夫斯基不等式、三角不等式、毕达哥拉斯定理(将推导)。9.1.3 .内部产品的矩阵表示(推导)9.1.4。内部产品下基准测量矩阵的定义和特性(正定)，同一内部产品下其他基准测量矩阵之间的关系(契约) (推导)。9.2标准正交基础9.2.1 .标准正交基础的定义如何确定基准集是否是标准正交基础？基于标准正交的测量矩阵，表示基于标准正交的下的内部乘积。9.2.2 .将正交向量组扩展为基于正交(或将单位正交向量组扩展为基于标准正交)的应用程序(使用该特性的哪些结论的证明和练习问题的证明)？)，以获取详细信息9.2.3 .了解施密特正交化过程及其矢量表示。也就是说：其中是任意一组基，是施密特正交化得到的标准正交基，矩阵t是对角上的元素大于0的上三角矩阵。正交矩阵的分解(请参阅P394练习14)。9.2.4 .两组标准正投影基准之间的转换矩阵性质(即AA=E)(导出)。9.2.5。正交矩阵的定义、正交矩阵的特性(例如，两个正交矩阵的乘积或正交阵列、正交矩阵的逆、旋转和伴随矩阵或正交矩阵；正交矩阵的决定因素为正和负1；正交矩阵的特征值为正和负1)。9.3 .同构欧式空间同构的定义和等价条件(与线性空间同构相比)。9.4 .正交变换9.4.1。正交变换的定义，正交变换的确定条件，正交变换和正交矩阵之间的对应关系。9.4.2。正交变换的分类，两类正交变换的性质，例如奇数维欧氏空间第一类正交变换，特征值，偶数维欧氏空间第二类正交变换，特征值？镜子反射的定义。9.5 .子空间9.5.1。向量和子空间的正交，子空间的正交。9.5.2 .正交补充的定义、表达(正交补充中元素的特性)和特性。9.6实际对称矩阵的标准形式9.6.1。实际(逆)对称矩阵的性质(例如，实际对称矩阵的特征值为实数；对应于实际对称矩阵其他特征值的特征向量必须是直角。实际对称矩阵可以对角化为正交对角。实际不对称矩阵的特征值为0或纯虚数。）9.6.2 .(相反)对称变换的定义，(相反)对称变换和(相反)对称矩阵之间的对应关系。对称变换的特性。9.6.3实对称矩阵的正交相似对角矩阵的解法及应用几个问题证明了。其中，t是正交矩阵，是对角线矩阵，对角线上的元素是a的特征值。9.6.4。实际二次类型通过正交线性替换切换到标准类型。9.7 .向量到子空间的距离，最小平方9.7.1。向量到子空间中每个向量的距离是垂直线最短的。9.7.2。最小二乘解。9.8 .单一空间简介UNISPACE的相关概