高一数学 映射人教版知识精讲

高一数学高一数学 映射映射人教版人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 映射 二. 学习目标： 1. 了解映射的概念，了解象、原象的概念。 2. 了解一一映射的概念。 三. 知识讲解： 1. 映射的概念： 设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应的法则，对于集合 A 中的任何一个元素， 在集合 B 中都有惟一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的映射， 记作：BAf：。 映射是由集合 A、B 及从 A 到 B 的对应法则 f 确定的，取元的任意性和成象的惟 一性刻划了映射的本质属性，即集合 A 中的任一元素在集合 B 中都有惟一的象。 2. 一一映射： 设 A、B 是两个集合，BAf：是集合 A 到 B 的映射，如果在这个映射下，对于 集合 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象，而且 B 中每一个元素都有原象，那 么这个映射BAf：叫做从 A 到 B 上的一一映射。 一一映射是一种特殊的映射，它要求对 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象； 并且集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 【典型例题】 例 1 已知BAf：是集合 A 到集合 B 的一个映射，Bb，则以下列命题的个 数是（ ）。 （1）存在Aa，Bc，且cb ，使得baf)(，且Caf)(； （2）存在Aa，使Baf)(； （3）有且仅有Aa，使baf)(； （4）至少有一个Aa，使baf)(。 A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 解：依据映射的定义逐个进行判断，（1）不符合映射概念中象的惟一性； （2）不符合映射概念中取元的任意性，即 A 中的任何一个元素在 B 中都有象； （3）映射的概念中允许 B 中元素没有原象或 B 中一个元素同时有多个原象，故 （3）也是假命题，（4）B 中元素可以在 A 中无原象，故（4）也是假命题，因此 本题给出的四个命题都是假命题，应选 D。 例 2 已知集合 A 到集体1, 2 1 , 0, 1B的映射 1 1 2 x xf：，那么集合 A 中的 元素最多是几个，并求出此时的集合 A。 解：由于集合 A 中元素在 f 作用下的象集是 B 的子集，故只要求出 B 中的元素 所有可能的原象，并把所有这些原象的集合作为 A。 由于0 1 1 2 x ，故 0 在 A 中无原象。 当1 1 1 2 x 时，0x； 当 2 1 1 1 2 x 时，3x或3x； 当1 1 1 2 x 时，2x或2x。 所以 A 中元素最多只能是 5 个，即3,2, 0,2, 3A。 例 3 设, 3, 2| ),( * NyZxyxxyxA，2, 1, 0B， yxyxf),( ：是 A 到 B 的对应关系，试判断这种对应关系是否从 A 到 B 的映射？ 解：由Zx，且2|x，则1x或 0 或 1，又由 * Ny，且3 yx，则 )1, 1 (),2, 0(),1, 0(),3, 1(),2, 1(),1, 1(A，由yxyxf),( ：知，A 中的每个元素中的两个元素之和都在集合 B 中，根据映射定义可知，对 A 中任一元 素，在 f 作用下，都对应 B 中惟一元素，因此 f 是从 A 到 B 的映射。 例 4 设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集,),(Ryxyx，映射BAf：把 集合 A 中的元素（x，y）映射成集合 B 中的元素),(yxyx，求在 f 作用下，象 （2，1）的原象。 解：此题为 2000 年高考试题天津卷第一题，主要考查映射的概念。 由 1 2 yx yx 解得 2 1 2 3 y x 故原象为) 2 1 , 2 3 (。 例 5 设82xxA，f 是从集合 A 到集合 A 的映射，在 f 作用下，A 的任 何一个元素和它的象在数轴上对应的点关于实数 3 对应的点对称，求映射 BAf：。 解：设 x 为 A 中任意元素，)(xf为 x 的象。 由已知 x 与)(xf关于 3 对应的点对称，则有3 2 )( xfx ，xxf 6)( 所以从 B 到 A 的映射xyxf6：。 【模拟试题】 1. 设集合 A 和 B 都是自然数集 N，映射BAf：把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素n n 2，则在映射 f 下，象 20 的原象是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5 2. 已知映射BAf：，其中集合4, 3 , 2, 1, 1, 2, 3A，集合 B 中的元素 都是 A 中的元素在映射 f 下的象，且对任意的Aa，在 B 中和它对应的元素是| a ， 则集合 B 中元素的个数是（ ） A. 4B. 5C. 6D. 7 3. 已知集合,| ),(RyxyxBA，BAf