哥尼斯堡七桥问题体现的拓扑思想

哥尼斯堡七桥问题体现的拓扑思想 摘要：七桥问题是1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交哥尼斯堡的七座桥论文时提出的，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新进程。由哥尼斯堡七桥问题出发，分析其蕴含的思想、方法，并引出其中的拓扑思想。关键词： 七桥问题； 拓扑； 思想； 拓扑学（英语：topology），几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴.拓扑学起源于哥尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。它所研究的是几何形体在连续形变，精确地说，双方一一而且双方连续的变换（称为同胚）之下保持不变的性质。理解得广泛些，拓扑学是研究数学中连续性现象的学科。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了，那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。一、哥尼斯堡七桥问题简介 哥尼斯堡七桥问题是欧拉用抽象的方法探究并解决实际问题的一个典型实例，对开创图论与拓扑学的研究具有重大意义.18世纪的哥尼斯堡是德国的一个美丽的城市，布勒尔河穿城而过，它有两个支流，在哥尼斯堡城中心汇成大河，河中心有一个小岛，河上有七座桥，如图(1)岛上有一座古老的大学，还有哲学家康德的墓地及塑像.当地的居民，特别是大学生们常常到七桥附近散步，渐渐地大家热衷于一个问题:一个人是否能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发点？很多人做过尝试，但都未能实现，这便产生了数学史上著名的“七桥问题”，1735年，一群大学生写信将这个难题交给了著名的数学家欧拉二、问题的解决 欧拉解决这个问题的第一步是把它尽量简化。他发现，对于这个问题，岛的大小、陆地的面积、桥的长短与宽窄等都不影响答案。因此，他用点表示岛与陆地，用线表示桥。把“七桥图”简化为一个几何图形如图（2）。这样，原题就转化为一个几何问题：能否从图（2），A、B、C、D四点中的某一点出发，只通过每条路线一次，而把所有的7条路都走完？或者说，能否从图（2），A、B、C、D四点中的某一点开始，不重复地一笔画出这个图？弧连接的顶点叫奇顶点。如果一个网络图只有偶顶点，那么它一定可以一笔画，并回到起点；如果一个网络图只有两个奇顶点，那么它可以从一个奇顶点出发，到另一个奇顶点结束，一笔画完；如果一个网络图只有一个奇顶点或者多于2个奇顶点，那么它一定不能一笔画。最后，欧拉把上述结论用于图2，由于它的顶点都是奇顶点，所欲它一定不能一笔画。也就是说，“七桥问题”的答案是否定的。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。一笔画的特征： 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。 其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。) “七桥问题”的解决方案均是采用某种捆扎的概念（开集）使点集中的点与点之间发生关系。“七桥问题”的解决归结为在七桥问题的图模型中寻找遍历每一条边恰好一次而回到原地的途径。欧拉解决这个问题开创了图论典型的思维方式和论证方式，反思欧拉解决“七桥问题”的思路有助于把握图论的本原思想，接受图论的思维方式和解题技巧。三、体现的拓扑思想 欧拉为什么能抽象出图模型并据此解决七桥问题呢？是他利用特征抽象分析法与拓扑思考方式来考虑问题的结果。所谓特征抽象分析法就是把研究对象的本质特征抽取出来舍弃非本质特征的分析法。为了解决七桥问题，首先要给出问题的正确表征，尽量把问题简化，使得容易抓住问题的要点，对于七桥问题，陆地和岛的大小，桥的曲直长短是无关紧要的，只要关心点与点之间是否有线相连，故可用图来表征七桥问题的情景和结构。所谓拓扑思考方式就是只考虑图形中顶点和边线的个数而不考虑其大小和形状的思考方式。为了解决七桥问题，将图中顶点和边线的关联情况（顶点的度数）作为切入点，寻找有解的必要条件。在寻找有解必要条件的过程中，这种不考虑所画图的大小和形状，仅考虑图中顶点和边线个数的思考方式正是拓扑学的思考方式。特征抽象分析和拓扑思考方式是把实际问题变成一个图论问题研究额关键。如：树是图论中的专有名词，它的原型就是窗外有枝有叶的绿色树木，用特征抽象分析法定义树，所谓树就是无圈的连通图。其中度数为1的顶点称为叶，每个连通片皆为树的图成为林。对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，想要研究其存在的规律，这需要人们对现实问题进行深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。 欧拉解决这一问题所用的思维方法，就是抽象方法，即从感性认识上升到理性抽象，再由理性抽象升华为理性认识，这也是人们认识事物常用的一种抽象思维方式。“七桥问题”有力的说明，数学抽象讲实际问题中许多无关紧要的东西（如桥的大小、形状之类）舍去，而紧紧抓住其中带有本质特征的东西，从而构造出一些在逻辑上无矛盾的“纯粹”的数学关系。 在我们熟悉的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形，如果两者能够完全重合，那么这两个图形就叫做全等图形。可是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或形状都可以发生变化，即拓扑学中没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。欧拉在解决“七桥问题”时，画的图形仅考虑点和线的个数，不去考虑它的大小、形状。这些就是拓扑学思考问题的出发点。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全不一样的。直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这就是拓扑性质，在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，要想用一两句话讲清楚拓扑学的对象，看来不是一件容易的事，不如让我们来看看哪一类问题有“拓扑”性质，运用了拓扑思想。拓扑学不像数论、代数学、几何学和分析学，它们的对象比较具体、比较清楚，而拓扑学的问题则较为深刻、较为抽象。不过，自古以来，许多数学问题和物理学问题都涉及到拓扑，它也不是从天上掉下来的。 参考文献1 王树禾.从哥尼斯堡七桥问题谈起M.长沙：湖南教育出版社，1998.2 姜伯驹.一笔画和邮递路线问题M.北京：中国青年出版