4.1.1圆的标准方程2

4.1.1圆的标准方程（1）,通过上一章的学习，我们知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，那么圆也可以用方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？,初中圆是怎样定义的？,阅读教材118页并回答下面问题：,（1）在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？,（2）如果已知圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r，我们如何写出圆的方程？,由定义求：圆心是A(a,b)，半径是r的圆的方程.,r,设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心A的距离等于r，所以圆A就是集合P=M|MA|=r由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：,把上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2,圆的定义：,平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就是半径。,解：,若点M在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程，反之，若点M的坐标满足方程，这就说明点M与圆心A的距离为r，即M在圆心为A的圆上.方程就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.,特点:1.是关于x、y的二元二次方程;,3.确定圆的方程必须具备三个独立条件,4.若圆心在坐标原点，则圆方程为,x2+y2=r2,2.明确给出了圆心坐标和半径.,即a、b、r.,例1.写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,3).,解：,(1)由已知得圆的方程为：,(2)由已知得半径：,即,故所求圆的方程为：,例2.已知两点P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程，试判断点M(6,9)、N(3，3)、Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？,解：,由题意得圆心:,即,半径:,故所求圆的方程为：,M在圆上，N在圆外，Q在圆内.,结论:,1.点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2有三种关系：,一般地，,练习：已知一个圆的直径端点是M(x1,y1)、N(x2,y2)，证明：圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)=0,证明：,设P(x,y)是圆上任意一点，,则由M,N是直径的端点知,.,P,即,即为所求圆的方程.,例3.ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程.,解：,设所求圆的方程为：,则由A(5,1)，B(7,3)，C(2,8)都在圆上得，,解得,故ABC的外接圆的方程是：,D,例3.ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程.,解2：,AB边中点：,AB边斜率：,AB边中垂线方程：,即,同样可求得AC边中垂线方程：,解方程组,得,圆心:,半径:,故ABC的外接圆的方程是：,D,变式.ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,3)，C(2,8)，求它的内切圆的方程.,E,法二：三角形的内切圆圆心到三边距离相等，设圆心（a,b),又距离相等建立方程组，求出圆心坐标，算出半径.,法一：三角形的内切圆圆心是三条边角平方线交点，写出两条角平分线方程，联立求解得到内心坐标，算出半径，得到圆的标准方程.,例4.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)