初等数学研经典习题.doc

2012年10月8日星期一，第七周一、倒数方程例题1. 解方程：解：原方程属于奇次倒数方程，可以分解为显然有一根，为求出其它根，要解方程 因，以除的两端，整理得令，则，代入，得解之，得，再据此求：由， 得；由，得；所以，原方程有5个根：.例题2解方程： 。解：显然，.因此可在方程两端同除以，得令，则，故有由，得；由， 得.所以，原方程的根为.二、含有参数的方程例题3在复数集内解方程：，其中a，b为参数，a，bR。解：原方程即(1) 当时，方程可化为 这是如果a=0，则为矛盾方程；如果，可将去分母得 ，将代入，分母不为零，是原方程的根。(2)当即时，将方程变形为 如果；则a和b之中有且只有一个为0，不妨设b=0，方程变形为 方程无解。如果，则a，b均不为0，将方程去分母，得即此时的分母不为0，所以是原方程的解。因此，当时，原方程有两解：；当时，原方程无解；当且时，原方程有四解：，；当且时，原方程无解。例题 4解关于x的方程： 解 ： x应满足. 将两端平方，得即 由可知，即 .将方程的两端平方，整理得.由可知，因而，所以 .由，三式可知 解不等式组，得参数a的取值范围是.经检验得知原方程的解是三、二元一次不定方程例题 5求方程的正整数解.解 用y表示系数较小的x，得 以为x，y是整数，所以也是整数.令，即.用u表示系数绝对值较小的y，得 .以为y，u是整数，所以也是整数.令，即，.再令，t是整数，于是得.代入，得，代入，得.将y值代入，得所以原方程的通解是 为了求正整数解，还必须解不等式组： 得 所以.代入通解得所求的正整数解是 和 2012年10月10日 星期三 例题 1设，证明：方法 一、 方法 二、 方法三、 显然存在非零解 行列式 即例题2 已知 ,求证证明：方法一、因为所以 令原式可化为 方法二、设显然A点在单位圆上，下面求过点A的切线，切线斜率为所以切线方程 为即：显然点B在切线和单位圆上，即A,B重合所以，例题3 解方程：解：记，原方程变形为：所以，即，或例题4 解方程：解： 将原方程变形为 令，则方程可化为所以， 或即 或 由于，带入上式，得原方程的解 ，例题5解方程： .解：原方程即分别解得原方程的解：例题6解方程：解： 方程两边同时除以（暂时设），得 .即 由 由 解题过程中，在方程到这一步可能失根，为此，须将的解带入原方程检验，显然不适合（如果适合，则须补回此失根）。因此原方程的解是2012年10月12日，星期五例题1、解方程：解：原方程即即 因为 ，所以要是方程成立，必须所以，所以，因为，所以因此，原方程的解为 例题2、解方程：解：例题3、解方程: 解：因为 +得，所以，经验算知，是元方程的跟.例题4、解方程组： 解：将方程做因式分解的；、联立得 (1)的解集等于方程组（2）和（3）的解集的并集： 解（2）得解（3）得因此原方程组的解有四个：例题5、解方程组： 解：本题显然是对称方程组。令代入，得 +，得解得，代入得这样原方程组归结为：由此原方程的解为。例题6、解方程组： 解：该方程组为对称方程组，+，得 -得，于是原方程组化为 将方程，搭配的到下列四个方程组： 显然它们都是易解的二元二次方程组，分别解之，原方程组共有9组解：例题7、解方程组：解：原方程组可以变形为： ，相乘得： 将两边开平方得： 将，分别代入得：将，分别代入得：因此，原方程组的解是（4，3，2）和（-4，-3，-2）例题8、解方程组： 解：方程两边同时乘以，得 将代入得，所以，原方程组的解集等于以下两个方程组的并集： 和 即 和 因此原方程组的解集是例题9、解方程组： 解：利用降次公式，即 将代入化简得， 、解得， 经检验，以上两组解都是原方程组的解。例题10、解方程组： 解：+得 因为 将两式代入，整理得， 再将代入得.所以原方程组的解是2012年10月15日星期一例题1、解不等式：解：记原不等式可化为：所以：即例题2、解不等式：解：记，所以原不等式可化为：所以：记，易证u在R上单调递减。又： 所以，所以，所以，例题3、已知，不等式的解集为（0，2）求a的值。解：，所以1、若则原不等式的解集为，舍去。2、，由于不等式的解集为（0，2）由得即，所以一元多次、分式不等式例题4、解不等式：解：原不等式变形为：-将零点在数轴上标出-3-13所以原不等式的解集为例题5、解不等式解：原不等式中为既约二次因式，必须为正，弃去，奇次重因式改为一次单因式，偶次重因式弃去，则原不等式可化为所以原不等式的解集为：例题6、解不等式：解：定义域为。因式分解得即，所以，原不等式的解为2012年10月17日星期三不等式的证明例题1、已知证明：因为 所以即 由、知是方程的两根因为所以 解得例题2、已知，求证：证明：（分析法）因为所以即 例题3、已知.证明：所以所以即例题4、证明：证明：当时，原不等式等价于因为即成立当时 原不等式等价于 因为所以 即原不等式得证例题5、已知求证：证明：1、记由因为即即2012年10月19日星期五不等式的证明例题1、试确定x的范围，使不等式恒成立。解：如图可知x的范围是例题2、n为正整数，试证明证明：记因为所以所以因为A0所以例题3、已知且证明证明：原不等式可化为：即令则上式可表示为点及点到原点的斜率，因为nm所以即例题4、若，且不等式恒成立，求实数x的取值范围。解：原不等式可化为令因为要使只需所以2012年10月22日星期一例题1、设A、B是椭圆上任意不同的两点，A、B的中垂线与x交于P（x0，0），求证：证明：设为椭圆上任意一点 记设则所以在上不单调 令即所以例题2、已知，求证：证明：原不等式等价于例题3、a、b均为正数，求证：不等式成立的充要条件是,有证明：，有令，则2012年10月24日星期三例题1、设为正实数，求的最小值.解：设解得则原式可化为所以的最小值为当且仅当且时成立。例题2、为正数，求证证明：记 假设即则所以假设不成立，即例题3、设为正实数，且求的值。解：原方程组可化为：AC120BO所以2012年10月26日星期五排列组合例题1、六人，平均分成3组，每组两人，有多少种分法？解：例题2、用0到9这10个数字能作成多少个没有重复数字的四位偶数？解：1、个位为0：2、个位不为0：即，共有个没有重复数字的偶数例题3、求方程的所有解。解：原方程可看成关于x的一元二次方程所以将代入原方程解得所以原方程的解为2012年11月7日星期三例题1、在三角形中，在的外侧分别以为边作正、，连结交与，求证.ABCEDFBCEDF证明：H证法一：构造全等三角形过E作边AB的垂线，交AB于H， 即ABCEDFMN证法二、在AB、AC上分别取中点M、N并连结EM、MN、ND。如右图则有及所以所以ADEM为平行四边形所以F平分DE，即例题2、在三角形中，垂心到顶点的距离，是外心到对边的距离的2倍。已知H是三角形ABC的垂心，O是外心。ABCHODNM求证：在三角形ABH中，分别取BA、BH中点M、N，则有2012年11月9日星期五例题1、O是三角形ABC内一点，且.求解：如图分别取中点，连结 +得所以例题2、梅涅劳斯定理：设分别是的边边上的点（即三点中或一点或三点在变得延长线上）则三点共线的充要条件是证明：先证必要性即证:若三点共线则、作的延长线至D点，使得连接得 所以再证充分性：即证、若则三点共线延长AB至则三点共线，有必要性有所以由合比性质得 即所以与重合，即三点共线例题3、已知正中，,连结相交于点，连结，求解：以，设所以 所以所以即例题4、已知数列为其前n项和，并且，p为常数且，求证数列为等差数列。证明： 所