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,函数的极值,单调性与导数有何关系?,设函数y=f(x)在某个区间内可导，,如果f(x)0，则f(x)为增函数；,如果f(x)0，则f(x)为减函数；,如果f(x)=0，则f(x)为常数函数；,B,复习:,函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?,观察图像：,一、函数的极值定义,一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值-不一定最大或最小）,使函数取得极值的点x0称为极值点,观察与思考：极值与导数有何关系？,在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。,f(x)0,二、判断函数极值的方法,x2,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。可导函数必有极值；函数在极值点必有定义；函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,例1求函数的极值。,解：定义域为R，y=x2-4,由y=0可得x=-2或x=2,当x变化时，y,y的变化情况如下表：,因此，当x=-2时，y极大值=28/3,当x=2时，y极小值=4/3,看图象,求可导函数f(x)极值的步骤：,(2)求导数f(x)；,(3)求方程f(x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f(x)在方程根左右的符号如果左正右负（+-），那么f(x)在这个根处取得极大值；,如果左负右正（-+），那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1)确定函数的定义域；,例2求函数y=(x2-1)3+1的极值。,解：定义域为R，y=6x(x2-1)2。,由y=0可得x1=-1,x2=0，x3=1,当x变化时，y,y的变化情况如下表：,因此，当x=0时，y极小值=0,点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。,例3已知函数f(x)=x3
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