二重积分在极坐标下的计算法及应用

.,1,内容回顾,1、直角坐标系下二重积分的计算转化成二次积分,1,选择积分次序的原则：,(1)积分容易；,(2)尽量少分块或不分块.,划线定限,.,2,但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分,内容回顾,次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序，,则需交换积分次序.,交换积分次序的一般步骤：,.,3,第三节极坐标系下二重积分的计算法,回顾极坐标的相关知识,1、直角坐标与极坐标的关系：,.,4,2、常见曲线的极坐标方程：,1、圆,2、圆,3、圆,.,5,2、常见曲线的极坐标方程：,5、阿基米德螺线,6、双纽线,4、心形线,.,6,所以面积元素为,在极坐标系下,可用同心圆r=常数,及射线=常数来划分区域D.,则小区域的面积为,一、极坐标系下二重积分的表示,.,7,（极点在区域D的外部）,则,二、极坐标系下二重积分的计算公式,（1）区域D特征如图,.,8,（极点在区域D的边界）,二、极坐标系下二重积分的计算公式,（2）区域D特征如图,则,.,9,（极点在区域D的内部）,二、极坐标系下二重积分的计算公式,（3）区域D特征如图,则,.,10,在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：,1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界,2)被积函数具有等形式时,用极坐标积分,用极坐标表示较为简单；,较为容易.,.,11,解,例1,用极坐标计算,.,12,利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有,用的广义积分Possion积分.,本题若选用直角坐标系,则,（无法计算）,.,13,解,.,14,作如下三个平面区域,显然有,从而,由例1结果,得,.,15,又,由夹逼准则,即,从而,.,16,解,计算二重积分,例2,区域D为环域,用极坐标计算,.,17,解,R,用极坐标计算,例3,.,18,解,R,用极坐标计算,例3,常见错误：,.,19,例4,解,直接做麻烦,化为极坐标,.,20,作业：,.,21,内容回顾,极坐标系下二重积分的计算,21,选用极坐标计算的二重积分的特点：,(1)积分区域D是圆域或环域等；,(2)被积函数具有形式,.,22,例5,解,.,第四节二重积分的几何应用,一、求平面图形的面积,例1,求由曲线和直线及x轴所,围成的平面图形的面积.,解,(用直角坐标),.,24,二、求曲顶柱体的体积,例2,解,(用极坐标),.,25,例2,解,平面投影区域为,所求立体体积为,.,26,26,利用对称性简化二重积分的计算,设积分区域D关于y轴对称，,(1)若f(x,y)关于x是奇函数，则有,(2)若f(x,y)关于x是偶函数，,则有,其中是D的右半区域.,.,27,27,设积分区域D关于x轴对称，,(1)若f(x,y)关于y是奇函数，则有,(2)若f(x,y)关于y是偶函数，,则有,其中是D的上半区域.,注意：,利用对称性简化二重积分的计算,不仅要考虑区域的对称性,还要考虑函数的奇偶性.,.,28,28,例3设有平面区域,解,.,29,29,解,选(A).,.,3