考研数学历年真题1998-2007年数学二

- 1 - 2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：一、选择题：110 小题，每小题 4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项 前的字母填在题后的括号内. （1）当0 x 时，与x等价的无穷小量是 （A）1 e x （B） 1 ln 1 x x （C）11x（D）1 cosx （2）函数在, 上的第一类间断点是x （A）0（B）1（C） 2 （D） 2 （3） 如图， 连续函数( )yf x在区间 3, 2 , 2,3上的图形分别是直径为 1 的上、 下半圆周， 在区间 2,0 , 0,2 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 0 ( )( )d x F xf tt，则下列结论正确的是：（） （A） 3 (3)( 2) 4 FF (B) 5 (3)(2) 4 FF （C）（）（2 4 3 3FF（D）（）（2 4 5 3FF （4）设函数( )f x在0 x 处连续，下列命题错误的是 （A）若 0 ( ) lim x f x x 存在，则(0)0f（B）若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则(0)0f. （C）若 0 ( ) lim x f x x 存在，则(0)0 f （D）若 0 ( )() lim x f xfx x 存在，则(0)0 f . （5）曲线 1 ln 1 exy x 渐近线的条数为 （A）0.（B）1.（C）2.（D）3. （6）设函数( )f x在(0,)上具有二阶导数，且( )0fx，令( ) n uf n）（, 2 , 1n，则下列结论正确的是： (A)若 12 uu，则 n u必收敛.(B)若 12 uu，则 n u必发散 (C) 若 12 uu，则 n u必收敛.(D)若 12 uu，则 n u必发散. - 2 - （7）二元函数( , )f x y在点0,0处可微的一个充分条件是 （A） ( , )0,0 lim( , )(0,0)0 x y f x yf . （B） 00 ( ,0)(0,0)(0, )(0,0) lim0,lim0 xy f xffyf xy 且. （C） 22( , )0,0 ( , )(0,0) lim0 x y f x yf xy . （D） 00 lim( ,0)(0,0)0,lim(0, )(0,0)0 xxyy xy fxffyf 且. （8）设函数( , )f x y连续，则二次积分 1 sin 2 d( , )d x xf x yy 等于 （A） 1 0arcsin d( , )d y yf x yx （B） 1 0arcsin d( , )d y yf x yx （C） 1arcsin 0 2 d( , )d y yf x yx （D） 1arcsin 0 2 d( , )d y yf x yx （9）设向量组 123 , 线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 122331 , (B) 122331 , (C) 122331 2,2,2 .(D) 122331 2,2,2 . （10）设矩阵 211100 121 ,010 112000 AB ，则A与B (A) 合同且相似（B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似.(D) 既不合同也不相似 二、填空题二、填空题：1116 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. （11） 3 0 arctansin lim x xx x _. （12）曲线 2 coscos 1 sin xtt yt 上对应于 4 t 的点处的法线斜率为_. （13）设函数 1 23 y x ，则 ( )(0)n y_. （14） 二阶常系数非齐次微分方程 2 432e x yyy的通解为y _. （15） 设( , )f u v是二元可微函数，, y x zf x y ，则 zz xy xy _. - 3 - （16）设矩阵 0100 0010 0001 0000 A ，则 3 A的秩为. 三、解答题：三、解答题：1724 小题，共小题，共 86 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分 10 分)设( )f x是区间0, 4 上单调、可导的函数，且满足 ( ) 1 00 cossin ( )dd sincos f xx tt ftttt tt ，其 中 1 f 是f的反函数，求( )f x. （18）（本题满分 11 分） 设D是位于曲线 2 (1,0) x a yxaax 下方，x轴上方的无界区域. （）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积( )V a； （）当a为何值时，( )V a最小？并求此最小值. （19）（本题满分 10 分）求微分方程 2 ()y xyy满足初始条件(1)(1)1y y 的特解. （20）（本题满分 11 分）已知函数( )f u具有二阶导数，且(0)1 f ，函数( )yy x由方程 1 e1 y yx 所确定， 设lnsinzfyx，求 2 00 2 dd , dd xx zz xx . - 4 - （21）(本题满分 11 分)设函数( ), ( )f x g x在, a b上连续，在( , )a b内具有二阶导数且存在相等的最大值， ( )( ),( )( )f ag af bg b，证明：存在( , )a b，使得( )( )fg. （22）(本题满分 11 分) 设二元函数 2 22 ,| 1 1( , ) ,1 | 2 xxy f x y xy xy ，计算二重积分 D ( , )df x y ，其中 ,| 2Dx yxy. （23） (本题满分 11 分) 设线性方程组 123 123 2 123 0 20 40 xxx xxax xxa x 与方程组 123 21xxxa有公共解，求a的值及所有公共解. （24） (本题满分 11 分) 设 3 阶对称矩阵A的特征向量值 123 1,2,2 ， T 1 (1, 1,1)是A的属于 1 的一个特征向量，记 53 4BAAE，其中E为 3 阶单位矩阵. （I）验证 1 是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B. - 5 - 2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题填空题：16 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. （1）曲线 4sin 52cos xx y xx 的水平渐近线方程为 （2）设函数 2 3 0 1 sind ,0 ( ) ,0 x tt x f xx ax 在0 x 处连续，则a . （3）反常积分 22 0 d (1) x x x . （4）微分方程 (1)yx y x 的通解是 （5）设函数( )yy x由方程1e y yx 确定，则 0 d d x y x （6）设矩阵 21 12 A ，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B. 二、选择题：二、选择题：714 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前 的字母填在题后的括号内的字母填在题后的括号内. （7）设函数( )yf x具有二阶导数，且( )0,( )0fxfx，x为自变量x在点 0 x处的增量，dyy 与分别为 ( )f x在点 0 x处对应的增量与微分，若0 x ，则 (A)0dyy .(B)0dyy . (C)d0yy .(D)d0yy . （8）设( )f x是奇函数，除0 x 外处处连续，0 x 是其第一类间断点，则 0 ( )d x f tt 是 （A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数 （C）在0 x 间断的奇函数（D）在0 x 间断的偶函数. （9）设函数( )g x可微， 1( ) ( )e,(1)1,(1)2 g x h xhg ，则(1)g等于 （A）ln3 1.（B）ln3 1. （C）ln2 1.（D）ln2 1. （10）函数 2 12 eee xxx yCCx 满足的一个微分方程是 （A）23 e . x yyyx（B）23e . x yyy （C）23 e . x yyyx（D）23e . x yyy （11）设( , )f x y为连续函数，则 1 4 00 d( cos , sin ) df rrr r 等于 - 6 - （） 2 2 1 2 0 d( , )d x x xf x yy .（B） 2 2 1 2 00 d( , )d x xf x yy . (C) 2 2 1 2 0 d( , )d y y yf x yx .(D) 2 2 1 2 00 d( , )d y yf x yx . （12）设( , )( , )f x yx y与均为可微函数，且( , )0 y x y，已知 00 (,)xy是( , )f x y在约束条件( , )0 x y下的一 个极值点，下列选项正确的是 (A)若 00 (,)0 x fxy ，则 00 (,)0 y fxy . (B)若 00 (,)0 x fxy ，则 00 (,)0 y fxy . (C)若 00 (,)0 x fxy ，则 00 (,)0 y fxy . (D)若 00 (,)0 x fxy ，则 00 (,)0 y fxy . （13）设 12 , s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是 （A）若 12 , s 线性相关，则 12 , s AAA线性相关. （B）若 12 , s 线性相关，则 12 , s AAA线性无关. (C)若 12 , s 线性无关，则 12 , s AAA线性相关. (D)若 12 , s 线性无关，则 12 , s AAA线性无关. （14） 设A为3阶矩阵， 将A的第 2行加到第1行得B， 再将B的第1列的1倍加到第2列得C， 记 110 010 001 P ， 则 （） 1 CP AP .（） 1 CPAP. （） T CP AP.（） T CPAP. 三三 、解答题：、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分） 试确定, ,A B C的值，使得 23 e (1)1() x BxCxAxo x ，其中 3 ()o x是当0 x 时比 3 x高阶的无穷小. （16）（本题满分 10 分）求 arcsine d e x x x . - 7 - （17）（本题满分 10 分）设区域 22 ( , )1,0Dx y xyx， 计算二重积分I 22 1 d d . 1 D xy x y xy （18）（本题满分 12 分）设数列 n x满足 11 0,sin(1,2,) nn xxx n （）证明lim n n x 存在，并求该极限；（）计算 2 1 1 lim n x n n n x x . （19）（本题满分 10 分） 证明：当0ab时， sin2cossin2cosbbbbaaaa. （20）（本题满分 12 分） 设函数( )f u在(0,)内具有二阶导数，且 22 zfxy满足等式 22 22 0 zz xy . （I）验证 ( ) ( )0 f u fu u ； （II）若(1)0,(1)1f f ，求函数( )f u的表达式. - 8 - （21）（本题满分 12 分） 已知曲线 L 的方程 2 2 1, (0) 4 xt t ytt （I）讨论 L 的凹凸性； （II）过点( 1,0)引 L 的切线，求切点 00 (,)xy， 并写出切线的方程；（III）求此切线与 L（对应于 0 xx的部分）及 x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分 9 分） 已知非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1 4351 31 xxxx xxxx axxxbx 有 3 个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵A的秩 2r A ；（） 求, a b的值及方程组的通解. （23）（本题满分 9 分） 设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量 TT 12 1,2, 1,0, 1,1 是线性方程组0Ax 的两个 解. ()求A的特征值与特征向量； ()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得 T Q AQ . - 9 - 2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 二、填空题填空题（本题共（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） （1）设 x xy)sin1 ( ，则 x dy=. （2）曲线 x x y 2 3 )1 ( 的斜渐近线方程为. （3） 1 022 1)2(xx xdx . （4）微分方程xxyyxln2满足 9 1 ) 1 (y的解为. （5）当0x时， 2 )(kxx 与xxxxcosarcsin1)(是等价无穷小，则 k=. （6）设 321 ,均为 3 维列向量，记矩阵 ),( 321 A，)93,42,( 321321321 B， 如果1A，那么B. 二二、选择题选择题（本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 4 分分，满分满分 32 分分. 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求，把所选把所选 项前的字母填在题后的括号内）项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 n n n xxf 3 1lim)( ，则 f(x)在),(内 (A)处处可导.(B)恰有一个不可导点. (C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点. （8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，NM 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有 （A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数. （C） F(x)是周期函数f(x)是周期函数. （D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数. （9）设函数 y=y(x)由参数方程 )1ln( ,2 2 ty ttx 确定，则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 (A)32ln 8 1 .(B)32ln 8 1 . (C)32ln8.(D)32ln8. （ 10 ） 设 区 域0, 0, 4),( 22 yxyxyxD， f(x) 为 D 上 的 正 值 连 续 函 数 ， a,b 为 常 数 ， 则 d yfxf yfbxfa D )()( )()( (A)ab.(B) 2 ab .(C)(ba .(D) 2 ba . （11）设函数 yx yx dttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有 - 10 - (A) 2 2 2 2 y u x u .（B） 2 2 2 2 y u x u . (C) 2 22 y u yx u .(D) 2 22 x u yx u . （12）设函数, 1 1 )( 1 x x e xf则（） （A）x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点. （B）x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点. （C）x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点. （D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点. （13）设 21, 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 21, ，则 1 ，)( 21 A线性无关的充分 必要条件是 (A)0 1 .(B)0 2 .(C)0 1 .(D)0 2 . （14） 设 A 为 n （2n） 阶可逆矩阵， 交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, *,B A分别为 A,B 的伴随矩阵， 则 （A）交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B.(B) 交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B. (C)交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B.(D) 交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B. 三三 、解答题（本题共、解答题（本题共 9 小题，满分小题，满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分 11 分）设函数 f(x)连续，且0)0(f，求极限 . )( )()( lim 0 0 0 x x x dttxfx dttftx （16）（本题满分 11 分） 如图， 1 C和 2 C分别是)1 ( 2 1 x ey和 x ey 的图象，过点(0,1)的曲线 3 C是一单调增 函数的图象. 过 2 C上任一点 M(x,y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 x l和 y l. 记 21,C C与 x l所围图形的面积为)( 1 xS； 32,C C与 y l所围图形的面积为).( 2 yS如果总有)()( 21 ySxS，求曲线 3 C的 方 程 ).(yx （17）（本题满分 11 分） 如图， 曲线 C 的方程为 y=f(x)， 点(3,2)是它的一个拐点， 直线 1 l与 2 l分别是曲线 C 在 点(0,0)与(3,2)处的切线， 其交点为(2,4). 设函数 f(x)具有三阶连续导数， 计算 定 积 分 - 11 - 3 0 2 .)()(dxxfxx （18）（本题满分 12 分） 用变量代换)0(costtx化简微分方程0)1 ( 2 yyxyx， 并求其满足2, 1 00 xx yy的特 解. （19）（本题满分 12 分）已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在),1 , 0(使得1)(f；（II）存在两个不同的点) 1 , 0(,，使得. 1)()(ff （20）（本题满分 10 分） 已知函数 z=f(x,y) 的全微分ydyxdxdz22，并且 f(1,1,)=2. 求 f(x,y)在椭圆域1 4 ),( 2 2 y xyxD上的 最大值和最小值. （21）（本题满分 9 分） 计算二重积分dyx D 1 22 ，其中10 , 10),(yxyxD. （22）（本题满分 9 分） 确定常数 a,使向量组,), 1 , 1 ( 1 T a,) 1 , 1 ( 2 T a T a) 1 , 1 ,( 3 可由向量组 ,), 1 , 1 ( 1 T a,)4 , 2( 2 T a T aa), 2( 3 线性表示，但向量组 321 ,不能由向量组 321 ,线性表示. （23）（本题满分 9 分） 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是cbacba,),(不全为零，矩阵 k B 63 642 321 （k 为常数），且 AB=O, 求线性方 程组 Ax=0 的通解. - 12 - 2004 年考硕数学（二）真题年考硕数学（二）真题 一一. 填空题（本题共填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. ） （1）设 2 (1) ( )lim 1 n nx f x nx , 则( )f x的间断点为x . （2）设函数( )y x由参数方程 3 3 31 31 xtt ytt 确定, 则曲线( )yy x向上凸的x取值范围为_. （3） 12 1 dx x x _. （4）设函数( , )zz x y由方程 23 2 xz zey 确定, 则3 zz xy _. （5）微分方程 3 ()20yxdxxdy满足 1 6 5 x y 的特解为_. （6）设矩阵 210 120 001 A , 矩阵B满足2ABABAE , 其中A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵, 则 B _-. 二二. 选择题（本题共选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选把所选 项前的字母填在题后的括号内项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0 x 时的无穷小量 2 0 cos x t dt, 2 0 tan x tdt, 3 0 sin x t dt排列起来, 使排在后面的是前一 个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是() （A）,. （B）,. （C）,. （D）,. （8）设( )(1)f xxx, 则 （A）0 x 是( )f x的极值点, 但(0, 0)不是曲线( )yf x的拐点. （B）0 x 不是( )f x的极值点, 但(0, 0)是曲线( )yf x的拐点. （C）0 x 是( )f x的极值点, 且(0, 0)是曲线( )yf x的拐点. （D）0 x 不是( )f x的极值点,(0, 0)也不是曲线( )yf x的拐点. （9） 222 12 lim ln(1) (1)(1) n n n nnn 等于 () （A） 2 2 1 ln xdx . （B） 2 1 2ln xdx .（C） 2 1 2ln(1)x dx .（D） 2 2 1 ln (1)x dx - 13 - （10）设函数( )f x连续, 且(0)0 f , 则存在0, 使得() （A）( )f x在(0,)内单调增加.（B）( )f x在(, 0)内单调减小. （C）对任意的(0,)x有( )(0)f xf.（D）对任意的(, 0)x 有( )(0)f xf. （11）微分方程 2 1 sinyyxx 的特解形式可设为() （A） 2 (sincos )yaxbxcx AxBx.（B） 2 (sincos )yx axbxcAxBx. （C） 2 sinyaxbxcAx.（D） 2 cosyaxbxcAx （12）设函数( )f u连续, 区域 22 ( , )2Dx y xyy, 则() D f xy dxdy 等于() （A） 2 2 11 11 () x x dxf xy dy .（B） 2 22 00 2() y y dyf xy dx . （C） 2sin 2 00 (sincos )df rdr .（D） 2sin 2 00 (sincos )df rrdr （13）设A是 3 阶方阵, 将A的第 1 列与第 2 列交换得B, 再把B的第 2 列加到第 3 列得C, 则满足AQC的可 逆矩阵Q为() （A） 010 100 101 .（B） 010 101 001 . （C） 010 100 011 .（D） 011 100 001 . （14）设A,B为满足OAB 的任意两个非零矩阵, 则必有() （A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. 三三. 解答题（本题共解答题（本题共 9 小题，满分小题，满分 94 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） （15）（本题满分 10 分） 求极限 3 0 12cos lim1 3 x x x x . - 14 - （16）（本题满分 10 分） 设函数( )f x在（, ）上有定义, 在区间0, 2上, 2 ( )(4)f xx x, 若对任意的x都满足 ( )(2)f xk f x, 其中k为常数. ()写出( )f x在)0 , 2上的表达式; ()问k为何值时,( )f x在0 x 处可导. （17）（本题满分 11 分） 设 2 ( )sin x x f xt dt , ()证明( )f x是以为周期的周期函数;()求( )f x的值域. （18）（本题满分 12 分） 曲线 2 xx ee y 与直线0,(0)xxt t及0y 围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体, 其体积为( )V t, 侧面积为( )S t, 在xt处的底面积为( )F t. ()求 ( ) ( ) S t V t 的值; ()计算极限 ( ) lim ( ) t S t F t . （19）（本题满分 12 分）设 2 eabe, 证明 22 2 4 lnln()baba e . - 15 - （20）（本题满分 11 分） 某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速 并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700/km h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力 与飞机的速度成正比(比例系数为 6 6.0 10k ).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注注kg表示千克,/km h表示千米/小时. （21）（本题满分 10 分）设 22 (,) xy zf xye,其中f具有连续二阶偏导数,求 2 , zzz xyx y . （22）（本题满分 9 分） 设有齐次线性方程组 1234 1234 1234 1234 (1)0, 2(2)220, 33(3)30, 444(4)0, a xxxx xa xxx xxa xx xxxa x 试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解. （23）（本题满分 9 分） 设矩阵 123 143 15a 的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化. - 16 - 2003 年考研数学（二）真题年考研数学（二）真题 一、一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） 若0x时，1)1 ( 4 1 2 ax与xxsin是等价无穷小，则 a=. （2） 设函数 y=f(x)由方程 4 ln2yxxy所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是. （3） x y2的麦克劳林公式中 n x项的系数是_. （4） 设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从 0 变到2的一段弧与极轴所围成的图形的 面积为_. （5） 设为 3 维列向量， T 是的转置. 若 111 111 111 T ，则 T =. （6） 设 3 阶方阵 A,B 满足EBABA 2 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵，若 102 020 101 A，则B _. 二二、选择题选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选 项前的字母填在题后的括号内） （1）设, nnn cba均为非负数列，且0lim n n a,1lim n n b, n n clim,则必有 (A) nn ba 对任意 n 成立.(B) nn cb 对任意 n 成立. (C)极限 nn n ca lim不存在.(D) 极限 nn n cb lim不存在. （2）设dxxxa n n n n n 1 2 3 1 0 1 , 则极限 n n na lim等于 (A)1)1 ( 2 3 e.(B)1)1 ( 2 3 1 e. (C)1)1 ( 2 3 1 e.(D)1)1 ( 2 3 e. （3）已知 x x y ln 是微分方程)( y x x y y的解，则)( y x 的表达式为 （A）. 2 2 x y (B). 2 2 x y (C). 2 2 y x (D). 2 2 y x （4）设函数)(xf在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则)(xf有 （A） 一个极小值点和两个极大值点. （B） 两个极小值点和一个极大值点. （C） 两个极小值点和两个极大值点. （D） 三个极小值点和一个极大值点. - 17 - y Ox （5）设 4 0 1 tan dx x x I,dx x x I 4 0 2 tan , 则 (A). 1 21 II(B).1 21 II (C). 1 12 II(D).1 12 II （6）设向量组： r , 21 可由向量组： s , 21 线性表示，则 (A) 当sr 时，向量组必线性相关. (B) 当sr 时，向量组必线性相关 .(C) 当sr 时，向量组必线性相关. (D) 当sr 时，向量组必线性相关. 三三 、（本题满分、（本题满分 10 分）分）设函数 , 0 , 0 , 0 , 4 sin 1 , 6 , arcsin )1ln( )( 2 3 x x x x x axxe xx ax xf ax 问a为何值时，)(xf在0x处连续；a为何值时，0x是)(xf的可去间断点？ 四四 、（本题满分、（本题满分 9 分）分） 设函数)(xyy 由参数方程) 1( ,21 ln21 1 2 t du u e y tx t u 所确定，求. 9 2 2 x dx yd 五五 、（本题满分、（本题满分 9 分）分）计算不定积分. )1 ( 2 3 2 arctan dx x xe x 六六 、（本题满分、（本题满分 12 分）分） 设函数)(xyy 在),(内具有二阶导数，且)(, 0yxxy是)(xyy 的反函数. - 18 - (1)试将)(yxx 所满足的微分方程0)(sin( 3 2 2 dy dx xy dy xd 变换为)(xyy 满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 )0(, 0)0(yy的解. 七七 、（本题满分、（本题满分 12 分）分） 讨论曲线kxyln4与xxy 4 ln4 的交点个数. 八八 、（本题满分、（本题满分 12 分）分） 设位于第一象限的曲线)(xfy 过点) 2 1 , 2 2 (，其上任一点),(yxP处的法线与y轴的交点为Q，且线段 PQ被x轴平分. (A) 求曲线)(xfy 的方程； (B) 已知曲线xysin在, 0上的弧长为l，试用l表示曲线)(xfy 的弧长s. 九九 、（本题满分、（本题满分 10 分）分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)(yyx绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径 为 2 m.根据设计要求，当以min/3 3 m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/ 2 m的速率均匀扩大（假 设注入液体前，容器内无液体）. (1) 根据t时刻液面的面积，写出t与)(y之间的关系式； (2) 求曲线)(yx的方程. (注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) - 19 - 十十 、（本题满分本题满分 10 分分） 设函数)(xf在闭区间a,b上连续， 在开区间(a,b)内可导， 且. 0)( x f若极限 ax axf ax )2( lim 存在，证明： (1)在(a,b)内; 0)(xf(2)在(a,b)内存在点，使 )( 2 )( 22 f dxxf ab b a ； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使 b a dxxf a abf.)( 2 )( 22 十十 一、（本题满分一、（本题满分 10 分）分） 若矩阵 600 28 022 aA相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵P使. 1 APP 十二十二 、（本题满分、（本题满分 8 分）分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 : 1 l032cbyax，: 2 l032acybx，: 3 l032baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为. 0cba - 20 - 20022002 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (二二) )试题试题 一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分) ) 1设函数 0 0 )( 2 arcsin 1 2 tan x x ae xf x e x x 在0x处连续，则a（） 2位于曲线 x xey （ x0）下方，x轴上方的无界图形的面积为（） 3微分方程0 2 yyy满足初始条件 2 1 00 , 1 xx yy的特解是（） 4 12 lim 1 cos1 cos1 cos n n nnnn =（） 5矩阵 222 222 220 的非零特征值是（） 二、单项选择题二、单项选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分) 函数)(uf可导，)( 2 xfy 当自变量x在1x处取得增量1 . 0x时，相应的函数增量y的线性主部为 ，则) 1 ( f () （）；（）； （）；（） 函数)(xf连续，则下列函数中，必为偶函数的是() (A) x dttf 0 2) (；(B) x dttf 0 2 )(； (C) x dttftft 0 )()(；(D) x dttftft 0 )()( 设)(xyy 是二阶常系数微分方程 x eqyypy 3 满足初始条件0)0()0( yy的 特解，则当0x时，函数 )( )1ln( 2 xy x 的极限() (A)不存在；（）等于； (C)等于；(D) 等于 设函数), 0()(在xfy内有界且可导，则() (A)当0)(lim xf x 时，必有0)(lim xf x ； （）当)(limxf x 存在时，必有0)(lim xf x ； (C) 当0)(lim 0 xf x 时，必有0)(lim 0 xf x ； (D) 当)(lim 0 xf x 存在时，必有0)(lim 0 xf x 5设向量组 321 ,线性无关，向量 1 可由 321 ,线性表示，而向量 2 不能由 321 ,线性表示，则对于 - 21 - 任意常数k必有() （） 21321 ,k线性无关；(B) 21321 ,k线性相关； （） 21321 ,k线性无关；(D) 21321 ,k线性相关 三、（本题满分（本题满分 6 分）分）已知曲线的极坐标方程为cos1r，求该曲线对应于 6 处的切线与法线的直角坐标 方程 四、（本题满分分）（本题满分分）设 . 10 01 . ) 1( 2 3 2 )( 2 2 x x e xe xx xf x x ， ， ，求函数 x dttfxF 1 )()(的表达式 五、（本题满分分）五、（本题满分分）已知函数)(xf在），（0内可导，0)(xf，1)(lim xf x ，且满足 xh e xf hxxf h 11 ) )( )( (lim 0 ，求)(xf 六、（本题满分分）（本题满分分）求微分方程0)2(dxyxxdy的一个解)(xyy ，使得由曲线)(xyy 与直线 2, 1xx以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小 七七、（本题满分本题满分 7 分分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二 次抛物线与线段所围成当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压 之比为：，闸门矩形部分的高h应为多少米？ - 22 - 八、（本题满分分）八、（本题满分分） 设30 1 x，)3( 1nnn xxx （n1,2，）证明：数列 n x的极限存在，并求此极限 九、九、（本题满分分）（本题满分分）设ba 0，证明不等式 abab ab ba a1lnln2 22 十、（本题满分十、（本题满分 8 分）分）设函数)(xf在x0 的某邻域具有二阶连续导数，且. 0)0(0)0(0)0( fff， 证明：存在惟一的一组实数， 321 ，使得当0h时， )0()3()2()( 321 fhfhfhf是比 2 h高阶的无穷小. 十一、（本题满分分）（本题满分分）已知，为 3 阶矩阵，且满足EBBA42 1 ，其中E是 3 阶单位矩阵. 证明：矩阵EA2可逆； 若 200 021 021 B，求矩阵 十二十二、（本题满分分本题满分分）已知 4 阶方阵),( 4321 A， 4321 ,均为 4 维列向量，其中 432 ,线性 无关， 321 2若 4321 ，求线性方程组Ax的通解 - 23 - 20012001 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学( (二二) )试题试题 一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分) 1、 2 13 lim 2 1 xx xx x =（） 2、设函数)(xfy 由方程1)cos( 2 exye yx