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数学竞赛辅导讲义直线与圆的方程一、例题例1 求函数的值域.例2 当实数，满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围.例3 过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为， ，试求的垂心的轨迹方程.二、练习题1. 若直线，与能围成一个三角形，则实数的取值范围是_.2. 方程表示的曲线是_.3. 以两圆与的公共弦为直径的圆的方程为_.4. 已知当且时，圆总与直线相切，则直线的方程是_.5. 在平面直角坐标系中，横纵坐标都是有理数的点称为有理点，则过点且其上至少存在两个有理点的直线的条数为_.6. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，则平面上的整点到直线的距离的最小值是_.7. 已知矩形的顶点的坐标为，顶点在圆 上移动，且，两边始终分别平行于轴，轴，求矩形面积的最小值，以及取得最小值时点的坐标.8. 已知直线与圆相交于，两点，点在上，且.当变化时，求点的轨迹方程.9.（2012年全国联赛）在平面直角坐标系中，菱形的边长为4，且.（1）求证：为定值；（2）当点在半圆上运动时，求点的轨迹.10. 直线与相离，点为上任意一点，过点引的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点.数学竞赛辅导讲义直线与圆的方程参考答案1.2.两个半圆.3.4.5.答案：1.分析：显然，若存在这样的直线，则该直线必有斜率.下面用反证法证明斜率必为零.假设斜率不为零，设点与为该直线上的两个不同的有理点，则有，注意到等号的左边是个无理数，而右边是有理数，矛盾.因此假设错误，即满足条件的直线的斜率必为零.注：此题属竞赛级别.6.答案：分析：平面上的整点到直线的距离，因为的倍数，故当且仅当，即，亦即，（）（根据数论中的孙子定理，当然若想简单一点，取便可）时，取最小值.注：此题属竞赛级别.7.当且仅当点的坐标为或时，矩形面积最小且最小值为.8.答案：点的轨迹方程为.分析：易见点在圆的外部，即点在点、的同侧.否则，若点在线段上，则（这里为圆的半径），矛盾.利用切割线定理，设直线与圆相切于点，则有，于是，这表明点在以为圆心，为半径的圆上，但不能说这个圆就是点的轨迹，因为点还有其他约束条件，即点在直线上，而是要与圆相交的.9.（1）（从几何关系入手）设点为菱形的对角线的交点，则注：此题的条件可以简化一下.（2）（利用圆的参数方程）因点在半圆上运动，故可设点的坐标为，再利用（1）的结论，可得点的参数方程为（为参数，且），即点的轨迹是一条线段，端点为，.10. 如图建立直角坐标系，设圆的半径为， 直线的方程为，上的动点，切点，则切线，的方程分别为，因点在切线，上，故，上述两个方程表明都在直线上，这恰是直线的方程.据此方程可知，直线恒过定点.换个角度，由于，故点，在以为直径的圆上，从而直线成为圆与圆的公共弦所在的直线了.
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