数值分析Matlab作业龙格库塔欧拉方法解二阶微分方程

Matlab 应用使用Euler和Rungkutta方法解臂状摆的能量方程背景 单摆是常见的物理模型，为了得到摆角的关于时间的函数，来描述单摆运动。由角动量定理我们知道化简得到 在一般的应用和计算中，只考虑摆角在5度以内的小摆动，因为可以吧简化为，这样比较容易解。实际上这是一个解二阶常微分方程的问题。在这里的单摆是一种特别的单摆，具有均匀的质量M分布在长为2的臂状摆上，使用能量法建立方程化简得到重力加速度取9.806651使用欧拉法令，这样降阶就把二阶常微分方程转化为一阶微分方程组，再利用向前Euler方法数值求解。 y(i+1)=y(i)+h*z(i); z(i+1)=z(i)+h*7.35499*cos(y(i);y(0)=0z(0)=0精度随着h的减小而更高，因为向前欧拉方法的整体截断误差与h同阶，（因为是用了泰勒公式）所以欧拉方法的稳定区域并不大。2. RK4-四阶龙格库塔方法使用四级四阶经典显式Rungkutta公式稳定性很好，RK4法是四阶方法，每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。所以比欧拉稳定。运行第三个程序：在一幅图中显示欧拉法和RK4法，随着截断误差的积累，欧拉法产生了较大的误差h=0.01h=0.0001，仍然是开始较为稳定，逐渐误差变大总结：RK4是很好的方法，很稳定，而且四阶是很常用的方法，因为到五阶的时候精度并没有相应提升。通过这两种方法计算出角度峰值y=3.，周期是1.。三个程序欧拉法clear;clch=0.00001;a=0;b=25;x=a:h:b;y(1)=0;z(1)=0;for i=1:length(x)-1 % 欧拉 y(i+1)=y(i)+h*z(i); z(i+1)=z(i)+h*7.35499*cos(y(i);endplot(x,y,r*);xlabel(时间);ylabel(角度);A=x,y;%y(find(y=max(y)%Num=(find(y=max(y)y,T=max(y);fprintf(角度峰值等于%d,y) %角度的峰值也就是fprintf(n) fprintf(周期等于%d,T*h) %周期legend(欧拉);龙格库塔方法先定义函数rightf_sys1.mfunction w=rightf_sys1(x,y,z) w=7.35499*cos(y);clear;clc;%set(0,RecursionLimit,500)h=0.01;a=0;b=25;x=a:h:b;RK_y(1)=0; %初值RK_z(1)=0; %初值for i=1:length(x)-1 K1=RK_z(i); L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i); % K1 and L1 K2=RK_z(i)+0.5*h*L1; L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1); K3=RK_z(i)+0.5*h*L2; L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2); K4=RK_z(i)+h*L3; L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4); RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4); endplot(x,RK_y,b+);xlabel(Variable x); ylabel(Variable y); A=x,RK_y; y,T=max(RK_y);legend(RK4方法);fprintf(角度峰值等于%d,y) %角度的峰值也就是fprintf(n) fprintf(周期等于%d,T*h) %周期两个方法在一起对比使用跟上一个相同的函数rightf_sys1.mclear; clc; %清屏h=0.0001; a=0;b=25;x=a:h:b;Euler_y(1)=0; Euler_z(1)=0; %欧拉的初值RK_y(1)=0; RK_z(1)=0; %龙格库塔初值for i=1:length(x)-1 %先是欧拉法 Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i); Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*7.35499*cos(Euler_y(i); %龙格库塔 K1=RK_z(i); L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i); % K1 and L1 K2=RK_z(i)+0.5*h*L1; L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1); % K2 and L2 K3=RK_z(i)+0.5*h*L2; L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2); % K3 and L3 K4=RK_z(i)+h*L3; L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4); RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4); endplot(x,Euler_y,r-,x,RK