2016年江苏省 高三上数学期中测试卷1

2016年 江苏省 高三上数学 期中测试卷1一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）sin240=2（5分）复数z=i（1i）的虚部为3（5分）抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=，则抛物线方程为4（5分）不等式的解集为5（5分）已知平行直线l1：x2y2=0，l2：2x4y+1=0，则l1与l2之间的距离为6（5分）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为7（5分）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则的充要条件是m=8（5分）已知tan（+）=3，tan=2，则tan（）=9（5分）已知函数f（x）=x+asinx在（，+）上单调递增，则实数a的取值范围是10（5分）已知圆C：x2+y24x2y20=0，直线l：4x3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则ABD面积的最大值为11（5分）若a0，b2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=12（5分）已知函数f（x）=kx无零点，则实数k的取值范围是13（5分）双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点若AFBF，则双曲线的渐近线方程为14（5分）已知函数f（x）=x（1a|x|）+1（a0），若f（x+a）f（x）对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）已知函数f（x）=2cos（x）sinx+（sinx+cosx）2（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值16（14分）函数f（x）=log3（x2+2x8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m（1）若m=4时，g（x）0的解集为B，求AB；（2）若存在使得不等式g（x）1成立，求实数m的取值范围17（14分）已知圆M：x2+y22x+a=0（1）若a=8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且=6（其中O为坐标原点），求圆M的半径18（16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2（1）求sinABC的大小；（2）设ADB=，试确定的大小，使得运输总成本最少19（16分）已知椭圆C：=1（ab0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q若（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k，求证：为定值；（2）若且APQ的面积为，求椭圆C的方程20（16分）已知函数f（x）=+x（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1）处的切线经过点（0，1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值三、解答题（共4小题，满分40分）21（10分）已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值22（10分）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数361若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E（）23（10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=PC（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值24（10分）已知集合A=a1，a2，am若集合A1A2A3An=A，则称A1，A2，A3，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n2，nN*）关于n的表达式2016年 江苏省 高三上数学 期中测试卷1参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）（2010湛江一模）sin240=【分析】由诱导公式sin（180+）=sin和特殊角的三角函数值求出即可【解答】解：根据诱导公式sin（180+）=sin得：sin240=sin（180+60）=sin60=故答案为：【点评】此题考查了学生利用诱导公式sin（180+）=cos进行化简求值的能力，以及会利用特殊角的三角函数解决问题的能力2（5分）（2016秋扬州期中）复数z=i（1i）的虚部为1【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案【解答】解：z=i（1i）=ii2=1+i，复数z=i（1i）的虚部为：1故答案为：1【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）（2016秋扬州期中）抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=，则抛物线方程为x2=2y【分析】根据抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=，可知p的值，即可得出抛物线的方程【解答】解：抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=，=，p=1，抛物线方程为x2=2y故答案为：x2=2y【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质和抛物线的标准方程的应用，属于基础题4（5分）（2015广东校级三模）不等式的解集为x|x0或x1【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集【解答】解：，即，等价于x（x1）0，解得x0或x1，不等式的解集为x|x0或x1故答案为：x|x0或x1【点评】本题主要考查了分式不等式的解法对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题同时考查了运算求解的能力，属于基础题5（5分）（2016秋扬州期中）已知平行直线l1：x2y2=0，l2：2x4y+1=0，则l1与l2之间的距离为【分析】利用平行线间的距离公式计算可得【解答】解：直线l1：x2y2=0即2x4y4=0l1与l2间的距离d=故答案为：【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，涉及平行线间的距离公式，属基础题6（5分）（2016秋扬州期中）若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=xz，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由得到A（4，2），所以z的最大值为4+22=8；故答案为：8【点评】本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，然后利用目标函数的几何意义求最值7（5分）（2016秋扬州期中）已知向量=（1，m+1），=（m，2），则的充要条件是m=2或1【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，=m（m+1）2=0，解得m=2或1故答案为：2或1【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）（2016秋扬州期中）已知tan（+）=3，tan=2，则tan（）=【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tan的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（）的值【解答】解：tan（+）=3，解得：tan=，tan=2，tan（）=故答案为：【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题9（5分）（2016秋扬州期中）已知函数f（x）=x+asinx在（，+）上单调递增，则实数a的取值范围是1，1【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围【解答】解：函数f（x）=x+asinx在（，+）上单调递增函数f（x）的导函数f（x）=1+acosx0在（，+）上恒成立，令cosx=t，t1，1，问题转化为g（t）=at+10在t1，1上恒成立，即g（1）0，g（1）0成立，所以1t1故答案为：1，1【点评】本题考查了利用函数单调性求参数范围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法10（5分）（2016秋扬州期中）已知圆C：x2+y24x2y20=0，直线l：4x3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则ABD面积的最大值为27【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值【解答】解：C：x2+y24x2y20=0，即（x2）2+（y1）2=25的圆心（2，1），半径为5圆心到直线l：4x3y+15=0的距离为：=4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9ADB面积的最大值为：=27故答案为：27【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的求法，考查计算能力11（5分）（2016秋扬州期中）若a0，b2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=【分析】构造基本不等式的性质即可求解利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：a0，b2，且a+b=3，a+b2=1，那么：（+）a+（b2）=4+1+（+）5+2=9，当且仅当2（b2）=a时即取等号联立，解得：a=故答案为：【点评】本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题12（5分）（2016秋扬州期中）已知函数f（x）=kx无零点，则实数k的取值范围是2，0）【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=kx无零点，求出实数k的取值范围【解答】解：函数f（x）=kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出：y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点由图象可知k2，0）故答案为：2，0）【点评】本题考查函数的图象的作法，考查数形结合以及转化思想的应用13（5分）（2016秋扬州期中）双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点若AFBF，则双曲线的渐近线方程为y=2x【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（x，），=（xc，），=（xc，），由=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b24a2）（9b2+4a2）=0，则可知b24a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=x=2x【解答】解：由题意可知：双曲线=1（a0，b0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b216a2）x2=9a2b2，即x2=，A与B关于原点对称，设A（x，），B（x，），=（xc，），=（xc，），AFBF，=0，即（xc）（xc）+（）=0，整理得：c2=x2，a2+b2=，即9b432a2b216a4=0，（b24a2）（9b2+4a2）=0，a0，b0，9b2+4a20，b24a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=x=2x，故答案为：y=2x【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题14（5分）（2016秋扬州期中）已知函数f（x）=x（1a|x|）+1（a0），若f（x+a）f（x）对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是，+）【分析】依题意，f由（x+a）f（x）对任意的xR恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1（x+a）1a（x+a）+1恒成立，整理后为二次不等式，利用0即可求得实数a的取值范围【解答】解：f（x）=x（1a|x|）+1=（a0），f（x+a）=（x+a）（1a|x+a|）+1，f（x+a）f（x）对任意的xR恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：x（1+ax）+1（x+a）1a（x+a）+1恒成立，即x+ax2+1a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a210恒成立，=4a242（a21）0，解得：a故答案为：，+）【点评】本题考查函数恒成立问题，深刻理解f（x+a）f（x）对任意的xR恒成立，得到x（1+ax）+1（x+a）1a（x+a）+1恒成立是解决问题的关键，也是难点，考查作图、分析与运算能力，属于难题二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）（2016秋扬州期中）已知函数f（x）=2cos（x）sinx+（sinx+cosx）2（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值【分析】（1）将函数化为y=Asin（x+）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值【解答】解：函数f（x）=2cos（x）sinx+（sinx+cosx）2化简得：f（x）=2sinxsinx+1+2sinxcosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x）+2由正弦函数的图象及性质可得：2x，是单调增区间，即2x，kZ解得：x，所以：函数f（x）的单调递增区间是，（kZ） （2）由（1）可得f（x）=sin（2x）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：3【点评】本题考查了三角函数的图象及性质的运用和化简能力三角函数的图象平移变换规律属于中档题16（14分）（2016秋扬州期中）函数f（x）=log3（x2+2x8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m（1）若m=4时，g（x）0的解集为B，求AB；（2）若存在使得不等式g（x）1成立，求实数m的取值范围【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得AB；（2）若存在使得不等式g（x）1成立，即存在使得不等式m成立，所以m（）min，解得实数m的取值范围【解答】解：（1）由x2+2x80，解得：x（，4）（2，+），故则函数f（x）=log3（x2+2x8）的定义域A=（，4）（2，+），（2分）若m=4，g（x）=x23x4，由x23x40，解得：x1，4，则B=1，4（4分）所以AB=（2，4； （6分）（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m1成立，即存在使得不等式m成立，所以m（）min （10分）因为=x+1+11，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以m1，解得：m1 （14分）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档17（14分）（2016秋扬州期中）已知圆M：x2+y22x+a=0（1）若a=8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且=6（其中O为坐标原点），求圆M的半径【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y5=k（x4），利用直线与圆相切的性质即可得出斜率不存在时直接得出即可（2）=（+）（+），即可得出结论【解答】解：（1）若a=8，圆M：x2+y22x+a=0即（x1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y5=k（x4），即l：kxy4k+5=0 由=3，解得k=，l：8x15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x15y+43=0；（2）=（+）（+）=1（1a）=6，a=6，圆M的半径=【点评】本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了向量的数量积公式，属于中档题18（16分）（2016秋扬州期中）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2（1）求sinABC的大小；（2）设ADB=，试确定的大小，使得运输总成本最少【分析】（1）利用余弦定理，即可求sinABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值【解答】解：（1）在ABC中，cosABC= （3分）所以sinABC=（5分）（2）在ABD中，由得：AD=，BD= （9分）设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）2k+8kAD=20k（35+） （11分）令H（=，则H（）=当0时，H（）0，H（）单调减；当时，H（）0，H（）单调增=时，H（）取最小值，同时y也取得最小值 （14分）此时BD=，满足070，所以点D落在BC之间所以=时，运输总成本最小答：=时，运输总成本最小 （16分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查余弦定理，属于中档题19（16分）（2016秋扬州期中）已知椭圆C：=1（ab0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q若（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k，求证：为定值；（2）若且APQ的面积为，求椭圆C的方程【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（x2，y2），由解得：x2=c，由直线的斜率公式k=，k=，=5为定值；（2）由，=3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2b2，因此=，=，由三角形的面积公式可知：SAPQ=3c4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2b2，P（x1，y1），则Q（x2，y2），直线PF的斜率k=，QF的斜率k=，c=2（x2c），即x2=c （3分）k=，k=，k=5k，即=5为定值 （6分）（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（c，3y1）点A、P在椭圆C上，则，整理得：=8，解得：=，（10分）则，代入得：=，=，APQ的面积为SAPQ=3c4y1=6cy1=，解得：c2=，c2=4，（14分）椭圆方程为： （16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，向量数量积的坐标表示及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题20（16分）（2016秋扬州期中）已知函数f（x）=+x（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1）处的切线经过点（0，1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值【解答】解：（1），f（1）=1，f（1）=ae+1函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程为：y（ae+1）=x1，又直线过点（0，1）1（ae+1）=1，解得：a= （2分）（2）若a0，（x0），当x（，0）时，f（x）0恒成立，函数在（，0）上无极值；当x（0，1）时，f（x）0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x（1，+）时，令H（x）=aex（x1）+x2，则H（x）=（aex+2）x，x（1，+），ex（e，+，）a为负整数a1，aexaeeaex+20，H（x）0，H（x）在（1，+）上单调减，又H（1）=10，H（2）=ae2+4e2+40x0（1，2），使得H（x0）=0 （5分）且1xx0时，H（x）0，即f（x）0；xx0时，H（x）0，即f（x）0；f（x）在x0处取得极大值 （*）又H（x0）=aex0（x01）+x02=0，代入（*）得：，不存在负整数a满足条件 （8分）（3）设g（x）=aex（x1）+x2，则g（x）=（aex+2）x，因为a0，所以，当x0时，g（x）0，g（x）单调递增；当x0时，g（x）0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点又g（0）=a0，g（1）=10，所以存在x1（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+）上单调递增知，当x（0，x1）时，g（x）0，故f（x）=，f（x）单调递减；当x（x2，+）时，g（x）0，故故f（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值 （12分）当x0时，ex1，且x10，所以g（x）=aex（x1）+x2a（x1）+x2=x2+axa，函数y=x2+axa是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）0，又g（0）=a0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（，0）上单调递减知，当x（，x2）时，g（x）0，故f（x）=，f（x）单调递增；当x（x2，0）时，g（x）0，故f（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值（16分）【点评】本题考查了导数的几何意义及可导函数极值的求解，并运用了分类讨论的解题方法，对学生的思维强度要求高，属于难题三、解答题（共4小题，满分40分）21（10分）（2016秋扬州期中）已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（）=0的一个根，代入即可求得实数a的值【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（）=（2）（1）3a，由矩阵M的一个特征值为4，4为方程f（）=0的一个根，则233a=0，解得：a=2，实数a的值2【点评】本题考查矩阵特征值的性质，考查矩阵特征多项式的应用，属于基础题22（10分）（2016秋扬州期中）某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数361若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E（）【分析】随机变量的取值可能为0，1，2利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出【解答】解：随机变量的取值可能为0，1，2P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=则012PE（）=+1+2=答：数学期望为【点评】本题考查了“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23（10分）（2016秋扬州期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=PC（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出的值【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，1），（2分）=（1，1），=（1，0，2），cos，=，CE与PD所成角的余弦值为（4分）（2）点F在棱PC上，且PF=PC，F（，2），=（，1，22），又=（0，1，0），=（1，1）设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），（6分）设直线BF与平面CDE所成的角为，则sin=|cos，|=，（8分）令t=2，则t1，2，sin=，当，即t=1，2时，有最小值，此时sin取得