微分方程建模的若干问题讲稿下

(2)F(r,t)为关于r,t的连续可微二元函数，记,(4)任何时刻t，出生婴儿的人口分布密度（即单位时间内出生的婴儿数）为已知函数p(0,t)=p1(t)；,二偏微分方程建模实例,考虑年龄结构的人口连续模型,不考虑人口的迁移，只考虑自然的出生和死亡，建立有年龄结构的人口连续模型。记F(r,t)为时刻t时，年龄小于r的人口总数，称之为人口分布函数。,建模假设：(1)人的最大年龄为常数rm；,称为年龄的人口分布密度函数；,(3)初始时刻的人口分布密度为已知函数p(r,0)=p0(r),建模过程考虑年龄在r,r+dr之间的人群从时刻t到时刻t+dt的变化情况，这部分人原来的人数近似为p(r,t)dr,经过dt时间后，这部分人中继续生存的年龄位于r+dt,r+dr+dt之间，其总人数近似为p(r+dt,t+dt)dr,(5)任何时刻t和任何年龄r处的人口死亡率为已知函数,这部分人中死亡人数近似为,应有,任何时刻的总人数为：,某时刻t处，在年龄段r1,r2中的总人数为：,平均年龄为：,t,r,rm,0,可以证明，这样的初、边值问题是适定的。,热量（物质）扩散模型,建模假设：(1)细杆长度为l，其材料是均匀的，即细杆的密度（克/厘米3），比热系数c（卡/克度）均为常数；,(2)杆中热量传导服从Fourier定律，即单位时间内通过单位面积的热量与温度关于位置量x的下降率成正比，比例系数（导热率）为常数k;,(3)杆的左段温度为u(0,t)=u1,杆的右段温度为u(l,t)=u2,u1u2,均为已知常数；,(4)细杆的初始温度分布为已知函数u(x,0)=u0(x).,一根均匀细杆，沿着杆长方向x维持一定的温度差，试建立杆上每一点x处关于时间t的温度分布模型.,建模过程取细杆的一小段x,x+x,设细杆的截面积为s0厘米2，记q(x,t)为热流密度（卡/秒厘米2,单位时间内通过单位面积的热量），,（xs0）cu(x,t+t)u(x,t)（卡），,则在t时间内，沿x方向流入小段x,x+x的总热量数近似为：q(x,t)s0t（卡）,流出小段x,x+x的总热量数近似为：q(x+x,t)s0t（卡）,流入小段与流出小段的热量差使得小段的温度升高，这个热量差可以根据下式计算：,根据热量守恒定律，流入小段x,x+x的总热量-流出小段x,x+x的总热量=温度升高所需热量,利用Fourier定律，有：,t,x,l,0,这样的初、边值问题是适定的。,即问题的解是存在、唯一的，且连续依赖于初边值数据。,弦振动模型,在a,b上绷紧的弦，将之垂直拉起然后放开，弦发生上下震动，试求出上下方向上位移u(x,t)的规律.,建模假设：(1)假定弦是均匀的，柔软的，处在直线绷紧状态下；弦只能作微小横振动；,(2)弦的线密度为常数。,建模过程取一小段弦x,x+x,应有：T1cos1=T2cos2,T2sin2-T1sin1=xutt（NewtonLaw）,cos11,cos21,sin2tg2=ux(x+x,t),2,1T1,xx+x,T2,sin1tg1=ux(x,t),t,x,b,0,这样的初、边值问题是适定的。,a,休渔期鱼群分布规律模型,建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。,建模假设：(1)海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；,海岸0外海x,(2)规定休渔区域在沿海l公里以内；休渔边界x=l外，鱼群将全部被外海渔船打尽；,(3)任何地点x、任何时刻t的鱼群密度分布函数u(x,t)为可微函数；,(4)初始时刻的鱼群密度分布函数u(x,0)为已知函数u0(x)；,(5)t时刻、x处鱼群密度u(x,t)的增长速度为已知函数f(u);,(6)t时刻、x处鱼群数向外游动的扩散量(x,t)与ux(x,t)成正比，比例系数为常数a2：,这个假设类似于热量扩散问题中的Fourier法则。,建模过程单位时间里，任意区间段a,b段上鱼群数的变化量为：,这个变化量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留在a,b段内的鱼群数：,另一项为单位时间里，a,b段内的新生鱼群数：,其中初边值条件为：,0,l,x,t,这个偏微分方程的初、边值问题是适定的，,即问题的解是存在、唯一的，且连续依赖于初边值数据。,三、自由边界问题,自由边界问题是一类较为复杂的偏微分方程问题，这种类型的问题在各种各样的应用中非常频繁地出现，例如它可出现在物相变化过程、化学反应过程、生物扩散过程、土壤冻过程等等的物理、化学现象之中，甚至还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评估研究等等的经济现象之中。,（1）一相Stefan问题,考虑一根套在与四周完全绝缘隔热的管子中而正在融化的细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成的水。拟建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变的模型。,建模假设：,（1）假定冰区域温度恒等于零度；,（2）假定水区域中热量传导服从Fourier定律，即,单位时间中高温点到低温点通过单位面积的热流量大小与与温度关于位置量x的下降率成正比；,由此可推出以下等式：,（3）假定水的密度、比热c、热传导系数k和为了融化冰为水的潜热L均为常数。,取细棍的一小段x,x+x,设细棍的截面积为s0厘米2；,记q(x,t)为热流密度（卡/秒厘米2,单位时间内通过单位面积的热量），,则在t时间内，沿x方向流入小段x,x+x的总热量数近似为：q(x,t)s0t（卡）,流出小段x,x+x的总热量数近似为：q(x+x,t)s0t（卡）,流入小段与流出小段的热量差使得小段中水的温度升高，这个热量差可以根据下式计算：,（xs0）cu(x,t+t)u(x,t)（卡），,这样便可得：,根据Fourier定律，有：,这个方程称为热传导方程,在融化而成的水域里，水的温度u(x,t)服从热传导方程：ut=a2uxx,x(0,s0),t(0,+).,为求解这个偏微分方程，还需知道左、右边界值和初值。,在左边界上水温为已知函数：u(0,t)=u1(t)0;,假定水温的初值为已知函数：u(x,0)=u0(x)；,由于右边界端处的热传导，冰在不断融化，故水域的右边界是一条移动边界，或称为自由边界。,这条自由边界本身也是需要求解的未知一元函数！,0,L,冰,水,x,t,s0,x=s(t),易知，在移动的右边界s(t)上水温函数应满足：u(s(t),t)=0；,为了决定自由边界的位置，还需导出边界上另一个条件。,t1,t2,t3,t4,设在t时段内，移动边界向右移动了一段路程x，,x,为了融化边界移动中消失的冰，,需要一份热量，其数量应是：,在t时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内的总热量根据Fourier定律，应是：,上述两者应该相等：,令t0，可得：,于是，融化水区域上任意点处温度u(x,t)随时间t演变的模型为：,x,t,x=s(t),0,s0,偏微分方程理论研究证明了这个问题也是适定的。,（2）两相Stefan问题,如果在一相Stefan问题中将假设（1）冰区域温度恒等于零度改为不恒等于零度，该冰区域中也有热传导过程，则一相Stefan问题就变成了两相Stefan问题。,建模假设：,（1）假定水、冰区域中热量传导服从Fourier定律，即,单位时间中高温点到低温点通过单位面积的热流量大小与与温度关于位置量x的下降率成正比；,由此可推出以下等式：,（2）假定水的密度s、比热cs、热传导系数ks和为了融化冰为水的潜热L均为常数。,（3）假定水的密度b、比热cb、热传导系数kb均为常数。,类似一相Stefen问题的讨论，我们有：,在融化而成的水区域中，水的温度u(x,t)服从热传导方程：,在冻结成冰的冰区域中，冰的温度u(x,t)也服从热传导方程：,0,L,冰,水,x,t,s0,x=s(t),易知，在移动的边界s(t)的两侧，温度函数应满足：,为了决定自由边界的位置，还需导出边界上另一个条件。,t1,t2,t3,t4,u(s(t),t)=u(s(t)+,t),设在t时段内，移动边界向右移动了一段路程x，,为了融化边界移动中消失的冰，需要一份热量，其数量应是：,x,在t时段内，从边界左边水区域中传入阴影区域内、从边界右边冰区域中传出阴影区域内后所残留下的总热量根据Fourier定律，应是：,上述两者应该相等：,令t0,可得：,x,t,x=s(t),0,s0,L,这个问题的适定性也已获得证明。,于是，水、冰两相区域上任意点x处的温度u(x,t)随时间t演变的模型为,（3）细胞体内氧气的扩散与吸收问题,细胞体内氧气的会向周边扩散，在扩散的同时，细胞体也在吸收氧气以维持生命；如果细胞得不到氧气的供给将会死亡。建立一个描绘该扩散吸收过程的数数学模型。,为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。,建模假设：,（1）假定氧气在细胞体中从氧气浓度大的左边扩散至浓度小的右边；在扩散中，扩散流量q的大小与左、右两点的氧气浓度c的差成正比；即：,（2）假定任何时刻，每单位立方体的细胞体吸收氧气的速度为一常数D；,（3）某一时刻起，断绝氧气供给；缺乏氧气的细胞体即行死亡，不再参与氧气扩散过程。,（k为扩散系数）,细胞体末端,氧气,考虑细胞体在位置x处、长为x的一段细胞上扩散和吸收氧气情况。,在t时段内，经扩散进入这段细胞内的氧气数量是:,经扩散流出这段细胞内的氧气数量是:,这段细胞内氧气的变化量是：,这段细胞氧气的吸收量是：,进入量、流出量、变化量和吸收量之间应有关系：,根据假设（1），,氧气扩散、吸收方程,0,x,t,s0,在细胞体左端，在t=0起断绝氧气输入，故有：,在细胞体右末端x=s处，始终有条件：,随着氧气的缺乏，右末端的细胞逐渐死亡，故有末端的位置随时间而变动，形成一条自由边界：x=s(t).,氧气扩散、吸收问题：,寻求未知函数对：c(x,t)，s(t)，使得它们满足：,在初边至充分光滑情况下，这个问题的适定性也可证明。事实上，若该问题的充分光滑解为c(x,t)，令u(x,t)=ct(x,t),则有,已知u(x,t)后，即可得到：,0,x,t,s0,四.用差分法求解微分方程的数值解,（向前偏心差分）；,（中心差分）；,（向前偏心差分）；,（中心差分）。,1.用有限差分替代一阶（偏）导数情况,2.用有限差分替代二阶（偏）导数情况,令,（N等分区间，步长h越小越精确），,有限差分格式：,练习：分别取h=0.1和h=0.05,求解,（与精确解u(t)=tgtt作一比较）,I)常微分方程求解：,3.用差分法求解微分方程数值解实例,令,中心差分五点格式：,其中,练习：(1)