医学高等数学7.1微分方程

微分方程,第七章,积分问题,微分方程问题,推广,已知含y的若干阶导数的等式,求y,7.1微分方程的基本概念7.2可分离变量的微分方程7.3一阶线性微分方程7.4几种可降阶的微分方程7.5二阶常系数线性微分方程7.6微分方程在医药学中的应用,问题的起源,微分方程是17-18世纪为解决一系列物理问题,经惠更斯、牛顿及莱布尼兹等人的研究,逐渐产生的一个数学分支.,微分方程为寻求变量之间的函数关系找到了新的方法.,面向的实际问题,凡是涉及到变化率的实际问题:,药物的动力学过程,流行病的传播,化学反应过程,肿瘤生长,细菌繁殖,人口预测,神经刺激理论,卫星运行轨道,飞行稳定性,都可借助微分方程来解决.这充分显示了微分方程这门数学分支的生命力和应用前景.,主要研究内容,建立方程:根据实际问题建立方程;,解方程:讨论某些方程的解法;,微分方程的一般概念,7.1,引例.,一曲线通过点(1,2),在该,解:设所求曲线方程为y=f(x),则有如下关系式:,曲线上任意点处的切线斜率为,7.1.1概念的引入,2x,求该曲线方程。,(C为任意常数),由已知条件得C=1,因此所求曲线方程为,由此得,该例包含了微分方程的有关概念,并体现了建立和求解微分方程的一般思想.,7.1.2微分方程的基本概念,微分方程(Differentialequation)：,含有未知函数的导数的等式,判别下列方程哪些是微分方程,哪些不是:(其中y是x的未知函数),是,是,不是,是,例1.,是,是,分类,常微分方程,(本章内容),偏微分方程,微分方程的阶(Order):,方程中所含未知函数的导数的最高阶数,判别下列微分方程的阶数:,2阶,1阶,1阶,3阶,例2.,满足微分方程的函数.,微分方程的解(Solution),验证函数,验证：,例3.,的解.,左边=,为方程,故左边=右边。,所以,是方程的解.,右边,都是方程的解。,函数和,例4.,C1,C2是任意常数.,所含独立的任意常数的个数与方程阶数相同的解.,通解(Generalsolution),由于含有任意常数,所以通解还不能完全确定地反映所研究对象的规律性.,要将对象的数量规律完全确定下来,必须确定这些常数的值.,为此,在实际问题中,要提出确定这些常数的条件。,初始条件(Initialcondition),用于确定方程的通解中任意常数的取值而附加的条件.,如果方程是一阶的,通常用以确定任意常数的条件是:,如果方程是二阶的,则用以确定任意常数的条件是:,一般地,对n阶方程,用来确定任意常数的条件有n个,它们是:,特解(Particularsolution),用初始条件将方程通解中的任意常数全部确定后所得的不含任意常数的解。,将初始条件x=1时y=1代入通解得C2=1.,已知某方程的通解为,例5.,解：,求满足初始条件的特解。,又由通解得:,将初始条件x=1时y=0代入得C1=0.,故方程的特解为:,微分方程微分方程的阶微分方程的解通解初始条件特解,基本概念:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,y=x及y=C,微分方程的通解所对应的曲线族。,积分曲线(Integralcurve),微分方程解函数的曲线。,积分曲线族(Familyofintegralcurve),微分方程的通解,方程的积分曲线族是以原点为圆心的一族同心圆;,0,x,y,(1,1),解微分方程：,从含有未知函数y的导数的方程中,求y和自变量x的关系。,一阶微分方程的一般形式:,本章主要介绍两种常见的一阶微分方程:,7.2.1可分离变量微分方程,7.3.1一阶线性微分方程,7.2.1可分离变量微分方程,一般形式:,或者:,解法:,分离变量,两边同时积分得通解：,两边积分得通解：,此式称为方程的隐式通解.,例1,分离变量:,解：,积分:,解微分方程:,解得方程的通解为:,整理得:,例2.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分，得,即,C为非零任意常数,y=0时,方程为恒等式,所以y=0也是方程式的解。,所以方程的解为:,C为任意常数,例3.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,(C为任意常数),代入初始条件得C=1,故所求特解为:,求下列微分方程的通解及满足所给初始条件的特解：,练习：,分离变量:,积分得:,故方程的通解为,可见，原方程的积分曲线族是一族圆心在原点的同心圆。,将初始条件代入得通解中：,所以，满足初始条件的特解为单位圆：,铀的衰变速率就是铀含量M(t)对时间t的导数,例4.,由物理学知道,放射性元素铀的衰变速率与当时铀的存在量M成正比。已知t=0时铀的存在量为M0.求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律。,解：,由于铀的衰变速率与当时的存在量M成正比,故建立微分方程:,常数K0,称为衰变系数,按题意,问题的初始条件为,两边积分:,得的通解为：,方程是可分离变量方程.分离变量得:,将初始条件代入通解得,故,这就是铀的衰变规律,它表明铀的存在量随着时间的增加呈指数衰减。,P(x)、Q(x)是已知的连续函数,7.3.1一阶线性微分方程,一般形式:,当,方程称之为线性非齐次方程。,当,方程称为线性齐次方程；,线性齐次方程,的解法：,分离变量：,得通解：,线性齐次方程,的通解为：,可证明,非齐次方程通解的形式为,(C(x)为待定函数),非齐次方程通解可通过将相应齐次方程通解的常数C变易成未知函数C(x)而得到,这种方法称为常数变易法。,如何确定C(x)？,1.先解出相应齐次方程,的通解为：,解法：,设变异后的乘积：,2.再变易常数为函数,为非齐次方程,的解。,由y得:,将代入非齐次方程：,得,整理得：,则,所以,非齐次方程的解为：,(C为任意常数),方程的通解为：,(C-任意常数),例8.解方程,解:直接代公式求解：,则,用公式求一阶线性方程的通解。,则,解：,练习：,所以,方程的通解为:,用常数变易法求一阶线性,方程所对应的齐次方程为:,分离变量:,例9:,解：,方程的通解.,积分：,得:,得齐次的通解:,变易常数C为函数C(x),设非齐次方程的解为:,将代入原方程得：,则,即,所以,原方程的通解为:,求一阶非齐次线性方程的通解。,方程相应的齐次方程为:,练习.,解:常数变易法,分离变量:,积分得:,得齐次的通解:,由变易常数C为函数C(x),设非齐次方程的解为:,则,将代入非齐次方程得：,所以,非齐次方程的通解为：,解得:,即,思考,判别下列方程类型:,可分离变量方程,一阶线性非齐次方程,一阶线性非齐次方程,7.4几种可降阶的微分方程,二阶微分方程的一般形式:,7.4.2,7.4.1,本节主要介绍几种特殊类型的二阶微分方程及其解法:,二阶常系数线性齐次方程,7.5.2,直接积分法,7.4.1型,(C为任意常数),由此得,(C1为任意常数),由此得,再积分一次,得通解：,对所给方程积分一次,得一阶方程：,再积分一次,得通解：,直接积分法适合于求解高阶微分方程,对此，只需对f(x)直接积分n次即可求得方程的通解。,求微分方程的通解.,对所给方程连续积分三次,解:,例1,这就是所给方程的通解.,特征:方程不显含末知函数y,7.4.2型,解法:,令,则,代换降阶法,从而原方程化为关于p(x)的一阶方程:,解得此方程的通解:,再次积分得通解:,求微分方程的通解。,例2.,解:,从而方程化为:,则,方程不显含y,一阶可分离变量型,令,p0时,故,再次积分得方程通解:,p=0时，,显然，后一解是前面通解在C1=0时的特殊情况。所以原方程的解为：,求微分方程,例3,解:,令,则,满足初始条件的特解。,从而方程化为:,方程不显含y,一阶可分离型,积分并整理得:,即,分离变量得：,代入初始条件,得：,再次积分得的通解:,代入初始条件,得：,所求特解为：,课堂练习,P159.NO7.(6),P159.NO7.(4),解:,令,则,从而方程化为:,再次积分得原方程的通解:,解:,令,方程化为:,则,分离变量:,解:,令,从而原方程化为:,则,积分得:,将方程分离变量:,(1),又1-p2=0时，,(2),解(2)不包含在通解(1)中。,标准形式:,7.5.2二阶常系数齐次线性方程,a,b,c为常数,a0,解法：,利用特征方程求解,若设,为方程的解,则,代入方程,有,即,从而有,则是代数方程,的根;,反之,亦然。,称二次代数方程为微分方程的特征方程(characteristicequation)。,称此方程的根为特征根.,特征方程,微分方程,1.若方程的特征根为实数且,则方程的通解为,根据特征根的不同情况,原方程的通解为以下形式:,2.若方程的特征根为实数且,则方程的通解为,3.若方程的特征根为复数,则方程的通解为,求微分方程的通解.,例6,解:,方程的特征方程为:,解特征方程得特征根:,故方程的通解为:,判断方程所属类型并说明,例7,解:,方程的特征方程为:,特征方程得特征根:,故通解为:,其求解方法：,求微分方程满足初始条件的特解。,例7,解:,方程的特征方程为:,特征根:,方程的通解为:,方程的通解为:,则,代入初始条件，得:,方程的特解为:,例8,求微分方程,解:,方程的特征方程为:,特征根:,方程的通解:,的通解.,判断下列方程所属类型,例,解:,各方程的特征方程为:,并说明其求解方法：,作业NO.3（2）,分离变量:,解得方程的通解为:,解：,积分:,NO.3（3）,分离变量:,解得方程的通解为:,解：,积分得:,（4）,分离变量:,解：,积分:,解得方程的通解为:,（6）,分离变量:,解得方程的通解为:,解：,积分得:,NO.4（1）,分离变量:,解：,积分得:,方程的通解为:,代入条件得:,（4）,分离变量:,解：,得方程的特解为：,代入条件:,NO6.(6),直接代公式求解：,则,求微分方程,NO.7(5),令,则,从而方程化为:,方程不显含y,一阶可分离型,积分并整理得:,代入条件得,分离变量得：,代入得：,再次积分得的通解:,令,将方程分离变量:,从而原方程化为:,则,积分并整理得:,令,将方程分离变量:,从而原方程化为:,则,积分并整理得:,代入得：,代入得：,NO.10,分离变量：,积分得：,因为,代入条件,代入条件,NO.11,得：,即：,NO.11,一级速率(一级药动力学过程):,（firstorderkineticprocess）,指药物在某房室或某部位的变化速率与该房室或部位的药物量或浓度的一次方成正比。,NO.12.,设t时刻的药物浓度为C(t),由于药物的分解服从一级速率过程，可建立方程：,解得:,代入初始条件C(0)=500,得C=500,故,(速率常数k),又将C(40)=300代入,有,若半衰期是t1/2，则,解得：,将C=30070%=350代入,有,则,所以有效期为27天。,NO.13.,设t时刻的血药浓度为C(t),由于血药的下降服从一级速率过程，可建立方程