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文档简介

齐线性方程的解的性质与结构,常微分方程,4.1线性微分方程的一般理论,线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论.,一、基本概念,它的一般形式为:,（4.1）,则(4.1)变为,我们称以上方程为n阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程,（4.1）称非齐线性方程。,（4.2）,二、齐次线性方程解的性质和结构,定理2(叠加原理),代入方程,得,所以为方程的解.,解:分别将,线性相关:,在(a,b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关.,例2函数,因为如果,在任何区间上都是线性无关的,(1),只有当所有的时才成立.,例3,在任何区间上都线性无关.,在任何区间上都线性相关.,伏朗斯基行列式:,证明:,依次将此恒等式对t微分,得到n个恒等式,注:定理3.3的逆定理不一定成立.,显然对所有的t,恒有,事实上,假设存在恒等式,例5,证明:用反证法,又因为,其系数行列式,故它有非零解,现以这组解构造函数,由解的惟一性知,即这个解满足初始条件,证明:,由定理1知,方程（4.2）满足初始条件,的解一定存在,所以这n个解一定线性无关,故定理得证.,因为,定理6(通解结构定理),证明：,由叠加原理知（4.5）为（4.2）的解，,它包含有n个彼此独立的任意常数。,事实上，,因而（4.5）为方程（4.2）的通解。,下面证明它包含了方程的所有解。,考虑方程组,它的系数行列式是,由定理4知,（4.7）,由线代方程组理论知，方程组（4.7）有唯一解,因此只需（4.5）中的常数取为,它就满足条件（4.6），即包含了方程（4.2）的所有解。,推论,方程（4.2）的线性无关解的最大个数为n。,结论：n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。,基本解组：,方程（4.2）的一组n个线性无关解,注：基本解组不唯一。,4.1.3非齐线性方程与常数变易法,一、非齐次线性方程解的结构,n阶线性非齐次方程的一般形式,（4.1）,性质1,性质2方程(4.1)的任意两个解之差必为(4.2)的解。,定理7,(4.8),证明：,由性质1知(4.8)是方程（4.1）的解，,它包含n个任意常数，与定理6证明一样，知它们是相互独立的，故为（4.1）的通解。,由性质2知，,为方程（4.2）的解，,即,证毕,常数变易法求特解,(4.9),(4.10),在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便,我们按下面的方法来给出这n-1个条件.,对(4.10)式两边对t求导得,令,得到,我们还需要另外n-1个条件来求出,对上式两边继续对t求导,并象上面的方法一样,我们得到,继续上面的做法,直到获得第n-1个条件,最后,将上式两边对t求导得,由上面方程组求得,积分得,解：利用常数变易法，令,将它带入方程，可得关于的方程,解得,于是原方程的通解
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