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文档简介

微分方程初步,微分方程：含有未知函数的导数（微分）的方程。,一、微分方程的有关概念,常微分方程：未知函数是一元函数（即只有一,偏微分方程：未知函数是多元函数（即有两个,个自变量）的微分方程；,或两个以上的自变量）的微分方程；,微分方程,常微分方程,偏微分方程,微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最,高阶导数的阶数。,三阶微分方程.,一阶微分方程.,三阶微分方程.,二阶微分方程.,都是常微分方程，前两个为一阶微分方程，最后一个是二阶微分方程。,练习：,代入微分方程后，,能使方程变为恒等式，则称,微分方程的解：如果函数,为微分方程的解,不难看出，函数，及都是的解。,求微分方程满足初始条件的问题叫做求方程的特解,例1一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点,M(x,y)处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程.,解:,设曲线方程为,即,其中C是任意常数.把x=1，y=2代入上式，,于是所求曲线方程为,得C=1,根据导数的几何意义，,有,两端积分得,验证方程的通解为（C为任意常数），并求满足初始条件的特解。解：由得。将及代入原方程的两边，左边有而右边，所以函数为方程的通解。,例2,再将初始条件代入通解，得，故所求特解为。,二、可分离变量的微分方程,形如,的微分方程称为可分离变量的微分方程。,或,（1）,可分离变量的微分方程一定能写成,（2）,(2)称为微分方程(1)的隐式解，也称为微分方程(1)的,隐式通解.,（1）的求解方法与步骤为：,分离变量，使方程变为：,两边积分：,得通解：,微分方程的这种解法称为分离变量法,例3求微分方程,解,从而,两端积分得,令,将原方程分离变量得,得通解为,的通解.,练习求微分方程,的通解.,解：,将原方程分离变量得,两端积分得,从而,令,得通解为,解分离变量得两边积分，得故方程的通解为,练习求微分方程,的通解.,分离变量得两边积分得,练习求微分方程,的特解.,解：,满足,将初始条件代入上式得故特解为，化简得,练习求微分方程,满足条件,的特解.,解：,分离变量得,两端积分得,通解为,将条件,代入得C=-1，,所求特解为,解：,两端积分,得,将原方程分离变量,即,例4求微分方程,时的特解.,的通解,并求当,从而,得通解为:,代入,得,所以方程的特解为：,解：,两端积分,得,将原方程分离
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