天津第一中学数学不等式资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 1 / 1313 第一学期 第十六周第一学期 第十六周 课程内容 不等式 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 3 / 1313 本阶段知识要点：不等式与不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法、不等式的 应用. （一）不等式的性质： （一）不等式的性质： （1）cacbbaabba,)2( (3) bcacbacbcaba+ (4) dbcadcba+ , (5) dbcadcba , (6) bcaccba0, (7) bcaccba0, 0 (9) ba abba 11 0, (10) )2(0 * nNnbaba nn 且 （11）)2(0 * nNnbaba nn 且 注意：函数单调性与不等式性质的综合应用。高考中，对于不等式性质主要考查： （1） 由已知条件，利用不等式性质，判断不等式或与其有关的结论是否成立。 （2） 利用不等式性质，进行数值大小的比较。 （3） 利用不等式性质，判断 P 是 Q 的充分条件、必要条件、充分必要条件或既非充 分也非必要条件。 （二）不等式的解法： （二）不等式的解法： 1 理解并掌握同解不等式的概念。 2 掌握不等式的两个同解原理。 f(x)g(x)f(x)-g(x)0 若a0，则 f(x)g(x)af(x) ag(x) 若ag(x) af(x) 0)( 0)( 0)( 0)( 0 )( )( 0)( 0)()( 0 )( )( 0)( 0)( 0)( 0)( 0 )( )( 0)( 0)()( 0 )( )( 0)( 0)( 0)( 0)( 0 )( )( 0)()(0 )( )( 0)( 0)( 0)( 0)( 0 )( )( 0)()(0 )( )( xg xf xg xf xg xf xg xgxf xg xf xg xf xg xf xg xf xg xgxf xg xf xg xf xg xf xg xf xgxf xg xf xg xf xg xf xg xf xgxf xg xf 或或 或或 或或 或或 说明： 说明： . ,)(; 0 )( )()()( :.).()()(: )()()(),( )( )( 但使用时一定要谨慎办法也是可以采取乘过去的用正确的不等式的性质 利当然恒为正数或恒为负数时如果能够确定方法变形合并化简后再按上面的 应该先移项变形为这一点要千万注意去分母变为 时不能乘以或负数恒为正数在不能确定对于分式不等式 xg xg xgxhxf xhxgxf xgxgxh xg xf 6无理不等式的解法 无理不等式的解题思路是将无理不等式转化为有理不等式（组）即转化为整式不等式 （组）或分式不等式. 0)( 0)( )()( 0)( 0)( )()( )()() 1 2 xg xf xgxf xg xf xgxf xgxf 或 型 在这里需要指出的是这个无理不等式等价于这两个不等式组.想一想这是为什么？这里 实际使用了非负数大于非负数的解法和非负数大于负数的实数运算的法则. 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 5 / 1313 或 2）)()()()()(xgxfxgxgxf 6指数不等式和对数不等式 首先将不等式经过同解变形,化成同底数的指数式或对数式,然后根据指数函数或对数函 数的增减性,将其转化为代数不等式（组）求解. 当 a1 时 )()(0 )()( 0)( 0)( )(log)(log )()( 10 0)()( )()( 0)( 0)( )(log)(log )()( )()( )()( xgxf xgxf xg xf xgxf xgxfaa a xgxf xgxf xg xf xgxf xgxfaa aa xgxf aa xgxf 时当 （三）不等式的应用 （三）不等式的应用 1不等式应用过程中常用的重要基本不等式： （1） 设a,bR，则a 2+b22ab 或ab 2 2 + ba 或 2 22 22 + +baba （当且仅 当a=b 时取“”号） （2） 设a,b,cR, 则a 2+b2+c2ab+bc+ca(当且仅当a=b=c 时取 “=”号) （3） 设a,b,cR*, 则a 3+b3+c33abc(当且仅当a=b=c 时取 “=”号) （4） 设 i a R*, (i=1,2,n),则 n n n aaa n aaa . . 21 21 + (当且仅当 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 6 / 1313 a1=a2=an时取 “=”号) 2利用均值不等式求函数最值 ),() 2 (,2 2 时取等号当且仅当均为正数这里baba ba ababba= + + 使用上述不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件.即 a，b，c 必须为正 数；和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值；最值在每项相等时取得. 3应用不等式知识可以解决很多函数，方程等方面的问题，在解决这些问题时，要 弄清如何把非不等式问题转化为不等式问题；在化归与转化中，要注意等价性. 4对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象 出事物系统的主要特征与关系，建立起相应的能反映其本质属性的数学结构，从而建立起 数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题. 例 1 例 1以下四个命题中，正确命题的个数是（ ） baba| 22 baba baba | baba| (A) 1 个 （B） 2 个 （C） 3 个 （D） 4 个 因为baaa又,|由不等式的传递性知|a|b. 正确. 设a0，b-2 则不成 立. 又令a2，b1 则不成立. a|b|bab正确. 所以选（B）. 例 2例 2设甲：m 和 n 满足 + ; 30 42 mn nm 乙：m 和 n 满足 , 32 10 n m 那么（ ） （A） 甲是乙的充分条件，但不是必要条件. （B） 甲是乙的必要条件，但不是充分条件. （C） 甲是乙的充要条件. （D） 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件. 分析：分析：由 + , 30 42 , 32 10 mn nm n m 可推出但反过来不一定成立.如设 m=2,n=1, 这时，满足 ， 但不满足 ，因此，甲是乙的必要不充分 条件. 故选（B）. 例 3例 3已知abd 则 d_0; (2) a c _ b c ; (3) (a-2) c _ (b-2) c; (4); |_|ba (5) a 2_b2; (6) b-a_ |a|-|b|. 分析：分析：adbd 0 00)( ba ddba 故填号. + 30 40 mn nm 30 10 n m 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 7 / 1313 因为a故又, 0 11 填号. 故填号. abbaba=+=|.所以填=号. 例 4例 4已知 f(x)=ax2-c，且-4f(1)-1, -1f(2)5 求 f(3)的取值范围. 解法一： 解法一： 541 14 5)2(1 1) 1 (4 ca ca f f 令： caf uv c uv a vcauca= = = =9)3(, 3 4 3 4 ,. 即 .20) 3(1 20 3 5 3 8 1 3 20 3 5 3 5 , 3 40 3 8 3 8 , 5114 3 5 3 8 3 4 )(3) 3( = = f v vuv vuu vuv uvf 故 亦即所以 ，而 解法二： 解法二： = = =+ =+ =+ =+ = 所以 所以有： 即令 3 8 3 5 1 94 9)()4( 9)4()( .9)3( 541 14 5)2(1 1) 1 (4 B A BA BA cacBAaBA cacaBcaA caf ca ca f f 3 20 )( 3 5 3 5 ca 20)3(1 3 40 )4( 3 8 3 8 f ca所以 注：注：不能由 541 14 ca ca 求出a、c 的范围，再用此范围求 f(3)的范围. 否则错用 了不等式的性质. 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 / 1313 事实上，如取20, 11ca + 31 13 ca ca . 例 5例 5解不等式 x4-5x3-4x2+20 x0 解: x(x3-5x2-4x+20)0 继续分解: x(x-5)(x+2)(x-2)0 列表： 根 符 因式 号 x-2 -2 -2x0 0 0x2 +2 2x5 x+2 - + + + + x-0 - - + + + x-2 - - - + + x-5 - - - - + x(x+2)(x-2)(x-5) + - + - + 由表可知 x4-5x3-4x2+20 x0 的解为: -2x0 或 2x5 原不等式解集为x|-2x0 或 2x5 观察上表可以得知：把高次不等式左边因式分解为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)其中 x1,x2,xn两两不等,把各因式对应的根按照自左至右,从小到大的顺序排出,将各因式对应 的根标在数轴上,那么积的 f(x)符号从右往左的区间里有先正后负,正负交替出现的规律. 为了形象体现 f(x)的值的符号变化规律,可以从右上方 开始画一条曲线,依次穿过每一个 根所对应的点,穿过最后一个点后,就不再改变方向,而向上（或向下）无限伸展,这种方法也 称为穿针引线法.如图： 因此使曲线在数轴下方的 x 的范围就是原不等式的解集.x|-2x0 或 2x5 一定要注意曲线的画法从右向左,先上后下的画.学习了这种穿针引线法你对于二次不等 式 x2-7x+100 原不等式等价为 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 9 / 1313 + + 212 1 )2(0)2)(1)(2( ) 1 (0) 1() 1( 22 xx x xxx xx 或 原不等式的解集为x|-2x-1 或-1x2 说明： 说明： 10因式分解后,各因式 x 的系数应为正数. 20遇有重因式时,可利用偶次因式非负化简不等式. 例 7例 7 解下列分式不等式 0 472 ) 13( . 1 2 3 xx x 解： 解： 0 ) 12)(4( ) 13( 0 472 ) 13( 3 2 3 + xx x xx x 0)4)( 3 1 )( 2 1 ( 0)4)(13)(12(0 ) 12)(4( ) 13( + 0 和 x0(|x|-5)(|x|+3)0 |x|5 (|x|+30 恒成立) 所以： x5 或 x-5. 解 2.解 2. 分析：分析：欲去掉“| |”须分段讨论. 1. 当 x-1 时 x+3+x+11. 解集为. 2. 当-1x3 时 x+3-x-1 2 1 . 所以 2 1 Rxxx, 2 1 |. 注：注：应把各段并在一起. 解 3.解 3. 方法一：1 x0 时，x2- 2 1 2x 或 x2- 2 1 -2x ), 2 6 1 () 2 6 1,( 2 6 10 2 6 1 2 6 1 2 6 1 2 6 1 2 6 1 + + +0)的充要条件. 分段讨论，或乘方. 例 9例 9解不等式 )1(332 ) 2 1 (2 2 xxx 解：原不等式整理为： )1 (332 22 2 xxx y f(x) g(x) 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1111 / 1313 2306)1 (332 22 +xxxxxx 原不等式解集为23| 143 043 130 143 043 13 2 2 2 2 xx xx x II xx xx x I或 + 053 14 43 2 293 2 293 14 4 2 xx xx x II x xx x I或或或 2 293 4| : 2 293 4: + + + + + : 2 0, 02 2 : 2 001 2 : 0 2 0 ,.11 0 0 不等式组的解为时当 不等式组的解为时且当 原不等式组化为解 试解不等式组同号若例 例 12例 12解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+10,其中 a0 0) 1 )(1( 0 1 ) 1 1 ( 0: 2 + a xx a x a x a原不等式变为解 Q a0 10 1 a 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1212 / 1313 原不等式解集为x|1 1 0) 将原函数化为 3 323 332 1 3 3 1 33t t y 2 + = + = + = t t t 3 323 y 23, 3t, t 3 t max 2 + = =时即当且仅当x 例 14例 14设 a、b. xR+，a、b 为常数，且 x bxax y )(+ =，求 y 的最小值。 baab baab ba x ab x x += + += + = 2yabx, x ab x 2 )( b)a)(x(x y: min 时即当且仅当 解 例 15 例 15若ba、均为正数，且 22 ) 1 () 1 (, 1 b b a aba+=+求的最小值. 解法一 解法一 含绝对值 不等式 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1313 / 1313 2 ) 1 1 ( 2 ) 1 () 1 ( ) 1 () 1 ( 2 2 22 ab b b a a b b a a + = + + 2 25 2 )41 ( 2 2)( 1 1 2 2 2 = + = + + ba 当 1=+ = ba ba 即 2 1 = ba时，等号同时成立，即 22 ) 1 () 1 ( b b a a+的最小值为 2 25 解法二 解法二 22 2 22 22 2 2 2 2 22 11 2 )( 4 11 4 1 2 1 2 ) 1 () 1 ( ba ba ba ba b b a a b b a a + + + += += + 2 25 8 2 1 4 ) 2 ( 2 2 1 4 )2( 2 2 1 4 2 22 =+= + + + ba abba ab 当 1=+ = ba ba 即 2 1 = ba时，等号同时成立即 22 ) 1 () 1 ( b b a a+的最小值为 2 25 注：注：在利用不等式求最值的过程中，不一定“放”或“缩 ”一次即出现定值，可能放大或缩 小若干次才能出现定值，那么最值能否取得，关键是，能否存在一个时刻使“”同时成 立，以上两种解法都有这样的时刻即 2 1 = ba时，使得“”同时可取得，因此仍能取得最 值. 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 13 不等式的性质与解法不等式的性质与解法 一选择题 一选择题 )(,1, 1, 1. 1则xxbxxax+= （A）ab （B）ab （C）ab （D）ab 2设 a0，a + b0，则下列不等式中成立的是（ ） （A）ab + a20 （B）ab b20 （C）ab + b20 （D）ab b20 3如果 loga3logb3，且 a + b = 1，那么（ ） （A）0ab1 （B）0ba1 （C）1ab （D）1ba 4若 a，bR，且 ab，在（1）a2 + 3ab2b2；（2）a5 + b5a3b2 + a2b3；（3） a2 + b2 )(,2)4();1(2恒成立的有这四个式子中+ a b b a ba （A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个 )(0 12 2 . 5 2 2 的解集是不等式+ bba a b a b baRba则在下面三个不等式且若 （3）(a 1)2(b 1)2中不成立的有_个. ).1lg( )1_lg()1lg(2, 0, 0. 7 b aabba + +为则下面两式的大小关系设 8已知函数 f (x) = ax2 + 2x + 1 的定义域为-1，1，若值域中既有正数，也有负数，则 a 的取值范围为_. 9函数 f (x) = logax 在2，+）上恒有|f (x)|1，则 a 的取值范围为_. 三解答题 三解答题 . 8 )( 28 )( :, 0.10 22 b ba ab ba a ba ba 求证已知 不等式的应用不等式的应用 一选择题： 一选择题： 1已知方程 sin2x 4sinx + 1 a = 0 有解，则实数 a 的取值范围是（ ） （A）-3，6 （B）-2，6 （C）-3，2 （D）-2，2 2已知 x、y、zR*，且 xyz (x + y + z) = 1，则 (x + y) (y + z)的最小值为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 13 3设、是二次方程 x2 2kx + k + 6 = 0 的两实根，则对(- 1)2 + (- 1)2的正确判断 是（ ） 无最值最大值为最小值为 最小值为最小值为 )(18, 4 49 )( 18)( 4 49 )( DC BA 3)( 2 3 )( 3 3 )( 2 1 )( )(, 3)2( . 4 22 DCBA x y yxyx的最大值是那么满足等式、如果实数=+ 5已知函数 y = x2 2x + 3 在0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 （ ） （A）1，+） （B）0，2 （C）（-，2 （D）1，2 二填空题 二填空题 _ sin 4 sin), 0( . 6 的最小值是则若 x xyx+= 7当关于 x 的方程 log4x2 = log2 (x + 4) a 的根在区间（-2，-1）内时，实数 a 的取值 范围是_ 8设长方体的体积为 1000cm3，则它的表面积的最小值为 _ _) 1( 1 107 .10 _12 . 9 2 的最小值是函数 大值为的直角三角形面积的最周长为 + + = + x x xx y 三解答题 三解答题 11某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案，其中 pq0. 次 方案 第一次提价 第二次提价 甲 p% q% 乙 q% p% 丙 % 2 qp + % 2 qp + 经两次提价后，哪种方案的提价幅度大？ 不等式的性质与解法 不等式的性质与解法 一选择题 一选择题 1下列命题错误的是（ ） （A）若 ab，则 a + m2b + m2 （B）若 ab，bc，则 ac 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 13 （C）若 ab，则 am2bm2 22 , 0,)( m b m a mbaD则若 2下列命题中，正确的命题是（ ） 若 ab，cb，则 ac 0lg, b a ba则若 若 ab，cd，则 acbd ba ba 11 . 0 则若 bcad d b c a 则若, 若 ab，cd，则 a db c （A） （B） （C） （D） 2 94 )6( 2 32 32 62 )( 32 62 2 94 )6( 2 32 )( 32 62 2 32 )6( 2 94 )( 32 62 )6( 2 32 2 94 )( )( 32 62 )6( 2 32 2 94 . 3 xx x xx xx x xx xxx x xx xx xxx x xx xx x x xxxx xx x x xxxx D C B A + + + + + + + + + + + + + + 的大小顺序是、 4已知 x2 + y2 + z2 = 1，则下列不等式中成立的是（ ） 3 3 )( 9 3 |)( 2 1 )(1)()( 333 2 + + zyxDxyzC zxyzxyBzyxA ), 2 (),(), 2 (,) 2 1 ()( . 5 * ba ab fCabfB ba fARbaxf x + = + =、已知函数则 A，B，C 的大小关系是（ ） （A）ABC （B）ACB （C）BCA （D）CBA )( ,loglog10*)() 12( ) 12(*)( . 6 11 1212 其中错误的是 以下四个命题 xyyx yc y xc x yxcNny xyxNnyxyx yx n nnn + +已知且求证 不等式的应用不等式的应用 一选择题 一选择题 1函数 f (x) = x2 2x + 3，x（0，3的值域是（ ） （A）（2，6） （B）2，6 （C）3，6 （D）（3，6） 2不等式 x2 + x + x-1 + x-20 的解集是（ ） （A） （B）xR | x0 （C）xR | x0 （D）xR | x0 或 x0 3若 a，bR，则使|a| + |b|1 成立的充分不必要条件是（ ） 1)(1|)( 2 1 | 2 1 |)(1|)( + bDaC baBbaA且 4已知 x、y 为正实数，且 x，a1，a2，y 成等差数列，x，b1，b2，y 成等比数列，则 )( )( 21 2 21 的取值范围是 bb aa+ （A）R （B）（0，4 （C）4，+） （D）（-，04，+） 5某种商品的零售价 1996 年比 1994 年上涨 25%，由于采取措施控制物价，结果使 1998 年的物价仅比 1994 年上涨 10%，那么 1998 年比 1996 年的物价下降（ ） （A）15% （B）12% （C）10% （D）5% 6在锐角ABC 中，a = 1，b = 2，则 c 边长度的范围是（ ） 53)(31)(51)(5)(=+ 的解集是 。 3、不等式 11 2x =+则() U C ABI等于 A 1,4) B(2,3) C(2,3 D( 1,4) 5、设集合 M= x| 2 xx0 ， ， ， 则不等式 2 ( )f xx的解集为（ ） A11 ， B2 2 ， C21 ， D12 ， 11、已知a1a2a30，则使得 2 (1)1(12 3) i a xi，则下列不等式中正确的是（ ） A、0ba B、 33 0ab+ C、 22 0ab 13、下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是 A1ab+ B1ab C 22 ab D 33 ab 14、若, a b为实数，则“0ab1”是“ 11 ab ba 或 ”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 15、（）设函数 2 ( )ln(1) 2 x f xx x =+ + ，证明：当0 x时，( )0f x ； （）从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续 抽取 20 次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为p证明： 19 2 91 () 10 p e + + + + = + = + aba aba aba ababa a ababa ba a baba ab ba a b