天津第一中学数学概率与统计综合资料理pdf

高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 11 第二学期 第十四周第二学期 第十四周 课程内容 概率与统计综合性题型 2014-2015 学年 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 11 本周我们将进行概率与统计综合性题型的分析及解题策略. 命题趋向：命题趋向：概率与统计以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中是相对独立 的，但是，概率与统计试题的背景与日常生活最贴近，联系最为紧密，不管是从内容上， 还是从思想方法上，都体现着应用的观念与意识，在展现分类讨论、化归思想的同时，培 养学生解决问题的能力.在高考的考查中，基本上都是 1 道小题以及 1 道解答题，其中小题 较容易，解答题逐渐取代了 90 年代兴起的应用题，其难度不大，但有一定的灵活性，对 题目的背景和题意理解要求较高，高考中解答题仍可能是文科题重点考查古典概率，互斥 事件的概率，独立事件的概率，独立重复事件的概率等，考查应用意识和实践能力；理科 重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生 的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力，难度可能 有所提升，考生应有心理准备.文科一般两个问题都考查概率问题，而理科一般第 1 问考概 率的计算，第 2 问考分布列、期望的计算. 一考试要求：一考试要求： 1了解等可能性事件的概念的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率 2了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发 生 k 次的概率 3了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列 4了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出 期望值、方差 5会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本 6会用样本频率分布去估计总体分布，了解正态分布的意义与主要性质及线性回归的 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 11 方法和简单应用 二考点透视：二考点透视： 主要考点： （1）等可能事件、互斥事件(对立事件)、相互独立事件及独立重复实验的基本知识及四 种概率计算公式的应用，考查基础知识和基本计算能力. （2）求简单随机变量的分布列、数学期望及方差，特别是二项分布，常以现实生活、社 会热点为载体. （3）抽样方法的确定与计算、总体分布的估计. 题型一 几类基本概型之间的综合题型一 几类基本概型之间的综合 在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在 一起进行考查，主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相 互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把 题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题 目中的隐含条件. 【例 1】【例 1】在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 10 张卡片，每张卡片印 有一个汉字的拼音，其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”. （）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张，测试后放回，余下 2 位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片 上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。（）若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率. 【分析】【分析】第（）小题首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率，再利用相互独 立事件的概率公式计算；第（）利用等可能事件与互斥事件的概论公式计算. 【解】【解】（）每次测试中，被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上，拼音带有 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 11 后鼻音“g”的概率为 3 10 ，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立 的，因而所求的概率为 3 10 3 10 3 10 27 1000 . （）设 Ai(i1，2，3)表示所抽取的三张卡片中，恰有 i 张卡片带有后鼻音“g”的事 件，且其相应的概率为 P(Ai)，则 P(A2) C 1 7 C 2 3 C 3 10 7 40 ，P(A3) C 3 3 C 3 10 1 120 ， 因而所求概率为 P(A2A3)P(A2)P(A3) 7 40 1 120 11 60 . 【点评】【点评】本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率.解答题注意不要 混淆了互斥事件与相互独立事件，第（）的解答根据是“不少于”将事件分成了两个 等可能事件，同时也可以利用事件的对立事件进行计算. 【例 2】【例 2】三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为 1 5 ， 1 4 ， 1 3 ，且他们是否破译出密码互不影响。 ()求恰有二人破译出密码的概率； ()“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由. 【分析】【分析】第（）小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥的事件进行计算；第 （）小题利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算“密码未被破译”的概率，然后再 利用对立事件可计算“密码被破译”的概率，进而比较大小. 【解】【解】记“第 i个人破译出密码”为事件 Ai(i1，2，3)，依题意有 P(A1) 1 5 ，P(A2) 1 4 ，P(A3) 1 3 ，且 A1，A2，A3 相互独立. ()设“恰好二人破译出密码”为事件 B，则有 BA1A2 A3A1 A2A3 A1A2A3，且 A1A2 A3、A1 A2A3、 A1A2A3 彼此互斥 于是 P(B)P(A1A2 A3)P(A1 A2A3)P( A1A2A3) 1 5 1 4 2 3 1 5 3 4 1 3 4 5 1 4 1 3 3 20 . 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 11 答：恰好二人破译出密码的概率为 3 20 . ()设“密码被破译”为事件 C，“密码未被破译”为事件 D. D A1 A2 A3，且 A1、 A2、 A3相互独立，则 P(D)P( A1)P( A2)P( A3) 4 5 3 4 2 3 2 5 . 而 P(C)1P(D) 3 5 ，故 P(C)P(D). 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 【点评】【点评】本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第（）小题正 确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件，而第（）的解答则充分利用对 立事件进行的计算.一般情况下，如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁，则可以考虑 计算对立事件的概率来解答. 【例 3】【例 3】在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中，只有一个是正确的.若对 4 道选择 题中的每一道都任意选定一个答案，求这 4 道题中：()恰有两道题答对的概率；()至少 答对一道题的概率. 【分析】【分析】第()小题事件为独立重复试验，因此可直接计算；第()小题可以考虑利用 正确解答，也可以考虑其对立事件进行解答. 【解】【解】“选择每道题的答案”为一次试验，则这是 4 次独立重复试验，且每次试验中“选 择正确”这一事件发生的概率为 1 4 .由独立重复试验的概率计算公式得： （）恰有两道题答对的概率为 P4(2)C 2 4 ( 1 4 ) 2 ( 3 4 ) 2 27 128 . （）解法一：至少有一道题答对的概率为 1P4(0)1C 0 4 ( 1 4 ) 0 ( 3 4 ) 4 1 81 256 175 256 . 解法二：至少有一道题答对的概率为分为 4 类情形： P4(1)C 1 4 ( 1 4 ) 1 ( 3 4 ) 3 108 256 ，P4(2)C 2 4 ( 1 4 ) 2 ( 3 4 ) 2 27 128 ，P4(3)C 3 4 ( 1 4 ) 3 ( 3 4 ) 1 12 256 ， 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 11 P4(4)C 4 4 ( 1 4 ) 4 ( 3 4 ) 0 1 256 . 所以至少答对一道的概率为 P4(1)P4(2)P4(3)P4(4) 108 256 54 256 12 256 1 256 175 256 . 【点评】【点评】本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.从第()小题 的两种解法可以看到，当正确解答分类情况较多时，还是计算其对立事件的概率来的 快. 题型二 求离散型随机变量的分布列、期望与方差题型二 求离散型随机变量的分布列、期望与方差 此考点主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处 理信息的能力.主要题型：（1）离散型随机变量分布列的判断；（2）求离散型随机变量的 分布列、期望与方差应用；（3）根据离散型随机变量的分布列求概率；（4）根离散型随 机变量分布列、期望与方差性质的求参数. 【例 4】【例 4】袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n 1，2，3，4).现从袋中任取一球. 表示所取球的标号. ()求 的分布列，期望和方差； ()若 ab，E1，D11，试求 a，b 的值. 【分析】【分析】第()小题根据等可能事件的概率计算公式可求 取 0、1、2、3、4 时的概 率，从而得分布列；第()小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决. 【解】【解】 （） 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E0 1 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 4 1 5 1.5. 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 11 D(01.5) 2 1 2 (11.5) 2 1 20 (21.5) 2 1 10 (31.5) 2 3 20 (41.5) 2 1 5 2.75. （）由 Da 2 D，EaEb，得 a 2 2.7511 1.5ab1 ，解得 a2 b2 或 a2 b4 . 【点评】【点评】（1）求离散型随机变量的分布列有三个步骤：明确随机变量 X 取哪些 值；计算随机变量 X 取每一个值时的概率；将结果用二维表格形式给出.计算概率时注 意结合排列与组合知识. （2）而解决分布列、期望与方差及应用等问题，一般利用它们相关的性质就可以求解 或通过建立方程来解决 【例 5】【例 5】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购 买保险的一年度内出险，则可以获得 10000 元的赔偿金假定在一年度内有 10000 人购 买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10000 元的概率为 10.999 10 4 . ()求一投保人在一年度内出险的概率 p； ()设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元，为保证盈利的期望 不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） 【分析】【分析】第（）小题利用对立事件，并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出 险的概率 p；第（）小题首先求投保的 10000 人中出险的人数 的期望，再利用期 望的线性关系的性质求取盈利期望 E 的值. 【解】【解】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p， 记投保的 10000 人中出险的人数为 ，则 B(10 4 ，p) （）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10000 元赔偿金，则 A发生当且 仅当 0，P(A)1P( A)1P(0)1(1p) 10 4 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 11 又 P(A)10.999 10 4 ，故 p0.001 （）该险种总收入为 10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和 支出 1000050000，盈利 10000a(1000050000)， 盈利的期望为 E10000a10000E50000， 由 B(10 4 ，10 3 )知，E10 4 10 3 ， E10 4 a10 4 E510 4 10 4 a10 4 10 4 10 3 510 4 . E010 4 a10 4 10 4 10 3 510 4 0a15(元). 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 【点评】【点评】本题主要考查二项分布的期望计算及性质的应用.二项分布的期望与方差的计 算一般不利用求解离散型随机变量 X 的期望与方差的方法求解，因计算较为繁琐，而是根 据其自身的期望与方差的计算公式，常可使问题得到快速的解决. 【例 6】【例 6】因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的 方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量 的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾 前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一 年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案，第二年与第一年相互独 立。令 i(i1，2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数 （）写出 1、2 的分布列； （）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ （）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益 10 万 元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益 15 万元；柑桔产量超过灾前产 量，预计可带来效益 20 万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？ 【分析】【分析】第()小题将首先根据两年后增长倍数确定 1、2 的取值，同时由相应的概 率积可即可得分布列；第()小题根据分布列将满足条件的数据相加即可比较得结果；第 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 11 ()小题根据第()小题的分布列确定关于两个方案带来的效益 i(i1、2)的分布列，再 通过计算期望进行比较. 【解】【解】（）1 的所有取值为 0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，2 的所有取值为 0.8、 0.96、1.0、1.2、1.44.1、2 的分布列分别为： 1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 （）令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件， P(A)0.150.150.3，P(B)0.240.080.32, 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大. （）令 1 表示方案i所带来的效益，则 1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以 E1100.35150.35200.314.75， E2100.35150.18200.3214.75， 可见，方案一所带来的平均效益更大. 【点评】【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，以及根据期望进行比较方案 优劣.此题比较有新意，表现在一个分布列的建立须根据前一个分布列的数据，解答此题的 易错之处：由于本题涉及到的数据较多，交叉性也较强，因此容易把对应的数据搞错. 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 11 题型三 抽样方法的识别与计算题型三 抽样方法的识别与计算 此考点在高考中常常结合应用问题考查构照抽样模型，搜集数据，处理材料等研究性 学习的能力，主要考查题型：(1)根据所要解决的问题确定需要采用的何种抽样方法；(2)根 据各类抽象方法的具体特点求相关的数据. 【例 7】【例 7】某林场有树苗 30000 棵，其中松树苗 4000 棵为调查树苗的生长情况，采 用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的数量为( ) A30 B25 C20 D15 【分析】【分析】利用分层抽样的特点，按比较进行计算即可. 【解】【解】设样本中松树苗的数量为x，则 150 30000 x 4000 ，解得 x20. 点评：点评：确定抽样方法必须根据各种抽样方法的特点来判断：总体中的个体数较少时， 宜用简单随机抽样；总体由差异明显的几部分组成时，宜用分层抽样.而关于抽样方法的计 算主要集中在分层抽样上，一般按比例进行计算. 题型四 总体分布的估计题型四 总体分布的估计 此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布 表与频率分布直方图，同时考查识图、用图的能力.主要 题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件下的个体频 数与频率、参数等相关的数据；（2）频率分布表与频率 分布表或直方图的完善. 【例 8】【例 8】为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 位工人某天生产该产 品的数量.产品数量的分组区间为45，55，55，65，65，75，75，85，85，95)， 由此得到频率分布直方图如图 3，则这 20 名工人中一天生产该产品数量在55，75)，的人 数是_. 【分析】【分析】 利用频率分布直方图的表示的概率意义及相关数据进行计算即可. 【解】【解】 20(0.040100.02510)13. 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 11 点评：点评：解答此类问题主要有三条途径：利用所有分组对应的频率之和为 1；利用 公式：频率条形图的面积纵坐标横坐标，或利用公式频数样本容量频率；利用 频率分布图中相关数据；利用频率分布表绘制频率分布直方图. 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 /13 一、选择题 1在抽查某产品的尺寸过程中，将其中尺寸分成若干组，a，b是其中一组，抽查出的个 体数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|ab|等于（ ） Ahm B h m C m h D与 m，n 无关 2把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点 数为 b，向量 m(a，b)， n （1，2），则向量 m与向量 n 垂直的概率是（ ） A 1 6 B 1 12 C 1 9 D 1 18 3中有 40 个小球，其中红色球 16 个、蓝色球 12 个，白色球 8 个，黄色球 4 个，从中 随机抽取 10 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 C 1 4 C 2 8 C 3 12 C 4 16 C 10 40 C 2 4 C 1 8 C 3 12 C 4 16 C 10 40 C 2 4 C 1 8 C 1 12 C 4 16 C 10 40 C 1 4 C 3 8 C 4 12 C 2 16 C 10 40 4某校有高级教师 26 人，中级教师 104 人，其他教师若干人为了了解该校教师的工资 收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查，已知从其他教师 中共抽取了 16 人，则该校共有教师人为( ) A81 B152 C182 D202 5设某种动物由出生算起活到 10 岁的概率为 0.9，活到 15 岁的概率为 0.6，现有一个 10 岁的这种动物，它能活到 15 岁的概率是( ) A 3 5 B 3 10 C 2 3 D 27 50 6从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中 至少有 2 张价格相同的概率为( ) A 1 4 B 79 120 C 3 4 D 23 24 72011 年的 2 月有 28 天，1 月，3 月，5 月，7 月，8 月，10 月，12 月均有 31 天，其 余月均有 30 天，若从 12 个月中随机抽取 3 个月，恰有一个月有 30 天的概率是（ ） A 7 22 B 28 55 C 21 55 D 1 2 8在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1、2、3、18 的 18 名火炬手若从中任 选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为（ ） A 1 51 B 1 68 C 1 306 D 1 408 9某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9.已知这组数据 的平均数为 10，方差为 2，则xy的值为( ) 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 /13 信号源 A1 B2 C3 D4 10一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c （a，b。，c(0，1)），已知他投篮一次得分的期望为 2，则 2 a 1 3b 的最小值为( ) A 32 3 B 28 3 C 14 3 D 16 3 11右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在 同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收 到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三 组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把 所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接 收器能同时接收到信号的概率是 A 4 45 B 1 36 C 4 15 D 8 15 12已知随机变量 X 分布列如下表(nN*)： X 1 2 n1 n P 1 12 1 23 1 (n1)n x 则表中 x 为( ) A 1 n(n1) B 1 (n1)(n2) C 1 n D 1 n1 13已经一组函数 y2sin(x)(0，02)，其中 在集合 2、3、4 中任取 一个数，在集合 3 ， 2 ， 2 3 ， 4 3 ， 5 3 ，2中任取一个数.从这些函数中任意抽取 两个，其图象能经过相同的平移后得到函数 y2sinx 的图象的概率是 ( ) A 8 21 B 1 3 C 4 105 D 1 30 一、填空题 1已知数据 x1，x2，x3，xn 的平均数为 a，则数据 3x12，3x22，3x32， 3xn2 的平均数是_. 2某校高中研究性学习小组对本地区 2006 年至 2008 年快餐公司发展情况进行了调查， 制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形 图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 _万盒 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 /13 3一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c （a、b、c(0，1)），已知他投篮一次得分的数学期望为 2（不计其它得分情况）， 则 ab 的最大值为_ 4在样本的频率分布直方图中，共有 4 个小长方形，这 4 个小长方形的面积由小到大构 成等差数列an，已知 1 2 2a a = ，且样本容量为 400，则小长方形面积最大的一组的频 数为_ 二、解答题 1某次有奖竞猜活动中，主持人准备了 A、B 两个相互独立问题，并且宣布：观众答对 问题 A 可获奖金 a 元，答对问题 B 可获奖金 2a 元，先答哪个问题由观众选择，只有 第一个问题答对才能再答第 2 个问题，否则终止答题。若你被选为幸运观众，且假设 你答对问题 A、B 的概率分别为 1 2 ， 1 3 .问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的 期望最大？说明理由。 2将两颗骰子先后各抛一次，a，b 表示抛甲、乙两颗骰子所得的点数.()若点(a，b)落 在不等式组 x0 y0 xy4 表示的平面区域内的事件记为 A，求事件 A 的概率；()若点 (a，b)落在直线 xym 上，且使此事件的概率最大，求 m 的值. 3学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5 人，现从中选 2 人设 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且 P(0) 7 10 ()求文娱队的人数；()写出 的概率分布列并计算 E 4某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A、B 两项技术指标需要检测，设各 项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 5 12 ，至少一项 技术指标达标的概率为 11 12 按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品. （）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？ （）任意依次抽出 5 个零件进行检测，求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少？ 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 /13 （）任意依次抽取该种零件 4 个，设 表示其中合格品的个数，求 E 与 D. 5某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每 次测试的概率分别是 4 5 和 3 4 .假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响. ()求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少 1 次未通过的概率； ()求甲、乙两人各连续 3 个月参加技能测试，甲工人恰好通过 2 次且乙工人恰好通过 1 次的概率； ()工厂规定：工人连续 2 次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加 4 次 测试后被撤销上岗资格的概率. 6甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面 试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人 面试合格的概率都是 1 2 ，且面试是否合格互不影响.求：（）至少有 1 人面试合格的 概率；（）签约人数 的分布列和数学期望. 1. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业 建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 1 2 、 1 3 、 1 6 ，现在 3 名工人独 立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。 2. 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红 灯的概率都是 1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望. 3. 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 t 该产品获利润500元,未售出的产品, 每 t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经 销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t, 150 100 X )表示下一个销售 季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. ()将T 表示为X 的函数; ()根据直方图估计利润T 不少于 57000 元的概率; ()在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的 频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 100,110) X ,则取 105 X = ,且 105 X = 的概率等于需求量落入100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 /13 4. 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,24 这24个整数中等可能随机 产生. ()分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为的概率 (1,2,3) i P i = ; ()甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输 出 y 的值为 (1,2,3) i i = 的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行次数n 输出 y 的值为的频数 输出 y 的值为2的频数 输出 y 的值为3的频数 30 14 6 10 2100 1027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行次数n 输出 y 的值为的频数 输出 y 的值为2的频数 输出 y 的值为3的频数 30 12 11 7 2100 1051 696 353 当 2100 n = 时,根据表中的数据,分别写出 甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 (1,2,3) i i = 的频率(用分数表示),并判断两位 同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可 能性较大; ()按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求 输出 y 的值为 2 的次数 的分布列及数学期 望. / 频率 组距 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 100 110 120 130 140 150 需求量 / xt 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 /13 必会基础题 一选择题 必会基础题 一选择题 1C 【解析】【解析】频率分布的直方图中 频率 组距 高度，|ab| m h . 2B 【解析】【解析】掷骰子是独立事件， m na2b0，所以 a2b，a2，4，6， b=1，2，3，所求概率为 1 12 . 3A 【解析】【解析】依题意，各层次数量之比为 4321，即红球抽 4 个，蓝球抽 3 个， 白球抽 2 个，黄球抽一个. 4C 【解析】【解析】设总共有 x 人教师，由于抽样采用的是系统抽样，所以每一层次抽到的概 率是相等的，所以可得 x26104 x 16 56 ，解得 x182. 5C 【解析】【解析】设事件 A：从 0 到 10 岁，事件 B：10 岁到 15 岁，A 与 B 互斥，C：0 到 15 岁，所以 P(C)P(A)P(B)，P（B） 0.6 0.9 2 3 . 6C 【解析】【解析】可从对立面考虑，即三张价格均不相同，则所取 3 张中至少有 2 张价格相 同的概率为 P1 C 1 5 C 1 3 C 1 2 C 3 10 3 4 . 7B 【解析】【解析】 3 个月中恰有 1 个月有 30 天的情况有两种：两个月 31 天，1 个月 30 天；31 天，30 天，28 天，各有 1 个月，故所求概率 21111 74741 3 12 28 55 C CC C C P C + = . 8B 【解析】【解析】古典概型问题，基本事件总数为 C 3 18 181716 321 17163，能组成以 3 为公差的等差数列有(1，4，7)、（2，5，8）、（12，15，18）共 12 组，因此 概率 P 12 17163 1 68 . 9D 【解析】【解析】由题意可得：xy20，(x10) 2 (y10) 2 8，解这个方程组需要用一 些技巧，因为不要直接求出 x、y，只要求出xy，设 x10t，y10t，x y2|t|4. 10D 解析：解析：由题 3a2b2，其中 0a 2 3 ，0b1，所以 2 a 1 3b 3a2b 2 ( 2 a 1 3b ) 3 1 3 2b a a 2b 10 3 2 16 3 .(当且仅当 a2b 1 2 时取等) 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 /13 11D 【解析】【解析】将六个接线点随机地平均分成三组，共有 C 2 6 C 2 4 C 2 2 A 3 3 15 种结果，五个接收 器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有 C 1 4 C 1 2 C 1 1 8 种结果，这五个接 收器能同时接收到信号的概率是 8 15 . 12C 【解析】【解析】根据分布列的性质：x1P(X1)P(X2)P(Xn1) 1 1 12 1 23 1 (n1)n 1(1 1 2 )( 1 2 1 3 )( 1 n1 1 n ) 1 n . nN*，表格中概率 P(X)均为非负，满足分布列的第一条性质：Pi0，i1，2,n. 13C 【解析】【解析】这一组函数共有 3921 个，从中任意抽取个共有 2 21 210 C 种不同的方 法，其中从这些函数中任意抽取两个，向右平移 6 个单位得到函数 y2sinx 的图象 有三种情形，则有 C 2 3 3 种取法；向右平移 3 个单位得到函数 y2sinx 的图象也有 三种情形，则有 C 2 3 3 种取法；向右平移 2 个单位得到函数 y2sinx 的图象有两种 情形，则有 C 2 2 1 种取法；向右平移 2 3 个单位得到函数 y2sinx 的图象也有两种 情形，则有 C 2 2 1 种取法；故所求概率是 3311 210 4 105 . 提高拓展题 一填空 提高拓展题 一填空 1【解析】【解析】 1 n n i=1 xia， 1 n n i=1 (3xi2) 1 n n i=1 (3xi) n i=1 2 1 n 3 n i=1 xi2n3 1 n n i=1 xi2 3a2. 2【解析】【解析】每年平均销售盒饭为 1 3 (301452901.5)85(万盒). 3【解析】【解析】由已知得 3a2b0c0，即 3a2b2，ab 1 6 3a2b 1 6 ( 3a2b 2 ) 1 6 . 4【解析】【解析】：直方图中，所有矩形面积之和为 1，等差数列公差为 a1，等差数列各项和 为 10a11，所以 a10.1，最大的矩形为 0.4，频数为 400*0.4160 二、解答题二、解答题 1【解】【解】设先答 A、B 所得奖金分别为 和 ，则 P(0)1 1 2 1 2 ，P(a) 1 2 (1 1 3 ) 1 3 ，P(3a) 1 2 1 3 1 6 ，E 5 6 a. P(0)1 1 3 2 3 ，P(2a) 1 3 (1 1 2 ) 1 6 ，P(3a) 1 3 1 2 1 6 ，E 5 6 a. 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 /13 由此知，先答哪题获奖金的期望一样大. 2【解解】()xy4 上有 3 个点，xy3 上有 2 个点，xy2 上有 1 个点，事件总 数为 36， 故事件 A 的概率为 6 36 1 6 . ()当点 P(a，b)落在直线 xym 上，所以 abm， 当 ab2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 时，点 P(a，b)的个数分别为 1、2、 3、4、5、6、5、4、3、2、1， 所以当 ab7 时事件的概率最大为 1 6 ，所以 m7. 3【解】【解】设既会唱歌又会跳舞的有 x 人，则文娱队中共有(7x)人，那么只会一项的人数 是(72x)人 ()P(0)P(1)1P(0) 7 10 ， P(0) 3 10 ，即 C 2 72x C 2 7x 3 10 ， (72x)(62x) (7x)(6x) 3 10 ，解得 x2， 故文娱队共有 5 人 () 的概率分布列为 0 1 2 P 3 10 3 5 1 10 P(1) C 1 2 C 1 3 C 2 5 3 5 ，P(2) C 2 2 C 2 5 1 10 ， E0 3 10 1 3 5 2 1 10 4 5 4【解】【解】()设 A、B 两项技术指标达标的概率分别为 P1、P2 由题意得： P1(1P2)P2(1P1) 5 12 1(1P1)(1P2) 11 12 ，解得 P1 3 4 ，P2 2 3 或 P1 2 3 ，P2 3 4 ， PP1P2 1 2 ，即一个零件经过检测为合格品的概率为 1 2 . ()任意抽出5 个零件进行检查，其中至多 3 个零件是合格品的概率为1C 4 5 ( 1 2 ) 4 C 5 5 ( 1 2 ) 5 13 16 ()依题意知 B(4， 1 2 )，E4 1 2 2，D4 1 2 1 2 1. 5【解】【解】()记“甲工人连续 3 个月参加技能测试，至少有 1 次未通过”为事件 A1， 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 /13 P(A1)1 A11( 4 5 ) 3 61 125 . ()记“连续 3 个月参加技能测试，甲工人恰好通过 2 次”为事件 A2，“连续