天津第一中学数学导数与微分资料理pdf

高三数学(理) 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 9 第二学期 第一周第二学期 第一周 课程内容 导数与微分 2014-2015 学年 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 9 本周将复习导数与微分。 这一部分内容首先以光滑曲线切线的斜率,非匀速直线运动的瞬时速度为实际背景,引出 导数的概念,给出按定义求导数的方法,并说明导数的几何意义.然后,讲述初等函数的求导方 法,先是根据导数定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则、复合函数的求导法 则,再进一步求出对数函数与指数函数的导数. 本部分的重点是使大家掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法,难点是对导数概念 的理解,同学们在学习中应结合瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等实际背景,从物理 和几何两方面入手,逐步理解导数的概念. 本部分的学习要求是: 1. 了解导数概念的某些实际背景;掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解 导函数的概念； 2. 熟记基本函数的导数公式;掌握求导法则,会求简单的初等函数的导数。 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 9 1平均变化率 函数 y=f(x)从 x0 到 x0+x 的平均变化率为 x x f x x f x y + = ) ( ) ( 0 0 2函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数定义： x x f x x f x y x f x x + = = ) ( ) ( lim lim ) ( 0 0 0 0 0 （1） f (x0)的几何意义： f (x0)等于 x=x0 处切线的斜率. （2） S (t0)的物理意义：若物体运动方程为 S=S(t), 则 S (t0)等于时刻 t=t0 处的 瞬时速度. 3切线方程曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线方程为 y-y0= f (x0)(x-x0) 4求导函数 从 y=f(x)求 f (x)叫做求导函数.求出 f (x)后，若令 x=x0，则可计算导数 f (x0). 5几种常见函数的导数 （1） 若 y=C (C 为常数)，则y=0. （2） 若 y=x n (nR), 则y=nx n-1 . （3） 若 y=sinx, 则y=cosx. （4） 若 y=cosx, 则y= -sinx. （5） 若 y= x a log , 则y= e x a log 1 . （6） 若 y=lnx, 则y= x 1 . （7） 若 y=a x , 则y=a x lna （8） 若 y=e x , 则y=e x （9） 若 y=tanx , 则y=sec 2 x. (10) 若 y=cotx, 则y=-csc 2 x. 注：以上求导公式，要求同学会用定义证明，这对于巩固极限知识和熟记这些求导公 式是非常有益的. 6和、差、积、商的导数 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 9 （1） 若 y=u+v (u,v是 x 的函数)，则y= v u + . （2） 若 y=u-v (u, v是 x 的函数)，则y= v u . （3） 若 y=uv, (u,v是 x 的函数)，则y= uv v u + . （4） 若 y= v u , (u, v是 x 的函数且 v0)，则y= . u u 2 v v v 7复合函数的导数 设函数 u= (x)在点 x 处有导数 u x = (x),函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 y u =f(u),则复合函数 y=f( (x)在点 x 处也有导数，且 y x = y u u x 或 f x ( (x)=f(u) (x) 1. 利用定义求导1. 利用定义求导 例1已知 y= 1 2 + x ,利用定义求y. y= ) 1 2 ( + x = x y x 0 lim 1 2 1 1 2 1 ) ( 2 2 lim 1 2 1 ) ( 2 lim 0 0 + = + + + + = + + + = x x x x x x x x x x 例2用定义求 f(x)=x|x|+1 在 x=0 处的导数. 解： ) 10 ( 80 16 ) 10 ( 5 4 2 x x x x 在点 x=10 处的导数. 解：在点 x=10 处 x x x x x x y x x x + = + = 2 0 2 2 0 0 ) ( 5 4 16 lim 10 5 4 ) 10 ( 5 4 lim lim . 16 ) 5 4 16 ( lim 0 = + = x x 又 x x x y x x + = + + 10 16 ) 10 ( 16 lim lim 0 0 16 16 lim 0 = = + x x x . 16 lim lim 0 0 = = + x y x y x x 即： f (10)=16. 说明：导数定义是求导的最基本方法.若用求导公式、法则均无法求导时，就须考虑用 定义求导，例如在求分段函数界点处的导数时，常用定义去求，这须注意只有当x0 - ,x 0 + ,左、右导数分别存在且相等时在此点的导数才存在. 2. 利用导数的四则运算求导数2. 利用导数的四则运算求导数 例 4. 利用导数的四则运算求下列各函数的导数： y=x 2 sinx 1 1 + = x x e e y 解：y=(x 2 )sinx+x 2 (sinx) =2xsinx+x 2 cosx 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 9 2 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( + + = x x x x x e e e e e y = 2 ) 1 ( 2 x x e e 例 5. 利用导数的四则运算求下列各函数的导数： y=(x 3 -3x+2)(x 4 +x 2 -1) y= x x x 1 解： y=(x 3 -3x+2)(x 4 +x 2 -1)=x 7 -2x 5 +2x 4 -4x 3 +2x 2 +3x-2 y=7x 6 -10 x 4 +8x 3 -12x 2 +4x+3 y= x x x 1 = 8 7 x y= 8 15 8 7 x 说明：先对已知函数解析式进行化简或变形，然后再求导，可使求导计算简化. 3. 求复合函数的导数3. 求复合函数的导数 例6. 求下列函数的导数 y=ln(x+ 1 2 + x ) y=3 -2x cos4x y=ln x x sin 1 sin 1 + y=log2(x 3 -3x 2 +x) y=(1+sinx) 2 y=sin 2 (2x-1) 解： ) 1 ( 1 1 2 2 + + + + = x x x x y 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 9 1 1 1 1 1 1 ) 1 1 ( 1 1 ) 2 1 2 1 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 2 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + + + + + = + + + + = + + + + = + + + + + = + + + + = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ) 4 (cos 3 4 cos ) 3 ( 2 2 x x y x x + = ) 4 sin 4 4 cos 3 ln 2 ( 3 4 sin 3 4 4 cos 3 ln 3 2 ) 4 ( 4 sin 3 4 cos ) 2 ( 3 ln ) 3 ( 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x + = = + = 解 1 ) sin 1 sin 1 ( sin 1 sin 1 x x x x y + + = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x cos 1 cos 2 cos 2 cos ) sin 1 ( ) sin 1 ( cos cos 1 2 1 ) sin 1 ( ) sin 1 ( ) sin 1 ( ) sin 1 ( ) sin 1 ( sin 1 sin 1 2 1 ) sin 1 sin 1 ( sin 1 sin 1 2 1 sin 1 sin 1 2 2 2 = = + = + + + + = + + + = 解 2 ) sin 1 sin 1 ln( 2 1 x x y + = x x x x x x x x x x x x x x y cos 1 cos cos 2 2 1 ) sin 1 ( cos 2 sin 1 sin 1 2 1 ) sin 1 ( cos ) sin 1 ( ) sin 1 ( cos sin 1 sin 1 2 1 2 2 2 = = + + = + + + = ) 3 ( log 3 1 2 3 2 2 3 x x x e x x x y + + = 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 9 ) 1 3 ( ) 1 6 3 ( log 2 2 2 + + = x x x x x e 解 y=(1+sinx) 2 =2(1+sinx)(1+sinx) =2(1+sinx)cosx=2cosx+sin2x 解 y=2sin(2x-1)cos(2x-1)(2x-1) =4sin(2x-1)cos(2x-1)=2sin(4x-2) 4. 利用导数求曲线切线的斜率4. 利用导数求曲线切线的斜率 例7. 已知曲线 3 4 3 1 3 + = x y ，（1）求曲线在点 P（2，4）处的切线方程 （2）求过点 P（2，4）的曲线的切线方程 解：（1）y=x 2 在点 P（2，4）处的切线的斜率 k=y|x=2=4 曲线在点 P（2，4）处的切线方程为 y-4=4(x-2)即 4x-y-4=0 （2）设切点为 A（ 3 4 3 1 , 3 0 0 + x x ） 则切线的斜率 K= 2 0 0 | x y x x = = 切线方程为 ) ( ) 3 4 3 1 ( 0 2 0 3 0 x x x x y = + 即 3 4 3 2 3 0 2 0 + = x x x y 代入点 P（2，4） 得 2 1 0 0 = = x x 或 切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0 学后反思：学后反思：（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切 线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标（ 0 0 , y x ），得出切线方 程，然后把已知点代入切线方程求（ 0 0 , y x ），进而求出切线方程。 5. 利用导数求物体匀变速运动的速度和加速度.5. 利用导数求物体匀变速运动的速度和加速度. 例 8某物体从 A 开始作直线运动，经 t 秒后它与 A 相距 S= 4 1 t 4 -t 3 -2t 2 什么时刻 它的速度为 0？什么时刻它的加速度为 5？ 解：Vt=S(t)=t 3 -3t 2 -4t 令 Vt=0, 即：t(t 2 -3t-4)=0. 高三数学(理) 第二学期 新课预习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 9 解得 t1= -1（舍去）, t2=0, t3=4. 0 秒末或 4 秒末它的速度为 0. t a =Vt=3t 2 -6t-4. 令 t a =5 得：3t 2 -6t-4=5. 得：t 2 -2t-3=0, (t-3)(t+1)=0. t1= -1 (舍去), t2=3 3 秒末它的加速度为 5. 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 /7 1.用导数定义求函数 1 ( ) yf x x = 在 1 x = 处的导数。 2. 求曲线 y= 2x 2 1 的过点(-1,1)的切线方程. 3.如果曲线 y=x 3 + x10 的某一切线与直线 y= 4x+3 平行,求切点坐标与切线方程. 4.已知物体的运动方程 S= 1+t + t 2 , 求物体在 t0=5 秒时的瞬时速度. 5.求下列函数的导数: 2 3 3 4 5 1 ) 2 ( 5 1 ) 1 ( 3 5 5 + + = = x x x y x y (3) y= 3x 5 4x 3 (4) y= 4x 5 +3x 3 (5) y=( 3x 5 4x 3 ) (4x 5 +3x 3 ) 3 3 4 3 4 4 ) 7 ( ) 6 ( x x y x y + = = 6. 求下列函数的导数: x x y x x x y x y x y sin ) 4 ( 1 2 1 ) 3 ( sin 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 3 2 2 = + + = = = 7. 求下列函数的导数: (1)y = 2x 3 3x 2 +5x4 (2)y = (2x 2 +3)(3x2) 5 4 2 1 ) 5 ( ) 3 1 ( 1 ) 4 ( sin ) 3 ( x x y x y x x y = = = (6)y = lg（2x 2 +3x+1) 2 1 ln ) 7 ( x y = (8)y =e 2x cos3x (9)y=a 5x 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 /7 1. 函数 f(x)=|x|(1+x)在点 x0=0 处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由. . 1 . 2 切值 交点处切线的夹角的正 与抛物线 求双曲线 x y x y = = 3.求下列函数的导数: 1 ln ) 6 ( 1 1 ) 5 ( 1 ) 4 ( 1 ) 3 ( ) 1 )( 1 ( ) 2 ( 1 1 ) 1 ( 2 2 2 2 2 + = + = + = + = + = = x y x y x x y x y x x x y x y 4. 设 f(x)是可导函数,求下列复合函数的导数. ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 + = = x f y x f y (3)y = f (lnx) ) (e f (4)y 2 x = 5. 求下列函数的导数 (1) y = sinaxcosbx (2) y = sin 4 xcos 4 x (3) y = sin 2 axcosbx 一、选择题 1已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切，则 a 的值为（ ） A1 B2 C-1 D-2 2已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x 2 +8x-8，则曲线 y=f(x)在点（1，f(1)）处的 切线方程是（ ） Ay=2x-1 By=x Cy=3x-2 Dy=-2x+3 3设函数 f(x)=g(x)+x 2 ，曲线 y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为 y=2x+1，则曲线 y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为（ ） 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 /7 A4 B 4 1 C2 D 2 1 4. 曲线 2 1 x ye =+ 在点(0,2)处的切线与直线 0 y = 和 yx = 围成的三角形的面积为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 二、填空题 5曲线 3 3 yxx =+ 在点(1,3)处的切线方程为_. 6在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y=x 3 -10 x+3 上，且在第二象限内，已知 曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P 的坐标为_. 7. 设函数 ( ) f x 在内(0,) + 可导，且 () xx f exe =+ ，则 (1) f =_。 8、已知函数 ) 1 ln( 1 ) ( + + + = x a x x x f ，其中实数 1 a . （1）若 2 = a ，求曲线 ) (x f y = 在点 ) 0 ( , 0 ( f 处的切线方程； （2）若 ) (x f 在 1 = x 处取得极值，试讨论 ) (x f 的单调性. 必会基础题必会基础题 2 1 . 1 2. 4x+y+3 = 0 3.切点(1, 8)或(1,12) 切线方程:y = 4x-8 或 y=4x-12 4.11 米/秒 5. (1)y=x 4 (2)y=x 4 4x 2 +3 (3)y=15x 4 12x 2 (4)y=20 x 4 +9x 2 (5)y=120 x 9 56x 7 72x 5 x x y x y 6 3 4 ) 7 ( 3 4 ) 6 ( 3 3 + = = 2 4 3 2 2 3 sin cos ) 4 ( 3 4 1 ) 3 ( sin cos ) 2 ( 2 ) 1 ( . 6 x x x x y x x x y x x y x y = = = = 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 /7 7.(1)y= 6x 2 6x + 5 (2)y= 18x 2 8x+9 5 2 2 ) 3 1 ( 12 ) 4 ( sin cos sin 2 ) 3 ( x y x x x x x y = = 5 6 5 4 ) 1 ( 5 1 ) 5 ( = x x y 1 lg ) 7 ( 1 3 2 3 4 ) 6 ( 2 2 = + + + = x e x y x x x y (8)y = e 2x (2cos3x3sin3x) (9)y = 5a 5x lna 提高拓展题提高拓展题 . , 0 ) 1 ( | | ) ( . , 0 lim lim 1 ) 1 ( lim lim 1 ) 1 ( lim lim 0 , ) ( 0 , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( . 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 即不可导 处没有导数 在点 函数 无极限 时 = + = = = = + = + = = + = + = + + + x x x x f x y x x y x y x x y x x y x x x x x x x f f x f y x x x x x x x f x x x x x x 2 1 , 2 1 , 1 ) 1 , 1 ( 1 1 , 1 , 1 ) 1 , 1 ( 1 1 , 1 . 2 1 2 2 1 1 1 1 2 = = = = = = = = = = = = = = = = x x y k x y x y k x y y k x y x y y x x y x y 抛物线 处切线斜率为 在交点 双曲线 双曲线 为 双曲线与抛物线的交点 解得 联立方程 高三数学(理) 第二学期 巩固练习 第一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 /7 2 1 ) 1 , 1 ( 2 = = k x y 处的切线斜率为 在交点 抛物线 3 2 1 ) 1 ( 1 2 1 1 1 tan 2 1 2 1 = + = + = k k k k 由夹角公式 1 ) 6 ( 1 ) 1 ( ) 5 ( 1 1 2 ) 4 ( 1 ) 3 ( ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( . 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + + = + + = + = + = = x x y x x x y x x y x x y x x y x x y ) ( 2 ) 4 ( ) (ln 1 ) 3 ( ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( . 4 2 2 2 2 2 x x e f xe y x f x y x f x x y x f x y = = + + = = bx ax b bx ax ax a bx b x b a b a x b a b a y x x y bx ax b bx acoxax x b a b a x b a b a y sin s