数学 最新3类编 11 解三角形 文pdf

计算发现了海王星( 二) 年, 英国剑桥大学 岁的学生亚当斯, 根据力学原理, 利用微积分等数学工具, 足足用了 个月的时间, 终于算出这颗未知行星的位置这年 月 日, 他兴高采烈地把算出的结果寄给英国格林威治天文台台长 艾利不料, 这位台长是一个迷信权威的人, 根本看不起亚当斯这样的“ 小人物” , 对他采取不理不睬的态度比亚当斯稍晚, 法国巴黎天文台青年数学家勒维列于 年解了由几十个方程组成的方程组, 于 年月 日计算出了这颗新行星 的轨道 第 十 一 章 解 三 角 形 一、选择题 ( 上 海 文 )在A B C中, 若s i n As i nB s i n C, 则A B C的形状是( ) A钝角三角形B直角三角形 C锐角三角形D不能确定 ( 四川文)如图, 正方形A B C D的边长为, 延长 B A至点E, 使A E, 连结E C、E D, 则s i n C E D等于( ) ( 第题) A B C D ( 湖南 文)在A B C中,A C ,B C,B , 则边B C上的高等于( ) A B C D ( 湖北文)设A B C的内角A、B、C所对的边分 别为a,b,c, 若三边的长为连续的三个正整数, 且ABC,b ac o sA, 则s i nAs i nBs i nC为( ) A B C D ( 广东文)在A B C中, 若A ,B , B C , 则A C等于( ) A B C D ( 重庆文)若A B C的内角A、B、C满足 s i nA s i nB s i nC, 则c o sB等于( ) 第十一章 解 三 角 形 计算发现了海王星( 三) 他于这一年月 日写信给当时拥有详细星图的柏林天文台的工作人员加勒, 对他说: “ 请你把望远 镜对准黄道上的宝瓶星座, 即经度 度的地方, 那么你将在离此点度左右的区域内见到一颗九等星” ( 肉眼所能见到的最 弱的星是六等星) 加勒在月 日接到了勒维列的信, 当夜他就按照勒维列指定的位置观察, 果然在半小时内, 找到一颗以前 没有见过的星, 距勒维列计算的位置相差只有 经过 小时的连续观察, 他发现这颗星在恒星间移动着, 的确是一颗行星 A B C D ( 辽宁理)A B C的三个内角A、B、C所对的边 分别为a,b,c,as i nAs i nBbc o s A a, 则b a 等于( ) A B CD ( 浙江文)在A B C中, 角A、B、C所对的边分别 为a,b,c若ac o sAbs i nB, 则s i nAc o sAc o s B等于( ) A B CD ( 四 川 文、 理)在A B C中,s i n As i nB s i n Cs i n Bs i nC, 则A的取值范围是( ) A , ( B , ) C , ( D , ) ( 北京文)某班设计了一个八边形的班徽( 如 图) , 它由腰长为, 顶角为的四个等腰三角形, 及其底边构成 的正方形所组成, 该八边形的面积为( ) ( 第 题) A s i n c o s B s i n c o s C s i n c o s D s i nc o s ( 湖南文)在A B C中, 角A、B、C所对的边长 分别为a,b,c若C ,c a, 则( ) AabBab CabDa与b的大小关系不能确定 ( 上海文 )若A B C的三个内角满足s i nA s i nBs i nC , 则A B C( ) A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形 二、填空题 ( 北京文 )在A B C中, 若a,b ,A , 则C的大小为 ( 福 建 文 )在A B C中, 已 知B A C , A B C ,B C , 则A C ( 重庆文 )设A B C的内角A、B、C的对边分 别为a,b,c, 且a,b,c o sC , 则s i nB ( 陕西文 )在A B C中, 角A、B、C所对应的边 的长分别为a,b,c, 若a,B , c , 则b ( 上海文)在相距k m的A、B两点处测量目标 C, 若C A B ,C B A , 则A、C两 点 之 间 的 距 离 是 k m ( 福建文 )若A B C的面积为,B C,C , 则边A B的长度等于 ( 全国新课标文 )在A B C中,B ,A C ,A B, 则A B C的面积为 ( 北京文)在A B C中, 若b,B , s i nA , 则a ( 北京文 )在A B C中, 若b,c ,C , 则a ( 山东文 )在A B C中, 角A、B、C所对的边分 别为a,b,c, 若a ,b,s i nBc o sB , 则角A的大小为 ( 全国新课标文 )在A B C中,D为边B C上一 点,B CB D, AD ,AD B , 若A C A B, 则B D ( 江苏 )在锐角三角形A B C中, 角A、B、C的对 边分别为a,b,c, b a a b c o sC, 则t a n C t a nA t a nC t a nB ( 广东文 )已知a,b,c分别是A B C的三个内 角A、B、C所对 的 边, 若a,b ,ACB, 则s i nA 三、解答题 ( 浙江文 )在A B C中, 内角A、B、C的对边分 别为a,b,c, 且bs i nA ac o sB ( ) 求角B的大小; ( ) 若b,s i nC s i nA, 求a,c的值 ( 安徽文 )设A B C的内角A、B、C所对的边 分别为a,b,c, 且有 s i nBc o sAs i nAc o sCc o sAs i nC ( ) 求角A的大小; ( ) 若b,c,D为B C的中点, 求AD的长 ( 山东文 )在A B C中, 内角A、B、C所对的边 分别为a,b,c, 已知s i nB(t a nA t a nC) t a nAt a nC ( ) 求证:a,b,c成等比数列; ( ) 若a,c, 求A B C的面积S ( 辽宁文 )在A B C中, 角A、B、C的对边分别 为a,b,c角A、B、C成等差数列 ( ) 求c o sB的值; ( ) 边a,b,c成等比数列, 求s i nAs i nC的值 ( 全国新课标文 )已知a,b,c分别为A B C三 最新年高考试题分类解析数学 百鸡问题 本问题记载于我国古代约世纪成书的 张丘建算经 中, 是原书卷下第 题, 也是全书的最后一题: “ 今 有鸡翁一, 值钱五; 鸡母一, 值钱三; 鸡雏三, 值钱一凡百钱买鸡百只, 问鸡翁、 母、 雏各几何? 答曰: 鸡翁四, 值钱二十; 鸡 母十八, 值钱五十四; 鸡雏七十八, 值钱二十六又答: 鸡翁八, 值钱四十; 鸡母十一, 值钱三十三, 鸡雏八十一, 值钱二十七 又答: 鸡翁十二, 值钱六十; 鸡母四, 值钱十二; 鸡雏八十四, 值钱二十八” 该问题引出了三元不定方程组, 其重要之处在于 开创了“ 一问多答” 的先例, 这是过去我国古算书中所没有的 个内角A、B、C的对边,c as i nCcc o sA ( ) 求A; ( ) 若a,A B C的面积为, 求b,c ( 江苏 )在A B C中, 已知A B A CB A B C ( ) 求证:t a nB t a nA; ( ) 若c o sC , 求A的值 ( 天津文 )在A B C中, 内角A、B、C所对的边 分别是a,b,c已知a,c ,c o sA 求: ( )s i nC和b的值; ( )c o s A ()的值 ( 全国大纲文 )在A B C中, 内角A、B、C成等 差数列, 其对边a,b,c满足b a c, 求A ( 安徽文 )在A B C中,a,b,c分别为内角A、 B、C所对的边长,a ,b , c o s(BC), 求边B C上 的高 ( 全国大纲文 )A B C的内角A、B、C的对边分 别为a,b,c己知as i nAcs i nC as i nCbs i nB ( ) 求B; ( ) 若A ,b, 求a与c ( 天津文 )在A B C中, 内角A、B、C的对边分 别为a,b,c, 已知BC,b a求: ( )c o sA的值; ( )c o s A ()的值 ( 湖南文 )在A B C中, 角A、B、C所对的边分 别为a,b,c, 且满足cs i nAac o sC ( ) 求角C的大小; ( ) 求 s i nAc o sB ()的最大值, 并求取得最大值时 角A、B的大小 ( 辽宁文 )A B C的三个内角A、B、C所对的 边分别为a,b,c,as i nAs i nBbc o s A a ( ) 求b a ; ( ) 若c b a , 求B ( 湖北文 )设A B C的内角A、B、C所对的边 分别为a,b,c, 已知a,b,c o sC 求: ( )A B C的周长; ( )c o s(AC) 的值 ( 山东文)在A B C中, 内角A、B、C的对边分 别为a,b,c已知c o s A c o sC c o sB ca b ( ) 求s i n C s i nA的值; ( ) 若c o sB ,A B C的周长为, 求b的长 ( 江西文 )在A B C中, 角A、B、C的对边分别 是a,b,c, 已知ac o sAcc o sBbc o sC ( ) 求c o sA的值; ( ) 若a,c o sBc o sC , 求边c的值 ( 全国文 )已知A B C的内角A、B及其对边 a,b满足abac o tAbc o tB, 求内角C ( 全国文 )A B C中,D为边B C上的一点, B D ,s i nB , c o s AD C , 求AD ( 天津文 )在A B C中, 已知A C A B c o sB c o sC ( ) 证明:BC; ( ) 若c o sA , 求s i n B ()的值 ( 安徽文 )A B C的面积是 , 内角A、B、C所 对边长分别为a,b,c,c o sA ( ) 求A B A C; ( ) 若cb, 求a的值 ( 陕西文 )在A B C中, 已知B ,D是边B C 上的一点, A D ,A C ,D C , 求A B的长 ( 第 题) ( 辽宁文 )在A B C中,a,b,c分别为内角A、B、C 的对边, 且as i nA(bc)s i nB(cb)s i nC ( ) 求A的大小; ( ) 若s i nBs i nC, 试判断A B C的形状 ( 福建文 )某港口O要将一件重要物品用小艇 送到一艘正在航行的轮船上, 在小艇出发时, 轮船位于港口O的 北偏西 且与该港口相距 海里的A处, 并正以 海里/小 时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v海里/小时的航行速度匀速行驶, 经过t小时与轮船相遇 ( ) 若希望相遇时小艇的航行距离最小, 则小艇航行速度的 大小应为多少? ( ) 为保证小艇在 分钟内( 含 分钟) 能与轮船相遇, 试 确定小艇航行速度的最小值; ( ) 是否存在v, 使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶, 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇? 若存在, 试确定v的 取值范围; 若不存在, 请说明理由 ( 江苏 )某兴趣小组测量电视塔A E的高度H ( 单位:m) , 如示意图, 垂直放置的标杆B C高度hm, 仰角 A B E,AD E ( ) 该小组已经测得一组, 的值, t a n ,t a n , 请据此算出H的值; ( ) 该小组分析若干测得的数据后, 发现适当调整标杆到电 视塔的距离d( 单位:m) , 使与之差较大, 可以提高测量精确 度, 若电视塔实际高度为 m, 问:d为多少时,最大? 第十一章 解 三 角 形 动物中的数学“ 天才” ( 一) 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体, 它的一端是平整的六角形开口, 另一端是封闭的六角菱锥形的 底, 由三个相同的菱形组成组成底盘的菱形的钝角为 度 分, 所有的锐角为 度 分, 这样既坚固又省料蜂房的巢 壁厚 毫米, 误差极小 ( 第 题) ( 浙江文 )在A B C中, 角A、B、C所对的边分别 为a, b,c, 设S为A B C的面积, 满足S ( a b c ) 求: ( ) 角C的大小; ( )s i nAs i nB的最大值 ( 重庆文 )设A B C的内角A、B、C的对边长 分别为a,b,c, 且b c a b c求: ( )s i nA的值; ( ) s i nA ()s i nBC () c o s A 的值 A 【 精析】s i n As i nBs i nC, 得abc, 所以 c o sCa b c a b , 角C是钝角,A B C是钝角三角形, 故 选A B 【 精 析】 由 正 弦 定 理 C E s i n C D E C D s i n C E D, 可 得 s i n C E Ds i n 故选B B 【 精析】 由余弦定理, 得c c, 即c c , 解得c, 所以边B C上的高h s i n , 故选B D 【 精析】 由ABC, 得abc, 设ac,bc , 则 由b ac o sA,得(c ) (c ) ( c) c ( c) (c)c , 即(c) c (c) (c) (c) , 解 得c, 所以a,b故选D C 【 精析】 由正弦定理 A C s i nB B C s i nA, 得A C s i n s i n , 故选C D 【 精析】 由 s i nA s i nB s i nC, 得abc可设 ak,bk,ck, 则 由 余 弦 定 理, 得c o sBa c b a c ( k) ( k) ( k) kk 故选D D 【 精 析】 由 正 弦 定 理, 得s i n A s i nBs i nBc o s A s i nA, 所以s i nB s i nA, 所以b a s i n B s i nA , 故选 D D 【 精析】 由ac o sAbs i nB, 得s i nAc o sAs i n B, 所以 s i nAc o sAc o s Bs i nBc o sB, 故选D C 【 精析】 由正弦定理, 得a b c b c, 由余弦定理, 得 c o sA b c a b c 又 A, 所以 A 故选C A 【 精析】个等腰三角形的面积为 s i n s i n 正方形的面积为 c o s , 所以八边形的面积为 s i n c o s故选A A 【 精析】 由余弦定理, 得a ba a bc o s , 即a b a b, 所以a b故选A C 【 精析】 设三边分别为a,b,c, 则a b c s, 故abc 则可得c a b , 则知其三角形为钝角三角形 【 精析】 由正弦定理, 得 a s i nA b s i nB, 所以 s i nB s i n , 又ba, 所以BA , 所以B 从而C 故填 【 精析】 由正弦定理A C s i nB B C s i nA, 得A C s i n s i n , 故填 【 精析】 因为c o sC ,C, 所以s i nC 由余弦定理, 得c , 所以c b, 所以s i nBs i nC 故填 【 精析】 由余弦定理, 得b ( ) c o s , 所以b故填 【 精析】 如图,A C B , 于是由正弦定理, 得 s i n A C s i n , 所以A C 故填 ( 第 题) 【 精析】SA B C B CC As i n 因为B C , 所以C A所以B CC A又A C B , 所以A B C是等 最新年高考试题分类解析数学 动物中的数学“ 天才” ( 二) 丹顶鹤总是成群结队迁飞, 而且排成“ 人” 字形“ 人” 字形的角度是 度更精确的计算还 表明“ 人” 字形夹角的一半 即每边与鹤群前进方向的夹角为 度 分秒! 而金刚石结晶体的角度正好也是 度 分秒! 是巧合还是某种大自然的“ 默契” ? 边三角形, 所以A B, 故填 【 精析】 由正弦定理, 得s i nCA B s i nB A C , 所以c o sC 所以s i nAs i n(BC) s i nBc o sCc o sBs i nC 因此SA B C A BA Cs i n A 故填 【 精析】 由正弦定理 b s i nB a s i nA, 得a s i n 故填 【 精析】 由正弦定理, 得 s i nB s i n , 所以s i nB , B 所以A , ab故填 【 精析】 因为 s i nB c o sB s i nB (), 所以B , 由正弦定理, 得 s i nA s i nB s i n , 得s i nA 又ab, 所以A , 故填 【 精析】 设A Bx,B Dy, 则D Cy,A C x由余弦定理, 得 x y yc o s , x y yc o s , 即 x y y, x y y 由y, 解得y , 即B D 【 精析】 b a a b c o sC, a b a b c a bc o sC a b c a b c o s C c o sC, s i n C s i nAs i nB c o s C t a n C t a nA t a nC t a nB t a n C c o sA s i nA c o sB s i nB () s i n C c o sC s i nBc o sAc o sBs i nA s i nAs i nB s i n C c o sCs i nAs i nB c o s Cs i nAs i nB c o sCs i nAs i nB 故填 【 精析】 由AC B,ABC, 得B 由 正弦定理, 得 s i n s i nA, 即s i n A , 故填 () 由bs i nA ac o sB及正弦定理 a s i nA b s i nB, 得 s i nB c o sB, 所以t a nB 所以B ( ) 由s i nC s i nA及 a s i nA c s i nC, 得c a 由b及余弦定理b a c ac o sB, 得 a c a c, 所以a , c () 方法一: 由题设知, s i nBc o sAs i n(AC)s i nB, 因为s i nB, 所以c o sA 由于A, 故A 方法二: 由题设可知, b b c a b c aa b c a b c b c a b c 于是b c a b c, 所以c o sA b c a b c 由于A, 故A ( ) 方法 一: 因 为AD A B A C () (A B A C A B A C) c o s () 所以|AD | , 从而AD 方法二: 因为a bc b cc o sA , 所以a c b , B 因为B D ,A B, 所以AD () 在A B C中, 由于s i nB(t a nA t a nC) t a nAt a nC, 所以s i nB s i nA c o sA s i nC c o sC ()s i n A c o sA s i nC c o sC 因此s i nB(s i nAc o sCc o sAs i nC)s i nAs i nC, 所以s i nBs i n(AC)s i nAs i nC 又ABC, 所以s i n(AC)s i nB 因此s i n Bs i n As i nC 由正弦定理得b a c 即a,b,c成等比数列 ( ) 因为a,c, 所以b 由余弦定理, 得c o sBa c b a c 因为B, 所以s i nB c o s B 故A B C的面积S a c s i nB () 由已知BAC,ABC , 解得B , 所以c o sB 第十一章 解 三 角 形 动物中的数学“ 天才” ( 三) 蜘蛛结的“ 八卦” 形图, 是既复杂又美丽的八角形几何图案, 人们即使用直尺和圆规也很难 画出像蜘蛛网那样匀称的图案 ( ) 解法一: 由已知b a c, 及c o s B , 根据正弦定理, 得s i n Bs i n As i nC, 所以s i nAs i nCc o s B 解法二: 由已知b a c及c o s B , 根据余弦定理, 得c o sBa c a c a c , 解得ac, 所以BAC , 故s i nAs i nC () 由c as i nCcc o sA及正弦定理, 得 s i nAs i nCc o sAs i nCs i nC 由于s i nC, 所以s i nA () 又A, 故A ( )A B C的面积S b c s i nA , 故b c 而a b c b cc o sA, 故b c 解得bc () 因为A B A CB AB C, 所以A BA Cc o sAB AB Cc o sB, 即A Cc o sAB Cc o sB, 由正弦定理知A C s i nB B C s i nA, 从而s i nBc o sA s i nAc o sB, 又因为AB, 所以c o sA,c o sB 所以t a nB t a nA ( ) 因为c o sC , C, 所以s i nC c o s C 从而t a nC , 于是t a n (AB) , 即t a n(AB) , 亦即t a n A t a nB t a nAt a nB , 由( ) 得 t a nA t a n A 解得t a nA或 因为c o sA, 故t a nA, 所以A () 在A B C中, 由c o sA , 可得s i nA 又由 a s i nA c s i nC及a , c , 可得s i nC 由a b c c bc o sA, 得b b 因为b, 故解得b 所以s i nC , b ( ) 由c o sA , s i nA , 得c o s A c o s A , s i n A s i nAc o sA 所 以c o s A () c o s Ac o s s i n As i n 由A、B、C成等差数列及ABC 得B , AC 由b a c及正弦定理, 得 s i n B s i n As i nC, 故s i nAs i nC c o s(AC)c o sAc o sCs i nAs i nCc o sAc o sC , 即c o sAc o sC , c o sAc o sC, c o sA或c o sC, 所以A 或A 由 c o s(BC)和BC A, 得 c o sA,c o sA , s i nA 再由正弦定理, 得s i nBb s i nA a 由ba知BA, 所以B不是最大角,B , 从而 c o sBs i n B 由上述结果知s i nCs i n(AB) 设边B C上的高为h, 则有hbs i nC () 由正弦定理得a c a cb 由余弦定理得b a c a cc o sB 故c o sB , B为三角形的内角, 因此B ( )s i nAs i n( ) s i n c o s c o s s i n 故abs i n A s i nB , cbs i n C s i nB s i n s i n () 由BC,b a, 可得cb a 所以c o sAb c a b c a a a a a ( ) 因为c o sA ,A( ,) , 所以s i nA c o s A , c o s A c o s A 最新年高考试题分类解析数学 动物中的数学“ 天才” ( 四) 真正的数学“ 天才” 是珊蝴虫珊蝴虫在自己的身上记下“ 日历” , 它们每年在自己的体壁上“ 刻 画” 出 条斑纹, 显然是一天“ 画” 一条奇怪的是, 古生物学家发现亿千万年前的珊蝴虫每年“ 画” 出 幅“ 水彩 画”天文学家告诉我们, 当时地球一天仅 小时, 一年不是 天, 而是 天 故s i n A s i nAc o sA 所以c o s A () c o s Ac o s s i n As i n () () 由正弦定理得s i nCs i nAs i nAc o sC 因为A, 所以s i nA从而s i nCc o sC 又c o sC, 所以t a nC, 则C ( ) 由() 知,B A于是 s i nAc o sB () s i nAc o s(A) s i nAc o sA s i nA () 因为A , 所以 A , 从而当A , 即A 时, s i nA ()取最大值 综上所述, s i nAc o sB ()的最大值为, 此时A , B () 由正弦定理, 得s i n A s i nBs i nBc o s A s i n A, 即 s i nB(s i n Ac o sA) s i nA故s i nB s i nA, 所以b a ( ) 由余弦定理和c b a , 可得c o sB 又c o sB, 故c o sB , 所以B () c a b a bc o sC , c A B C的周长为abc ( ) c o sC , s i nCc o s C () s i nAa s i nC c ac, AC, 故A为锐角 c o sAs i n A c o s(AC)c o sAc o sCs i nAs i nC () 由正弦定理, 设 a s i nA b s i nB c s i nC k, 则 ca b ks i nCks i nA ks i nB s i n Cs i nA s i nB 所以c o s A c o sC c o sB s i n Cs i nA s i nB , 即( c o sA c o sC)s i nB( s i nCs i nA)c o sB 化简可得s i n(AB) s i n(BC) 又ABC, 所以s i nC s i nA 因此s i n C s i nA ( ) 由s i n C s i nA , 得ca 由余弦定理及c o sB , 得 b a c a cc o sB a a a a 所以ba 又abc, 所以a 因此b () 由余弦定理b a c a cc o sB, c a b a bc o sC, 有cc o sBbc o sCa, 代入已知条件, 得ac o sAa, 即c o sA ( ) 由c o sA , 得s i nA 即c o sBc o s(AC) c o s C s i nC, 代入c o sBc o sC , 得c o sC s i nC 从而得s i n(C), 其中s i n , c o s , 则C 于是s i nC , 由正弦定理, 得ca s i nC s i nA 由abac o tAbc o tB及正弦定理, 得 s i nAs i nBc o sAc o sB, s i nAc o sAc o sBs i nB, 从而s i nAc o s c o sAs i n c o sBs i n s i nBc o s , 即s i nA ()s i n B () 又AB, 故A B,AB 第十一章 解 三 角 形 药剂师的砝码( 一) 省肿瘤医院某药剂师要将 克的药粉分成 克和 克各一份, 可是天平只有 克和 克两 个砝码善于推理的药师只用这台天平称了两次了, 就把药粉分好了你知道他是怎样称的吗? 所以C 由c o