数学一轮总第五章平面向量、解三角形训练检测PDF理新人教B

年高考年模拟 版（教师用书） 第五章 平面向量、解三角形 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 对应学生用书起始页码 考点一 向量的线性运算及几何意义 （ 课标， 分）设 为 所在平面内一点， ，则 （ ） 答案 （ ） 故选 （ 陕西， 分）对任意向量 ，下列关系式中不恒成立 的是（ ） （） （）（） 答案 ， ，故 正确；由向量的运算法则知 ， 也正确； 当 时， ， 错误故选 本题考查向量的运算法则等知识，考查逻辑推理 能力 （ 四川， 分）设四边形 为平行四边形， ， 若点 ， 满足 ， ，则 （ ） 答案 依题意有 ， ，所以 () () 故选 （ 安徽， 分） 是边长为 的等边三角形，已知向 量 ， 满足 ，则下列结论正确的是 （ ） （） 答案 ， ，故 错； ，即 ， ，故 、 都错； （） （） ， （） ，故选 （ 福建， 分）在下列向量组中，可以把向量 （，） 表示出来的是（ ） （，），（，）（，），（，） （，），（，）（，），（，） 答案 设 ， 选项， （，） （，）， ， ， 无解 选项， （，） （ ， ）， ， ， 解之得 ， 故 中的 ，可把 表示出来 同理，、 选项同 选项，无解 （ 辽宁， 分） 已知两个非零向量 ， 满足 ，则下面结论正确的是（ ） 答案 解法一：（代数法）将原式平方得 ， ， ， ，故选 解法二：（几何法）如图所示， 在 中，设 ， ， ， 平行四边形 的两条对角线长度相等，即平行 四边形 为矩形， ，故选 本题考查平面向量的线性运算及几何意义，考查 数形结合思想 （ 课标， 分）设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 答案 解析 由于 ， 不平行，所以可以以 ， 作为一组基底，于 是 与 平行等价于 ，即 （ 课标， 分）已知 ， 为圆 上的三点，若 （ ），则与的夹角为 答案 解析 由 （ ）可知 为 的中点，即 为圆 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以， 第五章 平面向量、解三角形 所以 与的夹角为 （ 四川， 分）在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， ，则 答案 解析 由平行四边形法则，得 ，故 （ 江苏， 分）设 ， 分别是 的边 ， 上 的点， ， 若 （ ，为实 数），则 的值为 答案 解析 （ ） ， ， ， ，故 以下为教师用书专用（） （ 浙江， 分）设 ， 是两个非零向量（ ） 若 ，则 若 ，则 若 ，则存在实数 ，使得 若存在实数 ，使得 ，则 答案 由 两边平方，得 ，即 ，则 与 方 向相反又由 知 ，则存在实数 ，），使得 故 ， 命题不正确， 命题正确，而两 向量共线，不一定有 ，即 命题不正确，故 选 评析 本题考查了命题真假判断，向量共线的性质以及向 量的数量积和运算考查推理论证能力和运算求解能力 （ 大纲全国， 分） 中， 边的高为 若 ， ， ， ，则 （ ） 答案 解 得 ， 即 （ ） ，故选 评析 本题考查了向量的基本运算，运用了数形结合的 方法 考点二 平面向量的基本定理及坐标表示 （ 课标全国， 分）已知向量 （，），（，）， 且（），则 （ ） 答案 由题可得 （，），又（）， （） ， 故选 （ 安徽， 分）在平面直角坐标系 中，已知向量 ， ， ，点 满足 （）曲线 ，区域 ， 若 为两段分离的曲线，则（ ） 答案 根据题意不妨设 （，），（，）， （） （ ， ）， （ ， ）， （ ， ） （ ）（ ） () （） ， 易知曲线 为单位圆，又 区域 ， 且 为两段分离的曲线， 结合图形可知，且端点不重合， 故选 本题考查了向量的坐标表示、三角函数等知识；考 查了综合分析能力、运算推理能力、数形结合能力，由几何意 义进行转化是突破难点的关键 （ 辽宁， 分）已知点 （，），（，），则与向量 同 方向的单位向量为（ ） ， () ， () ， () ， () 答案 （，）， 与 同方向的单位向量为 ， ()，故选 （ 重庆， 分）设 ，向量 （，），（，）， （，），且 ，则 （ ） 答案 由 ， ， ， ， （，），（，），（，）， ，故选 本题考查向量平行与垂直的运算及向量模的公式 （ 北京， 分）在 中，点 ， 满足 ， 若 ，则 ， 答案 ； 解析 由 知 为 上靠近 的三等分点，由 知 为 的中点，作出草图如下： 则有 （ ），所以 （ ） ， 又因为 ，所以 ， 年高考年模拟 版（教师用书） （ 江苏， 分）已知向量 （，），（，），若 （，）（，），则 的值为 答案 解析 由 （，），（，）， 可得 （，）（，） （，）， 由已知可得 ， ， 解得 ， ， 从而 （ 陕西， 分）设 ，向量 （ ， ）， （ ，），若 ，则 答案 解析 ， ， ， ， ， ， （ 湖南， 分） 在平面直角坐标系中， 为原点， （，），（， ），（，），动点 满足 ，则 的最大值是 答案 解析 解法一：设 （，），则由 ，得（） ， 从而可设 ， ， 而 （ ， ）， 则 （） （ ） （ ）（ ） （） ， 其中 ， 显然当 （） 时， 有最大值 解法二： ， 设 （， ）， 则 ，从而 ， 则 ， 当 与 同向时，有最大值 （ 北京， 分）向量 ， 在正方形网格中的位置如图 所示若 （，），则 答案 解析 以向量 和 的交点为坐标原点建立如图所示的坐 标系，令每个小正方形的边长为 个单位，则 （，），（， ），（，），所以 （，）， （，）， （，）由 可得 ， ， 解得 ， ， 所以 本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算， 考查学生的运算求解能力和在向量中解析法的应用，构建关 于 和 的方程组是求解本题的关键 以下为教师用书专用（） （ 广东， 分）若向量 （，），（，），则 （ ） （，） （，） （，） （，） 答案 （，），故选 评析 本题考查向量的运算，考查学生的运算求解能力 （ 安徽， 分） 在平面直角坐标系中，点 （，）， （，），将向量 绕点 按逆时针方向旋转 后得向量 ，则点 的坐标是 （ ） （ ， ）（ ， ） （ ，）（ ，） 答案 由题意，得 ，由三角函数定义，设 点 坐标为（ ， ），则 ， 则 点的 坐标应为 ()， ()() 由三角知识得 () ， () ， （ ， ）故选 （ 重庆， 分）在平面上， ， ， 若 ，则 的取值范围是 （ ） ， ， ， ， 答案 以 为原点，所在直线为 轴建立直角坐标 系，如图所示 设 （，），（，），（，），则由已知得 （，）由 ， ，得（） ，（） ，（ ） （） ， 即（ ）， （ ）， ， 将代入中，得 （ ）（ ） ， 第五章 平面向量、解三角形 即有 ， 又 ， 相当于以 为圆心， 为半径的圆与 轴， 轴有交点， 即有，即 ， ，故有 ， ，选 评析 本题考查了向量的坐标运算、不等式等知识，考查了 数形结合思想，建立坐标系，转化为坐标运算是解题的关键 对应学生用书起始页码 考点名称常考题型考查难度命题角度关联考点预测热度考题统计（课标卷） 一、向量的线性运算 及几何意义 选择题 考查平面向量的基本概念， 模的计算，利用加减、乘法 运算法则进行向量的线性 运算，能找出相等向量、共 线向量的充要条件 平面向量的基本概 念， 向 量 相 等 的 含 义， 向 量 的 几 何 表 示，向量的加法、减 法、乘法运算及其几 何意义 课标， 分 二、平面向量的基本 定理及坐标表示 选择题 利用平面向量的基本定理、 结合向量的加减运算法则 解决用两个不共线的向量 表示其他向量的问题 求向量共线、垂直的 充要条件，并进行向 量的坐标运算 课标全国， 分 对应学生用书起始页码 一、向量的基本概念 单位向量 模为 个单位长度的向量叫做单位向量，常用 表示，其他 的表示方法：， ， ， ， ，（ ， ）等 平行（共线）向量 方向相同或相反的非零向量 、 叫做 平行向量 ，也叫做 共 线向量 ，记作 规定 与任一向量平行 相等向量 长度相等且 方向相同 的向量叫做相等向量，记作 相反向量 长度相等且 方向相反 的向量叫做相反向量 的相反向量 为 有（） 规定： 的相反向量是 二、向量的线性运算 向量的加法 法则：三角形法则或平行四边形法则 交换律：；结合律：（）（） 向量的减法 向量减法： 与 的相反向量相加叫做 与 的差，记作 （） 法则：三角形法则或平行四边形法则 注意：等式 （ ）的几何意义：平 行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和 实数与向量的乘积 实数 与向量 的乘积是一个向量，记作 规定： 当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的 方向与 的方向相反；当 时， 的方向是任意的 结合律：（） （）；第一分配律：（） ；第 二分配律：（） 向量共线的充要条件 若向量 、 是两个非零向量，则 存在唯一 ，使 得 对于任意非零向量 、，存在 、 且 ， 使得 注意：用向量法证明 ， 三点共线时，首先要求出 ， ，然后证明 ，即可证得与共线 三、平面向量基本定理 如果 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平 面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、，使 ， 其中 、为一组基底，记作， 四、向量的坐标运算及向量共线的坐标表示 坐标运算 （）若 （，），（，），则 （，）； （）若 （，），（，），则 （， ）； （）若 （，），则 （，） 平面向量共线的坐标表示 若 （，），（，），则 年高考年模拟 版（教师用书） 对应学生用书起始页码 方法 关于平面向量的线性运算 平面向量基本定理的实质是向量的线性表示，即向量的分 解代数形式下，充分利用向量的加法、减法、数乘运算；几何形式 下，充分利用平面几何的一些定理来实现 （ 四川绵阳一诊，）如图所示，在 中，点 是 的中点，且 ， 与 相交于点 ，设 ， ，试用基底 ， 表示向量 解析 易得 ， ， 由 ， 三点共线知， 存在实数 ，满足 （） （） 由 ， 三点共线知存在实数 ，满足 （） （） 所以 （） （） 由于 ， 为基底，所以 ， ， 解得 ， ， 所以 答案 （ 天津质检）在平行四边形 中，点 是 边的中点， 与 相交于点 ，若 （，）， 则 的值是 答案 解析 解法一：根据题意可知， 所以 ， 故 （ ） () ， 所以 解法二：（回路法）如图， ， ， （）， ， 三点共线， ， 方法 平面向量的共线问题 向量的本质有“双重身份”，即“代数形式”和“几何形式” 向量法解题“三部曲”： 向量表示：把几何中的元素用向量表示； 向量运算：针对几何问题，进行向量运算； 回归几何：对向量运算结果作出几何意义的解释 “三部曲”的理论总结得很对，但解题过程中容易陷入坐标 情结、方程情结，偏重代数形式，忽视几何形式，让思维过于机械 化，有时运算很烦琐 这时，可以尝试向量回路法解题，重视图形分析，关注几何 与代数的融合，回到简洁明快的解题方向上 什么是回路？ 向量从一点出发，通过一个封闭的图形又回 到起点的那个通路，构成一个回路 回路法的关键：利用条件，将我们所关心的两个向量列成比 例式，关联题设条件，最后将向量分解成共线形式，问题就迎刃 而解了 最简单的回路：如 或其中等号可以 理解成“结果等效” （ 安徽合肥一检， 分）在梯形 中，已 知 ， 分别为 ， 的中点若 ，则 解析 解法一：由 ，得 （ ） （ ），则 () () ，得 () () () ，得 () () 又因 为 ， 不 共 线， 所 以 由 平 面 向 量 基 本 定 理 得 ， ， 解得 ， 所以 解法二：（回路法）连结 并延长交 的延长线于 ， 由已知易得 ， ， ， 三点共线， 答案 第五章 平面向量、解三角形 （ 江西九校联考（一）给定两个长度为 的平面 向量 和，它们的夹角为 ，如图所示点 在以 为圆心 的圆弧 ( 上运动若 ，其中 ，则 的最大 值是 答案 解析 解法一：以 为坐标原点， 所在的直线为 轴， 的方向为 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则可知 （，）， ， ，设 （ ， ） ， ()，则有 ， ，所以 ()，所以当 时， 取得最大值 解法二：（回路法） 如图，连结 ，记 交 于 点 ， ， 三点共线， ， （） 方法 平面向量的坐标运算问题 向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量 共线问题的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易 行的方法解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式 特征，应学会利用这一点来构造函数或方程，以便用函数或方程 的思想解题 （ 广东六校联考（三）已知 为坐标原点，点 是线段 上一点，且 （，），（，）， ，则向量 的坐标是 解析 由点 是线段 上一点， ，得 设 点 为 （ ， ）， 则 （ ， ） （，）， 即 ， ， 解得 ， 所以向量 的坐标是（，） 答案 （，） （ 湖北八校联考（二）已知向量 （，）， （，），且 ，则 （ ） （，）（，） （，）（，） 答案 解析 因为向量 （，），（，），且 ，所以 （） ，解得 ，所以 （，） （，） （，），故选 对应学生用书起始页码 组 年高考模拟基础题组 时间： 分钟 分值： 分 一、选择题（每题 分，共 分） （ 青海西宁二诊，）已知点 为 所在平面内一点， 边 的中点为 ，若 （），其中 ，则 点 一定在（ ） 边所在的直线上 边所在的直线上 边所在的直线上 的内部 答案 因为 （），所以 （） ， ， ，因 为 为边 的中点，所以 ，所以 点一定在 边 所在的直线上 （ 四川绵阳二诊，）已知 ， 在 所在平面内， 且 ， ， ，则点 ， 依次是 的 （ ） 重心，外心，垂心 重心，外心，内心 外心，重心，垂心 外心，重心，内心 答案 由 知， 为 的外心； 由 知， 为 的重心； ， （ ） ， ， ， 同理可得 ， 为 的垂心，选 （ 山东聊城二模，）在 中， ，若点 满 足 ，则 （ ） 答案 作出草图，可知 （ ） （） 故选 年高考年模拟 版（教师用书） 二、填空题（每题 分，共 分） （ 贵州毕节一诊，）已知 与 的夹角为 ，若（ ）（），且 ，则 在 方向上的投影为 答案 解析 因为 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 ， 问题转化为求，（）（）（）（） ， （负值舍去），则 在 方向上的投影为 （ 江苏徐州 月月考，）设 、 是两个不共线向量， ， ，若 、 三点共线，则实数 的 值是 答案 解析 、 三点共线， 存在常数 ，使 ，又 ， ， ， 三、解答题（共 分） （ 河南洛阳一中 月月考，）设 是边长为 的正 三角形，点 ，四等分线段 （如图所示） （）求 的值； （） 为线段 上一点，若 ，求实数 的值； （） 为边 上一动点，当 取最小值时，求 的值 解析 （） 由题意知 ， ，原式 （ ） ，在 中，由余弦定理，得 ，所以 （）易知 ，则 （ ），即 ，因为 为线段 上一点，设 ，则 ，所以 （）当 在线段 上时， ； 当 在线段 上时， 要使 最小，则 必在线段 上，设 ，则 ， 当 ，即 在点 处时， 最小， 此时，由余弦定理可求得 （ 广东江门模拟，） 已知 顶点的坐标分别是 （，）、（，）、（，） （）求 的值； （）若 （，），证明：、 三点共线 解析 （） 解法一： （） （） ， ， （ ） 解法二： （，），（，）， （）证法一： （，），（，）， （，） ， 、共线， 、有共同的始点， 、 三点共线 证法二：经过 （，）、（，）两点的直线方程为 设 （，），由 （，）得（，） （，）， 解得 ， （，）， ， 在 上， 、 三点共线 组 年高考模拟提升题组 时间： 分钟 分值： 分 一、选择题（每题 分，共 分） （ 河北衡水中学三调，）设 是 所在平面上一点， 且 ， 是 的中点，则 的值为 （ ） 答案 如图所示，延长 至 ，使得 ，连结 、 ， 是 的中点， 四边形 为平行四边形， （ ）， ， （ ） ， ，故选 第五章 平面向量、解三角形 （ 西北师大附中 月月考，）已知 的外接圆的半径为 ，圆心为 ，且 ，则 的面积为 （ ） 答案 由题意得 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，同理， ， ，所以 故选 （ 四川宜宾一诊，）已知 （，）， （，），向量 与 垂直，则实数 的值为（ ） 答案 向量 （，），（，）， 因为两个向量垂直，故（，）（，） ， 即 ，解得 （ 河北承德二模，） 已 知 、 是 两 个不 共 线 的 向 量， ， （ ，），那么 、 三点共 线的充要条件是（ ）