数学教研交流定积分及其应用备考聚焦素材pdf

发表特级教师发表特级教师 定积分及其应用备考聚焦定积分及其应用备考聚焦 湖南长沙 邓永生 （QQ：4474986） 定积分及其应用是新课标教材新增内容，从 2009 年高考命题来看尚处于起步阶段，但可以预见，这一 考点必将受命题者的青睐。 一、备考导学 定积分在平面几何中的应用，理解定积分的几何意义，求曲线围城的平面图形的面积；利用定积分解 决简单的物理问题题，结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为定积分解决。 二、聚焦热点 考点一：定积分的计算考点一：定积分的计算 1 2) 例例 1、设 则 2 (01) ( ) 2(1 xx f x xx 2 0 ( )f x dx =（ ） A. 3 4 B. 4 5 C. 5 6 D.不存在 答案答案：C 解析解析： 21223 22 0011 11 ( )(2)|(2)| 32 f x dxx dxx dxxxx 2 1 5 6 ，选 C 点评：点评：对于定积分的计算，主要是考查学生对牛顿-莱布利兹公式的理解和运用，其关键在于求出被积函数 的原函数。对于被积函数是分段函数问题，应充分利用性质( )( )( ) bcb aac f x dxf x dxf x dx ，根据定 义域将积分区间分成若干部分，选择不同的条件下函数表达式进行积分运算，再相加。 变式变式1：已知 0 )sin(cos, 2 , 0dxxx则当取最大值时，= 。 答案答案： 4 解析解析：因 0 0 (cossin )(sincos )|sincos12sin() 1 4 xx dxxx ，所以= 4 时取 最大值。 考点二考点二：求曲线围成的平面图形的面积求曲线围成的平面图形的面积 例例 2、求抛物线 2 2yx与直线4yx围成的平面图形的面积。 解析解析：先求出抛物线 2 2yx与直线4yx的交点确定积分区间，再求定积分。 由方程组求得交点为和 2 2 4 yx yx (2,2)(8, 4)，画出图像。 法一：选x作为积分变量，由图可知平面图形可分为两部分求解， 在部分，上边界曲线为 1 A2yx，下边界曲线为2yx ，故 22 1 00 (2 )2 2x dx 2Axxdx 3 2 2 0 21 2 2| 33 x 6 。 2 x在部分，上边界曲线为，下边界曲线为 2 A4y 2yx ，故 8 2 2 4(2 )Axx dx 3 28 2 2 12 2 )| 23 xxx(4 38 3 ，于是 12 1638 18 33 SAA. 法二：选作为积分变量，将曲线方程写为y 2 2 y x 及4xy，故 2 2 4(4 ) 2 y Sy dy 23 2 4 4|30 12 26 yy y 18。 点评点评：对于求平面图形面积的问题，首先应根据题意画出平面图形，然后根据图形特点，选择相应的 积分变量以确定积分区间，写出图形面积的积分表达式进行积分运算。值得提醒的是：当平面图形在x轴 上方时，可以直接利用定积分求出面积；当平面图形的一部分在x轴下方时，其对应的定积分为负值，应 取其相反数。 变式变式 2： 函数 2 ( )27f xx 6x( )g x与x 的图象所围成的封闭 图形的面积为（ ） A 2 3 B C2 8 3 D 3 答案：答案：C 解析：解析：由 2 276xxx 得， 1 1x 2 3x ，作出函数的图象如 图所示，则所求封闭图形的面积为 3 232 1 1 28 ( 286)( 3 6 )| 33 Sxxdxxxx 4 考点三：考点三： 与几何概型概率相合考查与几何概型概率相合考查 例 3、例 3、 （如图） ，在一个边长为 1 的正方形AOBC内，曲线y=x 2和曲线 y 2= x 围成一个叶形图（阴影部分） ， 向正方形AOBC内随机投一点. （该点落在正方形AOBC内任何一点是 等可能的） ，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 答案答案：B 解析解析：阴影部分的面积为 3 1 23 2 10 0 21 ()()| 33 sxxdxxx 1 1 3 ， 而正方形 AOBC 的面积为 1，故所求的概率为 1 3 。选 B 点评点评：此类题体现“高考命题立足知识交汇点”的命题特色，在考查几何概型概率计算的同时，考查了用 定积分求曲边图形的面积方法，要求对学生对定积分能灵活应用。 变式变式 3：在平面区域 2 ,2 ,0 x y yxxy 且内任意取一点，则所取的点恰是平面区域PP ,2,x yyx xyy且0内的点的概率为 答案答案： 3 4 3 解析解析： 2 2 0 1 2 1 3 2 ( ) 4 (2 ) P A xx dx 评析评析：本题经过了多层包装，在集合背景下考查二元不等式表示的平面区域，在考查几何概型概率计算的 同时兼顾考查了定积分的求法。 考点四：定积分在物理中的应用考点四：定积分在物理中的应用 例例 4、已知 A、B 两地相距 400m，甲、乙两物体都沿直线从 A 运动到 B，甲物体的速度为， 乙物体的速度为 2 (/ )vt m s 2 1 (5) (/ 6 vtm)s， 若甲 2 乙先出发 5 秒钟， 问： 甲、 乙两物体从 A 到 B 的运动过程中， 能否相遇，并说明理由。 解析解析：设乙出发x秒后两人相遇，则相遇时甲运动的路程，乙运动的路程 5 2 0 2(5 x Stdtx 甲 ) 233 SS 0 11 (5(5)5 618 x Stdtx 乙 )，由 乙甲 ，得= 2 5)(x 33 1 (5)5 18 x， 化简得。 32 310518 250 xxx 令，则 32 ( )310518 25f xxxx(10)0,(15)0ff，故方程在(1内必有根，记为0,15) 0 x， 因此时，所以甲、乙两物体从 A 到 B 的运动过程中能相遇。 22 0 (5)(155)400SSx 乙甲 点评点评：这是一个物理学中的追及问题，由于是变速运动，可以借助定积分来求相应的路程，利用路程关系 判断能否追及相遇。 变式变式 4：已知如果1能拉长弹簧 1，为了将弹簧拉长 6，所耗费的