数学考点专项突破概率与统计二讲义pdf

概率与统计（二）概率与统计（二） 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 第 1 页 （9：0021：00 everyday） 概率与统计（二）概率与统计（二） 一、知识要点一、知识要点 1、 等可能性事件的概率等可能性事件的概率 2、 互斥事件互斥事件 3、 相互独立事件相互独立事件 4、 独立重复试验的概率独立重复试验的概率 5、 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 6、统计、统计 二、例题分析二、例题分析 【例 1】有 r 个不同的小球，随机放在 n 个盒中，试求下列事件的概率： （1）某指定的 r 个盒中各有一球； （2）恰有 r 个盒，其中各有一球； （3）某指定的一个盒中，恰有 k 个球. 【例 2】设一射击选手平均每射击 10 次中靶 4 次，求在 5 次射击中： （1）恰击中 1 次的概率； （2）第二次击中的概率； （3）恰击中 2 次的概率； （4）第二、三两次击中的概率； （5）至少击中 1 次的概率. 【例 3】某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区，B 肯定是受 A 感染的， 对于 C， 因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的， 于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 1 2 . 第 2 页 （9：0021：00 everyday） 同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 1 3 .在这种假定之下，B、C、D 中直接 受 A 感染的人数 x 就是一个随机变量.写出 x 的分布列（不要求写出计算过程） ，并求 x 的均值（即数学期望）. 【例 4】为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发 行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）.某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游， 其中 3 4 是省外游客， 其余是省内游客.在省外游客中有 1 3 持金卡， 在省内游客中有 2 3 持银卡.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率； （II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数 学期望E. 【例 5】某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是 1 2 ，构造数列 n a，使得 1 1 n n a n = （当第 次出现正面时） （当第 次出现反面时） 记 * 12 () nn Saaa nN=+. （1）求 4 2S =的概率； （2）求前两次均出现正面且 6 24S的概率； （3）前两次均已出现正面后，记 6 S=，求的数学期望. 第 3 页 （9：0021：00 everyday） 【例 6】一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数 之和大于 2n，则算过关，问： （）某人在这项游戏中最多能过几关？ （）他连过前三关的概率是多少？ 【例 7】已知：将一个各个面上均涂有红颜色的正方体锯成 64 个同样大小的小正方体. （）从中任取 1 个小正方体，求：其中恰好有奇数个面涂有红颜色的概率. （）从中任取 2 个小正方体，求：至少有一个小正方体的某个面或某几个面涂有红颜色的概率. 【例 8】某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，,则必须进 行整改.若整改后经复查仍不合格，则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿 整改前安检合格的概率是 0.5，整改后安检合格的概率是 0.8，计算（结果精确到 0.01） ： （）恰好有两家煤矿必须整改的概率； （）平均有多少家煤矿必须整改？ （）至少关闭一家煤矿的概率. 【例 9】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是, ,a b c，且三门课程考试是否及格相互之间 没有影响. （）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. 第 4 页 （9：0021：00 everyday） 参参 考考 答答 案案 例题 1解：由于 r 个球的每个都有 n 种方法，则共有 nr种等可能事件 （1）某指定的 r 个事件各有一件事件为 A ( ) ! r r rr Ar P A nn = （2）恰有 r 个盒中各为一球事件为 B ( ) () ! ! r n rr An P B nnrn = （3）某指定的一个盒恰为 k 个球为事件 C ( ) ()() () 1!1 ! r kr k k r rr Cnrn P C nkrkn = 例题 2解：选手击中的概率为 42 105 = 不击中的概率为 23 1 55 = （1）恰好击中一次( ) 4 1 55 23 10.2592 55 PC = （2）第二次击中与第一、三、四、五次击中无关 则第二次击中的概率 2 2 5 P = （3）5次射击恰击中2次( ) 23 2 55 23 20.3456 55 PC = （4）第二、三两次击中与一、四、五次是否击中无关 则 2 4 24 525 P = （5）至少击中一次( ) 5 55 3 1010.9224 5 PP = = = 例题3解：随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 1 3 1 2 1 6 X的均值为 11111 123 3266 EX = + + = 附：X的分布列的一种求法 共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是 1 6 ： 第 5 页 （9：0021：00 everyday） ABCD ABC D ABC D ABD C ACD B 在情形和之下，A直接感染了一个人；在情形、之下，A直接感染了两个人；在 情形之下，A直接感染了三个人。 例题4解： （）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银 卡。设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人” ， 事件 1 A为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡” ， 事件 2 A为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 ( )()()P BP AP A=+ 12111 9219621 33 3636 C CC C C CC =+ 927 34170 =+ 36 85 = 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是 36 85 . （）的可能取值为0，1，2，3 3 3 3 9 1 (0) 84 C P C =, 12 63 3 9 3 (1) 14 C C P C = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21 63 3 9 15 (2) 28 C C P C =， () 3 6 3 9 5 3 21 C P C = ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 1 84 3 14 15 28 5 21 所以 13155 01232 84142821 E=+ + =. 例题5解： （1）S4说明前4次中有3次正面向上，1次反面向上 3 3 14 111 224 PC = 第 6 页 （9：0021：00 everyday） （2） 6 24S 223 23 244 2 1111115 2222223 PCC =+= （3）前两次均已出现正面 6 S= () 4 0 4 11 2 216 PC = = () 3 1 4 114 0 2216 PC = () 22 2 4 116 2 2216 PC = () 3 3 4 114 3 2216 PC = () 4 4 4 11 6 216 PC = 2E= 例题6解： （1）62nn 由于 4 642但是65 5 2 该游戏最多过4关 （2）过关是独立事件 1 4 1 1 6 2 3 C P C = 111 123 2 11 66 5 1 6 CCC P C C + = = 222222 234567 3 111 666 20 1 27 CCCCCC P C C C + = = 则连过三关的概率 123 2520100 3627243 PP PP= 例题7解：64个小正方体中，恰好有一个面有红色24个，二个面有红色24个，三个面有红色8个， 0个面有红色8个 （1） 11 248 1 1 64 1 2 CC P C + = 恰好有奇数个面涂有红颜色的概率为 1 2 （2） 2 8 2 1 64 71 1 72 C P C = = 从中任取2个小正方体，至少有一个小正方体的某个面或某几个面 涂有红颜色的概率为 71 72 例题8解： （1）( )() 2 23 55 210.50.5PC= 5 16 （2）设有家煤矿需整改 0=，1，2，3，4，5 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 6 P() 1 16 4 16 6 16 4 16 1 16 第 7 页 （9：0021：00 everyday） P 0.55 15 50.5 C 25 50.5 C 35 50.5 C 45 50.5 C 55 50.5 C 1 2 E= （3）() 2 110.50.50.80.41P